Имеет хотя бы одно решение.
Критерии оценивания ЕГЭ (профиль)
| Задания | |||||||||||||||||||
| Баллы |
Рекомендованные отметки:
5 - 8 баллов - «3»
9 - 13 баллов - «4»
14 - 32 баллов - «5»
| Задание | Вариант 1 | Вариант 2 |
| 1. | ||
| 2. | ||
| 3. | ||
| 4. | 32,5 | |
| 5. | -14 | |
| 6. | 0,15 | 0,64 |
| 7. | 0,96 | 0,96 |
| 8. | -0,5 | |
| 9. | -0,16 | -0,375 |
| 10. | ||
| 11. | ||
| 12. | -14 | -17 |
Часть 2
| В | |||||||
а)  б)  ;  |  |  |   |  |  | а) да б) нет в) 26 | |
| а) б) ; |  |
Вариант 1
13. а) Решите уравнение 
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку 
.
Решение.
а) Решите уравнение: 
⇔ 
⇔ 
⇔ 
Ответ: 
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку 
; 
Ответ: 
; 
.
| Баллы | Критерий оценки выполнения задания |
| Обоснованно получен верный ответ а) и б) | |
| Решено а) верно | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. |
14. В правильной шестиугольной призме 
все ребра которой равны 1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки 
, 
и 
.
б) Найдите расстояние от точки до прямой 
.
Решение.
Пусть 
– плоскость сечения. Плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым.
и 
и 
⇨ 
⇨ четырехугольник 
сечение.
(Можно уточнить, что и 
⇨ сечение параллелограмм.)
Б) Решение.
Призма прямая, поэтому 
⇨ 
прямоугольный. 
перпендикуляр; 
наклонная; 
проекция.
По свойству правильного шестиугольника 
.
По теореме о трех перпендикулярах: если проекция , то и наклонная 
.
(Можно уточнить, что если , то параллелограмм прямоугольник.)
Расстояние от 
до прямой 
, т.к. .
прямоугольный. По теореме Пифагора 
Ответ: 
| Баллы | Критерий оценки выполнения задания |
| Обоснованно получен верный ответ а) и б) | |
| Решено верно а) или б) | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. |
15. Решите неравенство 
.
Решение.
⇔ 
⇔ 
или 
⇔ 
⇔ 
.
Ответ: 
| Баллы | Критерий оценки выполнения задания |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| Задание решено с арифметической ошибкой, но доведено до конца. Неверное решение квадратичного или показательного неравенства не является арифметической ошибкой. | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. |
16. Окружности радиусов 5 и 8 с центрами 
соответственно касаются в точке 
. Прямая, проходящая через точку , вторично пересекает меньшую окружность в точке 
, а большую- в 
. Найдите площадь треугольника 
, если 
Решение.
1) 
как радиусы ⇒ 
равнобедренный
⇒ 
⇒ по теореме косинусов в 
⇒ как вертикальные;
как радиусы ⇒ 
равнобедренный
⇒ 
по теореме косинусов в 
4) 
или 
5) 
или 
или 
или 
⇔ 
⇔ 
⇔ 
⇔
⇔ 
Ответ: 
или 
| Баллы | Критерий оценки выполнения задания |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| Рассмотрен полностью один из случаев касания | |
| Рассмотрен один из случаев касания, но из-за арифметической ошибки получен неверный ответ | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. |
17. Строительство нового завода стоит 75 млн. рублей. Затраты на производство 
тыс.ед. продукции на таком заводе равны 
млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене 
тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит 
. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком каименьшем значении строительство завода окупится не более чем на 3 года?
Решение.
Прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год выражается как
.
Это выражение является квадратным трехчленом и достигает своего наибольшего значения при 
. Наибольшее значение равно 
. Строительство завода окупится не более чем за 3 года, если
, то есть при 
, поскольку цена продукции не может быть отрицательной.
Таким образом, наименьшее значение .
Ответ: .
| Баллы | Критерий оценки выполнения задания |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: - неверный из-за вычислительной ошибки; - верный ответ, но решение недостаточно обосновано | |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено. | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. |
18. Найдите значение 
, при которых система 
имеет хотя бы одно решение.
Решение.
Неравенство 
графически задает 4 круга, симметричные кругу с центром 
и 
относительно осей координат.
Уравнение 
графически задает окружность с центром 
и 
.
В случае касания внешним образом 
В случае касания внутренним образом 
В случае касания внешним образом 
Объединим полученные значения. Т.к. 
, то
Ответ: 
| Баллы | Критерий оценки выполнения задания |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| Полученный ответ отличается от верного конечным числом точек ИЛИ при верном решении и рассмотрении всех случаев получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Получены значения параметра или  (модуль не заметили или касание внутренним образом не заметили) | |
Получены значения параметра  (модуль не заметили и касание внутренним образом не заметили) | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. |
В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600 000 рублей (размер премии каждого сотрудника- целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40 000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
Решение.
а) Каждый сотрудник должен получить 15000 рублей. Выдадим 33 сотрудникам по 3 пятитысячных купюры, одному- пятитысячную и 10 тысячных, шестерым- по 15 тысячных.
б) Каждый сотрудник, кроме ведущего специалиста, должен получить 8000 рублей, поэтому нужно будет выдать каждому не менее трёх тысячных купюр, значит, всего их нужно не менее 210 штук. Следовательно, без сдачи и размена выдать премии не удастся.
в) Если сотрудников 27 или больше, то распределим премии так: 26 человек должны получить по 4 тысячи, один- всё остальное, остальные – ничего.
Тогда выдать премии будет нельзя по тем же причинам, что и пункте «б».
Если же их не больше 26, то выберем всех, кроме одного. Будем выдавать им премии, используя не более 4 тысячных купюр, пока не кончаться пятитысячные.
Если пятитысячные купюры закончились, то оставшиеся премии выданы, а последний просто заберет все оставшиеся деньги.
Ответ: а) да; б) нет; в) 26.
| Баллы | Критерий оценки выполнения задания |
| Обоснованно получены все перечисленные результаты на 1 балл | |
| Верно получены три из перечисленных результатов на 1 балл | |
| Верно получены два из перечисленных результатов на 1 балл | |
| Верно получен один из следующих результатов: - обоснованное решение а); - обоснованное решение б); - искомая оценка в в); - пример в в), обеспечивающий точность предыдущей оценки | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. |