Масштаб, глибина і кут перспективи (на прикладі інтер’єру в перспективі).

Перспективні масштаби

Предмети, які оточують людину в просторі, мають три виміри: глибину, ширину і висоту. При будуванні перспективи різних фігур застосовуються перспективні масштаби. Перспективні масштаби дозволяють виконувати на картинній площині перспективні зображення не тільки плоских, але й об’ємних фігур. В перспективі, тобто на картині, зображуються не дійсні розміри предметів, а тільки їх пропорційні відношення.

Оскільки відрізки, які лежать на картині, співпадають зі своїми проекціями. то за натуральні розміри відрізків візьмемо відрізки, які розташовані на площині картини. натуральні розміри відрізків можна розташовувати на основі картини і її бокових сторонах.

В предметному просторі виміри можна виконувати по трьом напрямам: перпендикулярно картинній площині (глибина); паралельно основі картини (ширина); перпендикулярно предметній площі (висота).

Масштаб глибини, це масштаб побудований на прямій, яка перпендикуляра картині. На картині задана перспектива точки А, яка розташована на прямій О₂Р (рис.1.8,а). Треба від точки А відложити відрізок АВ, рівний відрізку L. Для кращого розуміння суті побудови, звернемося до рішення цієї задачі, побудованої в натурі по правилам геометрії (рис.1.8, б). Накреслимо дві перпендикулярні прямі, які перетинаються в точці 1. На вертикальній прямій візьмемо точку А. Поруч х.. горизонтальною прямою накреслимо відрізок L. Через точку А проведемо пряму під кутом 45° до горизонтальної прямої до перетину її в точці 2. Від точки 2 відложимо вправо відрізок 2-3, рівний L. Через точку 3 проведемо пряму, паралельну прямій 2-А до перетину з вертикальною прямою в точці В. Відрізок АВ рівний відрізку 2-3, тому що обидва відрізка лежать на сторонах прямого кута і розташовані на одній відстані від його вершини.

Білет №3

1. Побудова проекції точки, прямої в ортогональній проекції.

Точка, пряма та площина є основними (непохідними) геометричними фігурами. Більш складні геометричні фігури та тіла можуть бути утворені з основних. Пряма та площина можуть мати як загальне положення, так і окреме (бути паралельними або перпендикулярними до площин проекцій). Загальне чи окреме положення площин визначається їхніми прямокутними проекціями.

Проекції точки

Проекцією точки е точка. При двох напрямах проеціювання, які вибрано в системі прямокутних проекцій, точка зображується парою точок. Винятком є точки, що належать осі х^, оскільки їхні проекції збігаються (рис. 3.5). Проекції точки мають таку властивість: фронтальна та горизонтальна проекції точки належать одній вертикальній лінії сполучення. Площини проекцій несуть інформацію про параметри положення точки, а саме: відстань від горизонтальної проекції точки до осі X12 є її ординатою, а відстань від фронтальної проекції до цієї самої осі є аплікатою точки.

Рисунок, що містить проекції на двох полях проекцій, є позиційно повним та метрично визначеним; він визначає форму та розміри зображуваної фігури. Проте, оскільки просторова фігура є тривимірною, а також у зв’язку з тим, що за двома зображеннями не завжди просто визначити конструкцію складного об’єкта, то доцільно крім двох основних проекцій давати ще проекцію на третю площину. За таку площину (поле проекцій) часто беруть профiльну площину проекцiй Пз та П2 (рис.3.6), i тому третю проекцiю називають профiльною.

При побудовi системи з трьох прямокутних проекцiй площину П2 вважають нерухомою, а площини Пi i Пз сумiщують з нею обертанням навколо осей х12 та Z23 вiдповiдно.

Площини (поля) проекцiй П1, П2 i П3, перетинаючись по трьох лiнiях, задають просторову декартову систему координат (рис.3.7). Точка О с початком координат, вiсь х — вiссю абсцис, вiсь у — вiссю аплiкат.

Площини проекцiй П1 та П2, продовженi за вiсь абсцис, подiляють тривимiрний простiр на чотири светрi. Якщо точка а лежить у i чвертi простору, то и горизонтальна проекцiя лежить нижче, а фронтальна — вище вiд осi х12. Рiзнi положения проекцiй точок, що лежать у I, II, II та IV чвертях простору, показано на рис.3.8. Точка В лежить у и чвертi, точка С — у II, точка В — у IV. Надалi мiркування стосуватимуться 1 чвертi, де всi координати додатнi.

Якщо задано три прямокутнi декартовi координати точки, то легко побудувати П прямокутнi проекцi. На рис. 3.9 показано двi прямокутнi проекцi точки А з координатами 4, 6, 5. додатнi значення координат вiдкладають вiд початку координат вiдповiдно по осям х, у, .

Проекції прямої.

Пряму в геометрії розглядають якмножину точок. Проекціями прямої є, як правило, також прямі. У системі площин П1 і П2 пряму загального положення (не паралельна жодній з площин проекцій) зображують двома прямими, кожну з яких задають двома параметрами, а отже, — всього чотирма. Перетин прямої з площинами проекцій називають слідами прямої. Перетин прямої з площиною П| називають горизонтальним слідом. Якщо пряма паралельна площині проекції, то відрізок прямої зображується на одній з площин проекцій в натуральну величину; якщо пряма перпендикулярна до площини проекції, то вона проекціюється в точку. Прямі, паралельні площинам проекцій, називають лініями рівня. Прямі, перпендикулярні до площин проекцій, називають проекціювальніши: АЕ— горизонтально проекціювальна, АО — фронтально проекціювальна, АВ — профільно проекціювальна.

Точки, що належать (інцидентні) одній проекціювальній прямій, називають конкуруючими. На одному з полів проекцій їхні проекції збігаються.

За допомогою таких точок визначають видність геометричних фігур на рисунку в прямокутних проекціях. Далі буде показано, як використовують конкуруючі точки при визначенні видності геометричних фігур.

Візьмемо в декартовій системі координат дві точки М(х1,у1,z1) N (х2,у2,z2) і визначимо переміщення від М до N або навпаки.

Позначимо переміщення від точки М до точки N через М~Н, а переміщення від N до М — через NМ. Якщо ММ розкласти на складові, паралельні осям координат, то переміщення ММ визначатиметься координатами Хmn, Уmn, Zmn, у, Точки N відносно точки М, тобто відносні координати.

Як бачимо (рис. 4.2, а), Xmn = х2 – х1, Умn = У2-У1, Zмn, у =Z2-Z1. Напрямлене переміщення А/ТУ називають вектором відносного положення точки відносно точки М і зображують стрілкою, що виходить з М і закінчується в N.

Вектори ОМ і ОМ називають радіусами-векторами абсолютного положення точок М, N у декартовій системі координат Охуz і графічно зображують відповідними стрілками.

Рис. 4.1.

Пряму в просторі можна задати аналітичне за допомогою рівнянь. Якщо, наприклад, задано радіус-вектор однієї з точок прямої та напрямний вектор (рис. 4.2, б) довільну точку прямої N визначають векторним рівнянням

Rn-Ra = ир,

Де и — змінна (параметр), яка відповідає дійсним значенням точок прямої.

Векторному рівнянню відповідають три скалярні рівняння:

Де у, х, z координати будь-якої точки прямої.

Пряму в просторі можна задати також рівняннями площин, що її проекціюють:

Тут перше рівняння задає горизонтально проекціювальну площину, а друге — фронтально проекціювальну.

При розгляді відрізка прямої часто виникає потреба у визначенні його натуральної величини та кутів нахилу до площин проекцій П1 та П2, тобто доводиться розв’язувати метричну задачу. Так називають будь-яку задачу, в умові чи при розв’язанні якої є числова характеристика. Розв’язання всіх метричних задач грунтується на двох основних задачах, першою з яких є визначення натуральної величини відрізка прямої. Для цього треба виконати деякі побудови.

На рис.4.3, о показано відрізок АВ та дві площини проекцій П1, та П2. Якщо від точки А відкласти відрізок АС, паралельний горизонтальній проекції А, Д), то утвориться прямокутний трикутник АВС з гіпотенузою АВ. Отже, натуральна величина відрізка прямої загального положення дорівнює гіпотенузі прямокутного трикутника, один катет якого є проекцією відрізка, а другий — різницею відстаней кінців другої проекції до осі П2 (в безосній системі — до довільної горизонтальної прямої). Відповідну побудову виконано на рис. 4.2, б, де визначається й кут нахилу прямої до горизонтальної площини проекцій П|. Щоб визначити кут нахилу прямої до фронтальної площини проекцій, треба виконати відповідну побудову прямокутного трикутника на фронтальній площині проекцій. Цей спосіб визначення величини відрізка прямої називають способом прямокутного трикутника

Рис.4.2

Білет №4