Лекальные кривые. Построение эллипса и эвольвенты

Очертания многих элементов деталей в машиностроении, в строительных конструкциях и различных инженерных сооружениях имеют кривые линии. Кривые, графическое построение которых производят циркулем, называются циркульными кривыми (окружности, коробовые кривые, завитки). Кривые, графическое построение которых выполняется с помощью лекал, называются лекальными кривыми (эллипс, парабола, гипербола и т.д.).

Эллипсом называется геометрическое место точек М плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная и равна отрезку АВ (рис. 41,а).

Точки F₁ и F₂ называются фокусами эллипса; отрезок АВ - большой осью; отрезок СD, перпендикулярный к АВ – малой осью; точка О – центром эллипса. Каждой точке эллипса соответствуют две точки, расположенные симметрично относительно большой и малой осей, и одна точка, расположенная симметрично относительно центра эллипса О. На рис. 42,б, а точки, симметричные М, обозначены М₁, М₂ и М₃.

Рис. 41. Эллипс

Прямая, проходящая через центр эллипса, называется его диаметром. Большая и малая оси называются главными диаметрами эллипса. Два диаметра эллипса называются сопряженными, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.

Рассмотрим один из способов построения эллипса по большой АВ и малой СD осям (рис. 41, а, б):

1). Из центра О проводим вспомогательные окружности диаметрами соответственно равным величине большой оси эллипса АВ и малой СD.

2). Для построения любой точки J эллипса (рис. 42,а) из центра О проводим любую секущую прямую и отмечаем точки i и i₁ пересечения ее со вспомогательными окружностями.

3). Из точки i на большой окружности проводим прямую, перпендикулярную большой оси АВ, через точку i₁ – прямую, перпендикулярную малой оси СD. Точка J пересечения этих прямых является искомой точкой эллипса. Помня о свойстве симметрии эллипса, определяем J₁, J₂ и J₃.

В практической работе (рис.42,б) секущие прямые проводят через точки деления большой окружности на 12 и более равных частей.

Рис. 42. Построение эллипса по большой АВ и малой СD осям.

Эвольвента - плоская кривая, образуемая траекторией любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения.

Рассмотрим способ построения эвольвенты окружности (рис.43):

1). Из конечной точки вертикального диаметра А (самая нижняя точка окружности) проводят касательную, на которой откладывают длину окружности (πD). Этот отрезок и окружность делят на одинаковое количество частей (например, 12).

2). В точках 1, 2, 3…11 на окружности проводят касательные к ней, на которых соответственно откладывают отрезки А1₁, А2₁, А3₁…А11₁.

3). Полученные точки 1’…12’ будут принадлежать очерку эвольвенты окружности. Соединяют эти точки при помощи гладкой лекальной кривой.

Рис.43. Эвольвента окружности.

2.2. Графическая работа №2 «Геометрическое черчение»

Цель работы: научиться выполнять различные типы сопряжений на примере выполнения контура технической детали, строить эллипс и эвольвенту, выполнять чертеж детали (швеллер) на основе ГОСТов; научиться оформлять чертеж (проставлять размеры и обозначения, выполнять надписи на чертеже, заполнять таблицу основной надписи).

Задание:

1). Построить контур технической детали (задание выполняется по вариантам).

2) Построить эллипс по заданным полуосям (а=30 мм, b=50 мм) (задание общее для всех вариантов).

3). Построить эвольвенту окружности (задание выполняется по вариантам).

4). Построить сечение части швеллера №16 по ГОСТ 8240-89 (задание общее для всех вариантов).

Задание выполняется на формате А3 (297х420), основная надпись по форме 1 ГОСТ 2.104-68. В графе “Обозначение” основной надписи подписать ГЧ ХХ.01 шрифтом №10, где ГЧ - тема задания (геометрическое черчение), ХХ-номер варианта, 01-номер работы по порядку. В графе “Наименование” основной надписи подписать “Геометрическое черчение”.

Пример выполнения приведен в Приложении 2.

Порядок выполнения работы:

1). На листе формата А3 вычертить рамку и штамп основной надписи.

2). Построить контур технической детали:

- вычертить конур детали в тонких линиях, используя правила построения сопряжений и касательных; все вспомогательные построения (центры дуг сопряжений, точки сопряжений) оставить;

- обвести контур детали сплошной основной линией; проставить размеры;

- над изображением детали написать ее наименование (шрифт №7).

3). Построить эллипс по заданным полуосям (а=30 мм, b=50 мм):

- в тонких линиях построить эллипс по 12-ти точкам;

- обвести полученный контур эллипса, проставить размеры полуосей;

- над изображением написать «Эллипс» (шрифт №7).

4). Построить эвольвенту:

- в тонких линиях построить эвольвенту окружности заданного диаметра, построения оставить;

- обвести контур эвольвенты, проставить диаметр окружности;

- над изображением подписать «Эвольвента» (шрифт №7).

5). Построить сечение швеллера:

- перечертить часть швеллера №16 по типоразмерным характеристикам (рис.43, табл. 5) в масштабе 1:1. Для построения уклона 1:10 на свободном поле чертежа выполнить вспомогательные построения;

- обвести контур детали сплошной основной линией;

- проставить размеры и обозначить уклон;

- над изображением написать «Швеллер» (шрифт №7).

6). Заполнить основную надпись в соответствии с заданием.