Примеры коррелатного способа уравнивания

В этом разделе приводятся примеры уравнивания некоторых геодезических построений. В примерах рассматривается алгоритм решения задачи уравнивания для разных вариантов геодезических построений со сравнительно небольшим числом измеренных величин, как это часто имеет место, например, в практике геодезических и маркшейдерских работ на земной поверхности при создании опорных сетей либо в горных выработках при обработке результатов измерений в системах полигонометрических ходов. Уравнивание систем нивелирных ходов обычно производится при точных и высокоточных измерениях, например, при наблюдениях за деформациями горных выработок и наземных сооружений, что тоже имеет место и в практике геодезических и маркшейдерских работ.

В примерах рассмотрены сравнительно простые схемы геодезических построений, однако принцип расчётов и в сложных системах точно такой же, как и в простых.

137.1. Уравнивание углов в полигоне

В полигоне, состоящем из четырёх вершин (рис. 14.7), неравноточно измерены горизонтальные углы: А = β₁ , В = β₂ , С = β₃ , D = β₄ (табл. 14.4).

Выполнить уравнивание углов без учёта измерения длин сторон.

Предварительно найдем веса p_i и обратные веса q_i, приняв м (см. табл. 14.4) без учёта величин измеренных углов, считая их практически примерно одинаковыми (значения весов определяются по условию возможной погрешности в направлениях из-за центрирования теодолита; для веса угла применяется правило сложения обратных весов направлений):

, (14.91)

где s₁ и s₂ – стороны, образующие данный угол.

Шаг 1. Общее число измеренных величин n = 4, число необходимых измерений k = 3, число избыточных измерений r = 1.

Шаг 2. Составим условное уравнение (условие сумм углов полигона).

β₁' + β₂' + β₃' + β₄' – 360⁰ = 0.

Всего одно уравнение, поскольку r = 1.

Шаг 3. Приводим условное уравнение к линейному виду, для чего продифференцируем его и найдем частные производные функции по аргументам β_i . Очевидно, что

а₁₁ = +1, а₂₁ = +1, а₃₁ = +1, а₄₁ = +1.

Составим матрицу коэффициентов a_ij со строкой обратных весов q_i (таблица 14.5).

Рис. 14.7. Уравнивание углов в полигоне.

Таблица 14.4

Исходные данные

Обозначение	Значение угла	Вес pi	Обратный вес qi
β1	800 16' 44,3"	0,221	4,520
β2	910 45' 00,7"	0,459	2,181
β3	690 25' 56,8"	0,473	2,113
β4	1180 32' 25,2"	0,225	4,452

Таблица 14.5

Матрица коэффициентов, весов и обратных весов

i→ j↓
	+ 1	+ 1	+ 1	+ 1
рi	0,221	0,459	0,473	0,225
qi	4,520	2,181	2,113	4,452

Свободный член уравнения

W₁ = [β_i] – 360⁰ = 360⁰ 00' 07,0" – 360⁰ = + 7".

Шаг 4. Найдём коэффициенты b_jj нормальных уравнений (в данном случае – уравнений коррелат):

, (14.92)

т.е.

. (14.93)

Для приведенного примера, с учётом значений a_ij и q_i , 13,266 k₁ + 7 = 0, откуда k₁ = - 0,528.

Шаг 5. Составляем условное уравнение поправок

(14.94)

и формулы для вычисления поправок (с вычислением их значений):

Контроль по формуле (14.94): условие выполнено! (проверьте сами). Отступление при округлениях значений поправок на 0,1" является допустимым.

Вспомните загадку, которая прозвучала в начале этой главы. А если забыли, то возвратитесь к этому началу. Вот оно, что «под конец тонко» - это и есть хвостик решения всей задачи уравнивания: маленькие поправочки в измеренные величины. Ну а что тут было зелено, да посерёдке толсто – это уж понятно из решения данной задачи. Правда, приведенная задача – одна из самых простых. Дальше будет корнеплод посложнее. Но, всему своё время. А сейчас – закончим решение приведенной задачи.

Шаг 6. Вычисляем уравненные значения углов:

β₁^' = 80° 16' 44,3" – 2,4" = 80° 16' 41,9"; β₂^' = 91° 45' 00,7" – 1,1" = 91° 44' 59,6";

β₃^' = 69° 25' 56,8" – 1,2" = 69° 25' 55,6"; β₄^' = 118° 32' 25,2" – 2,4" = 181° 32' 22,8".

Контроль: подстановка уравненных значений углов в уравнение (14.91) – условие выполнено! (проверьте это условие).

Очевидно, что при равноточных измерениях углов для них были бы получены одинаковые поправки, т.е. невязка была бы распределена поровну во все углы.

137.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками

На местности пройдена система нивелирных ходов с четырьмя узловыми точками 1, 2, 3 и 4 (рис. 14.8). В результате измерений образовано 9 секций, превышения в которых по указанному направлению приведены непосредственно на схеме. Указаны также высоты исходных реперов Р10, Р20 и Р30. В табл. 14.6 приведены длины ходов в секциях и значения весов и обратных весов превышений в секциях, вычисленные по формулам:

Рис. 14.8. Схема нивелирных ходов с четырьмя узловыми точками.

Таблица 14.6

Исходные данные

№ секции	Превышение h, мм	Длина хода s в секции, км	Вес p пре-вышения	Обратный вес q пре-вышения
	+3586	0,84	2,38	0,42
	+2841	1,36	1,47	0,68
	-752	2,15	0,93	1,08
	-1243	0,78	2,56	0,39
	+509	2,63	0,76	1,32
	+5338	2,05	0,98	1,03
	-5863	3,02	0,66	1,51
	+4639	3,44	0,58	1,72
	-3024	2,38	0,84	1,19

s_e = 2 км

, (14.95)

где

Требуется определить уравненные значения высот узловых точек.

Шаг 1. Общее число измерений n = 9, число необходимых измерений k = 4, число избыточных измерений r = 5.

Шаг 2. Составим r = 5 условных уравнений:

1. h₁^' + h₃^' – h₂^' = 0

2. h₄^' + h₅^' – h₃^' = 0

3.h₆^' + h₇^' + h₅^' = 0 (14.96)

4. h₇^' + h₈^' – h₉^' – (H_P30 – H_P20) = 0

5. h₁^' + h₄^' + h₈^' – (H_P30 – H_P10) = 0

Шаг 3. Приведём условные уравнения к линейному виду, продифференцировав их по аргументам h_i. Получим коэффициенты a_ij условных уравнений поправок:

а₁₁ = +1 ; а₃₁ = +1; а₂₁ = - 1 ;

а₄₂ = +1 ; а₅₂ = +1 ; а₃₂ = - 1 ;

а₆₃ = +1 ; а₇₃ = +1 ; а₅₃ = +1 ;

а₇₄ = +1 ; а₈₄ = +1 ; а₉₄ = - 1 ;

а₁₅ = +1 ; а₄₅ = +1 ; а₈₅ = +1 .

Составим матрицу коэффициентов a_ij со строкой обратных весов q_i (табл. 14.7).

Таблица 14.7

Матрица коэффициентов и обратных весов

→ i j↓
	+1	-1	+1
			-1	+1	+1
					+1	+1	+1
							+1	+1	-1
	+1			+1				+1
qi	0,42	0,68	1,08	0,39	1,32	1,03	1,51	1,72	1,19

Вычислим свободные члены (в мм), подставив в уравнения (14.96) измеренные значения h_i в секциях:

W₁ = h₁ + h₃ – h₂ = 3586 – 752 – 2841 = - 7 мм;

W₂ = h₄ + h₅ – h₃ = -1243 + 509 – (-752) = +18 мм;

W₃ = h₆ + h₇ + h₅ = 5338 – 5863 + 509 = - 16 мм;

W₄ = h₇ + h₈ – h₉ – (H_P30 – H_P20) = - 5863 + 4639 – (-3024) – 1794 = +6 мм;

W₅ = h₁ + h₄ + h₈ – (H_P30 – H_P10) = 3586 – 1243 + 4639 – 6965 = +17 мм.

Шаг 4. Найдём по формулам (14.88) коэффициенты b_jj нормальных уравнений коррелат:

(14.97)

После подстановки значений a_ij и q_i в уравнения (14.97) получим исходные нормальные уравнения коррелат:

1. 2,18k₁ – 1,08 k₂ + 0,42 k₅ – 7 = 0;

2. -1,08 k₁ + 2,79 k₂ + 1,32 k₃ + 0,39 k₅ + 18 = 0;

3. 1,32 k₂ + 3,86 k₃ + 1,51 k₄ – 16 = 0; (14.98)

4. 1,51 k₃ + 4,42 k₄ + 1,72 k₅ + 6 = 0;

5. 0,42 k₁ + 0,39 k₂ + 1,72 k₄ + 2,53 k₅ + 17 = 0.

Из решения системы уравнений (14.98) одним из способов получим:

k₁ = - 2,137; k₂ = - 11,552; k₃ = +9,606; k₄ = -3,882; k₅ = -1,945.

Контроль вычисления коррелат выполняем подстановкой их значений в исходные уравнения (14.98):

1. 2,18 (-2,137) – 1,08 (-11,552) + 0,42 (-1,945) – 7 = + 0,001;

2. -1,08(-2,137) + 2,79(-11,552) + 1,32(+9,606) + 0,39(-1,945) + 18 = -0,001;

3. 1,32(-11,552) + 3,86(+9,606) + 1,51(-3,882) – 16 = - 0,031;

4. 1,51(+9,606) + 4,42(-3,882) + 1,72(-1,945) + 6 = +0,001;

5. 0,42(-2,137) + 0,39(-11,552) + 1,72(-3,882) + 2,53(-1,945) + 17 = -0,001.

Сравнительно большее невыполнение условия мы видим в уравнении 3. Это вызвано погрешностями округлений. При вычислении с большими значащими цифрами этого не наблюдалось бы. При этом результаты вычислений принимаем удовлетворительными, поскольку поправки в измеренные значения превышений для данных условий будут в дальнейшем округляться до 1 мм, а вычисления проведены с большим запасом точности.

Шаг 5. Составляем условные уравнения поправок v_i, пользуясь формулами (14.86) и табл. 14.7:

(14.99)

После подстановки значений q_i, a_ij и k_j в (14.99) получим:

1. v₁ = 0,42 ∙1∙ (-2,137) + 0,42∙1∙ (-1,945) = - 1,714 = - 2 мм;

2. v₂ = 0,68 ∙ (-1) ∙ (-2,137) = + 1,453 = + 1 мм;

3. v₃ = 1,08 ∙ 1 ∙ (2,137) + 1,08 ∙ (-1) ∙ (-11,552) = +10,168 = + 10 мм;

4. v₄ = 0,39 ∙ 1 ∙ (-11,552) + 0,39 ∙1 ∙ (-1,945) = - 5,264 = - 5 мм;

5. v₅ = 1,32 ∙1∙ (-11,552) + 1,32 ∙ 1 ∙ (+9,606) = - 2,569 = - 3 мм;

6. v₆ = 1,03 ∙1 ∙ (+9,606) = + 9,894 = + 10 мм;

7. v₇ = 1,51 ∙ 1 ∙ (+9,606) + 1,51 ∙1 ∙ (-3,882) = + 8,643 = + 9 мм;

8. v₈ = 1,72 ∙ 1 ∙ (-3,882) + 1,72 ∙ 1 ∙ (-1,945) = - 10,022 = - 10 мм;

9. v₉ = 1,19 ∙ (-1) ∙ (-3,882) = + 4,620 = + 5 мм.

Контроль вычисления поправок можно выполнить по формулам (14.96), подставив в них вместо превышений значения поправок (суммы поправок должны быть равны значениям соответствующих невязок с обратным знаком):

1. v₁ + v₃ – v₂ = - 2 + 10 – 1 = + 7 мм (= - W₁);

2. v₄ + v₅ – v₃ = - 5 – 3 – 10 = - 18 мм (= - W₂ );

3. v₆ + v₇ + v₅ = +10 + 9 – 3 = + 16 мм (= - W₃ );

4. v₇ + v₈ – v₉ = + 9 – 10 – 5 = - 6 мм (= - W₄ );

5. v₁ + v₄ + v₈ = - 2 – 5 – 10 = - 17 мм (= - W₅ ).

Шаг 6. Вычисляем уравненные значения превышений в секциях и контролируем уравнивание по выполнению условия (14.96):

h₁'= + 3586 – 2 = + 3584 мм;

h₂'= + 2841 + 1 = + 2842 мм;

h₃'= - 752 + 10 = - 742 мм;

h₄ '= - 1243 – 5 = - 1248 мм;

h₅'= + 509 – 3 = + 506 мм;

h₆ '= + 5338 + 10 = + 5348 мм;

h₇'= - 5863 + 9 = - 5854 мм;

h₈'= + 4639 – 10 = + 4629 мм;

h₉ '= - 3024 + 5 = - 3019 мм.

Подстановка в уравнения (14.96) подтверждает выполнение указанного условия.

Вычисляем уравненные значения высот узловых точек 1, 2 , 3 и 4:

Н₁ = Н_Р10 + h₁' = 78,336 + 3,584 = 81,920 м;

H₂ = H_P10 + h₂' = 78,336 + 2,842 = 81,178 м;

H₃ = H_P20 – h₉' = 83,507 – (- 3,019) = 86,526 м;

H₄ = H_P30 – h₈' = 85,301 – 4,629 = 80,672 м.

Контроль вычислений здесь можно выполнить вторичным получением высот искомых точек по другим направлениям. Должны получиться те же результаты. Например, H₁ = H_P30 – h₈' – h₄' = 85,301 – 4,629 + 1,248 = 81,920 м.

Задача решена.

137.3. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками

Уравнивание таких систем полигонометрических ходов аналогично уравниванию как одиночного полигонометрического хода, так и системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой. В такой системе (рис. 14.9) образуется три независимых полигонометрических хода [(1), (2), (3)], в которых возникает по три условия: три условия дирекционных углов и шесть условий координат, т.е. получается девять условных уравнений.

Рис. 14.9. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками.

В табл. 14.8, 14.9 и 14.10 приведены необходимые исходные данные для решения задачи уравнивания, заключающейся в определении уравненных значений координат точек 1, 2, 3, M, N, а также уравненного значения дирекционного угла узловой линии MN. (В данном примере узловые точки M и N образуют и узловую линию).

Часто между узловыми точками прокладывают полигонометрический ход в две и более линии. Тогда понятие узловой линии не будет иметь места. Ею может быть любая линия с началом в какой-либо узловой точке).

Горизонтальные углы измерены равноточно с погрешностью m_β = 2,0". Расстояния измерены светодальномером с погрешностью, примерно одинаковой для всех линий (m_s = 18 мм = 1,8 см). В соответствии с указанной точностью измерения расстояний и углов веса углов принимаем равными единице (p_β = 1; q_β = 1), а веса расстояний –

Таблица 14.8

Координаты исходных пунктов

Координаты, м	B	C	F	G
Х	7183,652	8137,565	6124,924	7894,521
Y	4380,124	6463,782	4718,048	7173,596

Таблица 14.9

Исходные дирекционные углы

αАВ	71º 08' 14,3"	α BA	251º 08' 14,3"
α CD	118º 19' 14,7"	α DC	298º 19' 14,7"
α EF	324º 21' 18,0"	α FE	144º 21' 18,0"
α GH	159º 58' 14,2"	α HG	339º 58' 14,2"

Таблица 14.10

Измеренные горизонтальные углы и расстояния

Обозначение угла	Значение угла	Обозначение расстояния	Значение расстояния, м
β 1	226º 15' 25"	s 1	475,885
β 2	201º 36' 36"	s 2	693,027
β 3	85º 02' 31"	s 3	857,338
β 4	170º 15' 07"	s 4	401,239
β 5	172º 53' 18"	s 5	841,215
β 6	271º 07' 58"	s 6	625,329
β 7	280º 34' 07"	s 7	573,421
β 8	84º 46' 52"	s 8	989,716
β 9	337º 03' 44"
β 10	178º 54 26"
β 11	78º 21 28"

Выполним предварительные вычисления в полигонометрических ходах (1), (2) и (3), т.е. определим координаты точек ходов, используя только измеренные величины (табл. 14.11).

Шаг 1. Общее число измерений n = 19 (11 углов и 8 расстояний), число необходимых измерений k = 10, число избыточных измерений r = 9.

Таблица 14.11

Ведомость координат

№№ точек	Гориз.углы β	Дирекц.углы α	Рассто-яния s , м	Приращения координат, м	Координаты, м	№№ точек
Δх	Δу	Х	Y
A				Ход (1)
71°08'14,3"
B	226°15'25"	7183,652	4380,124	B
117°23'39,3"	475,885	-218,960	+422,520
	201°36'36"	6964,692	4802,644
139°00'15,3"	693,027	-523,068	+454,628
M	280°34'07"	6441,624	5257,272	M
239°34'22,3"	625,329	-316,693	-539,205
F	84°46'52"	6124,931 6124,924 +0,7 см	4718,067 4718,048 +1,9 см	Fo FИСХ
144°21'14,3" 144°21'18,0" -3,7"
E
		Ход (2)
A
71°08'14,3"
B	226°15'25"	7183,652	4380,124	B
117°23'39,3"	475,885	-218,960	+422,520
	201°36'36"	6964,692	4802,644	1
139°00'15,3"	693,027	-523,068	+454,628
M	85°02'31"	6441,624	5257,272	M
44°02'46,3"	857,338	+616,237	+596,054
N	170°15'07"	7057,861	5853,326	N
34°17'53,3"	401,239	+331,470	+226,098
	172°53'18"	7389,331	6079,424
27°11'11,3"	841,215	+748,281	+384,341
C	271°07'58"	8137,612 8137,565	6463,765 6463,782	Co СИСХ
118°19'09,3" 118°19'14,7" -5,4"
D		+4,7 см	-1,7 см
		Ход (3)
H
339°58'14,2"
G	78°21'28"	7894,521	7173,596	G
238°19'42,2"	573,421	-301,075	-488,022
	178°54'26"	7593,446	6685,574
237°14'08,2"	989,716	-535,620	-832,255
N	337°03'44"	7057,826	5853,320	N
34°17'52,2"	401,239	+331,471	+226,096
	172°53'18"	7389,297	6079,415
27°11'10,2"	841,215	+748,283	+384,337
C	271°07'58"	8137,580 8137,565	6463,752 6463,782	Co СИСХ
118°19'08,2" 118°19'14,7" -6,5"
D		+1,5 см	-3,0 см

Шаг 2. Составление условных уравнений.

Для трёх независимых ходов, будем иметь три условных уравнения для дирекционных углов и шесть условных уравнений для координат ( три – для абсцисс, три – для ординат).

1.

2.

3.

4.

5. (14.100)

6.

7.

8.

9.

В уравнениях (14.100) индексы (1), (2) и (3) относятся к соответствующим ходам (см. табл. 14.11), например, n₍₁₎ = 4, n₍₂₎ = 6, n₍₃₎ = 5.

Приведём условные уравнения к линейному виду по правилам, изложенным выше. В полученные выражения введём знак гауссовых сумм.

1.

2.

3.

4.

5. (14.101)

6.

7.

8.

9.

В уравнениях (14.101) значения координат берут в километрах, а значение ρ = 206265″ уменьшают на 100000.

Вычислим значения невязок в уравнениях (14.101) с учётом данных измерений и предварительных вычислений:

W_i = T_i^o – T_i(исх) , (14.102)

где T_i^o – результат вычисления исходной величины T_i(исх).

W₁ = 144º 21' 14,3" – 144º 21' 18,0" = - 3,7" ;

W₂ = 118º 19' 09,3" – 118º 19' 14,7" = - 5,4" ;

W₃ = 118º 19' 08,2" – 118º 19' 14,7" = - 6,5" ;

W₄ = 6124,931 – 6124,924 = +0,007 м = + 0,7 см;

W₅ = 4718,067 – 4718,048 = + 0,019 м = + 1,9 см;

W₆ = 8137,612 – 8137,565 = + 0,047м = + 4,7 см;

W₇ = 6463,765 – 6463,782 = - 0,017 м = - 1,7 см;

W₈ = 8137,580 – 8137,565 = + 0,015 м = + 1,5 см;

W₉ = 6463,752 – 6463,782 = - 0,030 м = - 3.0 см .

По данным табл. 14.11 составим табл. 14.12 значений синусов и косинусов дирекционных углов и разностей абсцисс и ординат. Получим окончательные условные уравнения поправок:

Таблица 14.12

Значения синусов и косинусов дирекционных углов, значения разностей координат

№№ точек	Sin αi	Cos αi	(хn0-xi0), км	(yn0-yi0), км
Ход 1
В	(В-1) 0,8879	-0,4601	-1,0587	0,3379
	(1-М) 0,6560	-0,7548	-0,8398	-0,0846
М	(M-F) -0,8623	-0,5064	-0,3167	-0,5392
F
Ход 2
В	(В-1) 0,8879	-0,4601	0,9540	2,0836
	(1-М) 0,6560	-0,7548	1,1729	1,6611
М	(M-N) 0,6952	0,7188	1,6960	1,2065
N	(N-2) 0,5635	0,8261	1,0798	0,6104
	(2-C) 0,4569	0,8895	0,7483	0,3843
C
Ход 3
G	(G-3)-0,8511	-0,5250	0,2431	-0,7098
	(3-N)-0,8409	-0,5412	0,5441	-0,2218
N	(N-2)0,5635	0,8261	1,0798	0,6104
	(2-C)0,4569	0,8895	0,7483	0,3843
C

(14.103)

Составим матрицу коэффициентов a_ij и обратных весов q_i , необходимую для определения коэффициентов нормальных уравнений коррелат (табл. 14.13).

Таблица 14.13

Матрица коэффициентов и обратных весов

i→ j↓	β1	β2	β3	β4	β5	β6	β7	β8	β9
	-0,1638	0,0410					0,2614
	-0,5133	-0,4071					-0,1535
	-1,0102	-0,8053	-0,5849	-0,2959	-0,1863
	0,4625	0,5686	0,8222	0,5235	0,3628
					-0,1863				-0,2959
					0,3628				0,5235
qi

(продолжение табл. 14.13)

β10	β11	s1	s2	s3	s4	s5	s6	s7	s8
		-0,4601	-0,7548				-0,5064
		0,8879	0,6560				-0,8623
		-0,4601	-0,7548	0,7188	0,8261	0,8895
		0,8879	0,6560	0,6952	0,5635	0,4569
0,1076	0,3441				0,8261	0,8895		-0,5250	-0,5412
0,2638	0,1178				0,5635	0,4569		-0,8511	-0,8409
		0,810	0,810	0,810	0,810	0,810	0,810	0,810	0,810

Шаг 4. Составление нормальных уравнений коррелат.

1. 4k₁ + 2 k₂ + 0,1386 k₄ – 1,0739 k₅ – 1,8155 k₆ + 1,0311 k₇ – 3,7= 0;

2. 2 k₁ + 6 k₂ + 2 k₃ – 0,1228 k₄ – 0,9204 k₅ – 2,8827 k₆ + 2,7396 k₇ - 0,1863 k₈ +

+0,3628 k₉ – 5,4 = 0;

3. 2 k₂ + 5 k₃ – 0,1863 k₆ +0,3628 k₇ -0,0306 k₈ + 1,2679 k₉ – 6,5 = 0;

4. 0,1386 k₁ – 0,1228 k₂ + 0,9375 k₄ -0,3510 k₅ +0,7654k₆ – 0,7844 k₇ + 0,7 = 0;

5. -1,0739 k₁ – 0,9204 k₂ – 0,3510 k₄ + 2,3327 k₅ + 0,1144 k₆ + 0,5182 k₇ + 1,9 = 0;

6. -1,8155 k₁ – 2,8827 k₂ – 0,1863 k₃ + 0,7654 k₄ + 0,1144 k₅ + 4,3786 k₆ -1,2495 k₇ +

+ 1,2284 k₈ + 0,6387 k₉ + 4,7 = 0;

7. 1,0311 k₁ + 2,7396 k₂ + 0,3628 k₃ – 0,7844 k₄ +0,5182k₅ -1,2495 k₆ + 3,4238 k₇ + +0,6387 k₈ + 0,5579 k₉ – 1,7 = 0;

8. -0,1863 k₂ – 0,0306 k₃ + 1,2284 k₆ + 0,6387 k₇ + 1,9065 k₈ + 1,2832 k₉ + 1,5 = 0;

9. 0,3628 k₂ + 1,2679 k₃ + 0,6387 k₆ + 0,5579 k₇ + 1,2832 k₈ + 2,0749 k₉ – 3,0 = 0.

(14.104)

Из решения системы нормальных линейных уравнений (14.104) получим:

k₁ = + 0,474; k₂ = - 0,375; k₃ = + 0,740; k₄ = - 0,379; k₅ = - 0,983; k₆ = - 0,614; k₇ = + 0,422; k₈ = - 2,263; k₉ = + 2,534.

Подстановка полученных значений коррелат в исходные уравнения (14.104) показывает выполнение указанных условий.

Шаг 5. Составление уравнений поправок и вычисление поправок.

В соответствии с таблицей 14.13:

Таблица 14.14

Ведомость координат

№№ точек	Гориз.углы β	Дирекц.углы α	Рассто-яния s , м	Приращения координат, м	Координаты, м	№№ точек
Δх	Δу	Х	Y
A				Ход (1)
71°08'14,3"
B	226°15'26,48"	7183,6520	4380,1240	B
117°23'40,78"	475,8847	-218,9627	+422,5182
	201°36'37,22"	6964,6893	4802,6422
139°00'18,00"	693,0301	-523,0761	+454,6230
M	280°34'07,53"	6441,6132	5257,2652	M
239°34'25,53"	625,3374	-316,6888	-539,2171
F	84°46'52,47"	6124,9244 +0,4 мм	4718,0481 +0,1 мм	F
144°21'18,00" 0,00"
E
		Ход (2)
A
71°08'14,3"
B	226°15'26,48"	7183,6520	4380,1240	B
117°23'40,78"	475,8847	-218,9627	+422,5182
	201°36'37,22"	6964,6993	4802,6422	1
139°00'18,00"	693,0301	-523,0761	+454,6230
M	85°02'31,33"	6441,6132	5257,2652	M
44°02'49,33"	857,3368	+616,2274	+596,0623
N	170°15'07,03"	7057,8406	5853,3276	N
34°17'56,36"	401,2332	+331,4621	+226,0995
	172°53'19,97"	7389,3027	6079,4271
27°11'16,33"	841,2052	+748,2631	+384,3547
C	271°07'58,37"	8137,5658 +0,8 мм	6463,7818 -0,2 мм	C
118°19'14,70" 0,00"
D
		Ход (3)
H
339°58'14,2"
G	78°21'28,26"	7894,5210	7173,5960	G
238°19'42,46"	573,4133	-301,0701	-488,0160
	178°54'27,16"	7593,4509	6685,5800
237°14'09,62"	989,7087	-535,6104	-832,2528
N	337°03'46,74"	7057,8405	5853,3272	N
34°17'56,36"	401,2332	+331,4621	+226,0995
	172°53'19,97"	7389,3026	6079,4267
27°11'16,33"	841,2052	+748,2631	+384,3547
C	271°07'58,37"	8137,5657 +0,7 мм	6463,7814 -0,6 мм	C
118°19'14,70" 0,00"
D

Шаг 6. Вычисление уравненных значений координат и дирекционных углов.

Поправки в измеренные величины вводим непосредственно при обработке ведомости уравнивания (табл. 14.14), составленной по аналогии с табл. 14.12.

Как видно из данных уравнивания (при сравнении с исходными даными) линейные остаточные невязки в ходах не превышают 3-х мм, угловые остаточные невязки равны нулю.

Задача решена.

Остаточные невязки в углах и координатах являются несущественными и зависят от округления промежуточных результатов.

Обычно после завершения уравнивания значения координат округляют до 1 мм, а значения углов до 0,1".