Влияние кривизны Земли на измеренные расстояния

«Жил на свете человек,

скрюченные ножки…».

Из детской книжки стихов.

В этом стишке не только ножки скрюченные. Всё там скрючено и кривенько. Да и не только там. Утром, идя на работу, учёбу, или вечером, приближаясь к дому, мы никак не ощущаем кривизны Земли (тоже, как выяснено, кривенькая). Больше нам мешают всякие кривые неровности на нашем пути. Поэтому кривизна Земли в некоторой степени вещь относительная.

При выполнении геодезических работ на сравнительно небольших территориях поверхность Земли можно принимать за плоскую, и измеренные расстояния на плоском изображении принимать равными соответствующим расстояниям на сферической поверхности. Чаще всего и приходится выполнять именно такие работы, на небольших по размерам территориях: в пределах площадки строительства, в пределах шахтного поля и т.п. При измерениях значительных по величине расстояний необходимо учитывать влияние кривизны поверхности Земли. Но, как будет показано дальше, измерение некоторых расстояний требует учёта кривизны Земли и для сравнительно небольших расстояний на её поверхности.

Для простоты изложения примем, что Земля представляет собой шар радиусом R (радиус Земли, представляемой в виде шара, принимают равным 6371,11 км). Предположим, что по поверхности шара из точки А в точку В перемещается (перекатывается) материальная точка (рис. 2.1), при этом расстояние S = АВ , которое пройдёт эта точка по поверхности шара, равно

, (2.1)

где α - центральный угол дуги АВ (в радианах).

Предположим, что точка движется по касательной в точке А к поверхности шара и пройдёт по ней путь S_о = AB', соответствующий движению по поверхности шара на пути S. Для величины S_o можно записать:

. (2.2)

Разность в пройденных путях ΔS = ( S_о - S ) = R ( tgα – α ) и будет являться ошибкой в измеренном расстоянии из-за кривизны Земли.

Для малых значений углов α при разложении в ряд функции tg α получим

, (2.3)

а после подстановки в выражение для S -

, (2.4)

поскольку α = S / R.

Аналогично рассмотрим влияние кривизны Земли на определение вертикальных расстояний.

Математически установлено, что погрешнсоть (отклонение) h , равная разности отрезков ОВ' и OВ = R, находится через принятые ранее параметры по формуле

(2.5)

или, ввиду малой разности S и S _о при малых α и h, - по формуле

. (2.6)

Рис. 2.1. Учет влияния кривизны Земли.

Оценка возможных погрешнсотей при измерении вертикальных и горизонтальных расстояний приведена в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Погрешности в измеренных расстояниях из-за кривизны Земли

Измеренное расстояние S , км	0,1
Абсолютная погрешность S, м	-	-	-	0,001	0,008	1,03	8,2	65,7
Относительная погрешность ΔS/S					1/1250000	1/50000	1/25000	1/3000
Абсолютная погрешность h, м	0,001	0,078	0,314	1,96	7,8

Точность измерения линий в геодезических сетях высших классов определяется относительной погрешностью порядка 1:400000, что практически является соизмеримым для S = 10 км (и, конечно, более 10 км). До 10 км при измерении горизонтальных расстояний во многих случаях влиянием кривизны Земли можно пренебречь.

Автор приностит свои извинения, что вводит в рассказ понятие относительная погрешнсоть, да и абсолютная погрешнсоть, без всяких необходимых пояснений этого понятия. Получается понятие без понятия. Но дальше об этом будет сказано несколько подробнее, а сейчас автор, думается, правильно посчитал, что читателю понятно слово погрешнсоть даже без определения этого слова. Ну а относительная погрешность – это та же погрешность, но выраженная просто в другой форме. Например, если абсолютную погрешность 8 мм разделить на измеренное расстояние 10 км (см. табл. 2.1), то как раз и получится вот такая относительная погрешность: 1/1250000.

Совсем другая картина наблюдается при оценке погрешностей в вертикальных отрезках. Как раз об этом и было предупреждение выше. Точность определения высот при геодезических работах, например, при топографической съёмке, определяется величиной 5 см, т.е. уже для расстояний S = 1000 м необходимо учитывать кривизну Земли. Если же точность измерений выше, например 5 мм и меньше, то учёт кривизны Земли следует начинать примерно для расстояний 250 – 300 м, что легко проверить обратным расчетом по формуле (2.6).