Лекция 8. Соотношения неопределенностей. Принцип дополнительности

Так как импульс частицы и волновой вектор волны де Бройля пропорциональны друг другу, то из (1.45) получаем:

. (1.73)

Аналогичные неравенства справедливы вдоль осей y, z:

. (1.73a)

Такие неравенства впервые получил Гейзенберг (1927). Это соотношения неопределенностей. Они играют важную, принципиальную роль в квантовой физике.

Величины рассматриваются как среднеквадратичные отклонения от средних значений и определяются общими: .

. (1.74)

Невозможно одновременно точно измерить координату и импульс микрочастицы. Действительно, допустим, что положение частицы на оси x известно точно, т.е. . Тогда согласно (1.74) проекция импульса частицы неопределенна: .

Для микроскопической частицы, например, электрона, находящегося в атоме, . Тогда погрешность в определении скорости равна . Такая погрешность уже сравнима с самим значением скорости электрона и даже превосходит его. Действительно, характерной энергии электрона в атоме порядка 10 эВ соответствует скорость порядка . Таким образом, при достаточно точном задании положения электрона в атоме его скорость нельзя считать вполне определенной.

Если частица находится в ящике размером l, то этим размером определяется местоположение частицы, т.е. . По соотношению неопределенности , так что энергия частицы . Отсюда видно, что более точное определение местоположения частицы требует затрат энергии, которые возрастают с уменьшением l.Таким образом, чем в меньшей области локализована частица, тем большей энергией она обладает.

Соотношения неопределенностей вызвали в свое время множество дискуссий и различных толкований. Для правильного понимания этих соотношений необходимо иметь в виду, что введение динамических характеристик частицы (материальной точки) – координаты и импульса – в классической механике основано на многочисленных экспериментальных данных, и эти характеристики являются понятиями макроскопическими. С точки зрения физики нельзя требовать, чтобы эти понятия автоматически переносились в область микроскопических масштабов. Это следует из того, что реальные микрочастицы обладают и корпускулярными, и волновыми свойствами. Соотношения неопределенностей выступают как объективная закономерность, которая ограничения на применимость классических понятий координаты и импульса к описанию состояния микрочастицы.

Допустим, что можно указать эксперимент, который, может быть, не осуществим по техническим причинам, но который позволял бы в принципе одновременно измерить положение и импульс микрочастицы с любой точностью. Это означало бы тогда, что соотношения неопределенностей принципиально ошибочны, и что сама квантовая механика ошибочна. Однако мысленные эксперименты привели к подтверждению этих соотношений

Из множества таких экспериментов рассмотрим простейший: дифракция электронов на одной щели.

Факт возникновения дифракционной картины, которая изображена справа, означает, что электрон, падающий на щель слева, проходит сквозь эту щель. Если экран со щелью жестко закреплен, то ширина щели может служить мерой неопределенности положения электрона в момент прохождения им щели. Уменьшая ширину до сколь угодно малой величины, можно определить положение электрона в этот момент, в принципе, с любой степенью точности. вдоль оси х импульс электрона меняется на величину . Какова эта величина - точно сказать нельзя, так как электрон с определенной вероятностью может попасть в любую точку на экране. Изменение импульса можно оценить по формуле .Будем учитывать попадание электронов на регистрирующий экран только в пределах главного дифракционного максимума. Тогда угол характеризует направление к первому дифракционному минимуму. Для этого необходимо, чтобы разность хода двух волн, дифрагированных от верхнего и нижнего краев щели, удовлетворяла условию: .

Если мы хотим измерить импульс электрона, то вместо необходимо взять очень легкий подвижный экран со щелью. В этом случае в момент прохождения электроном щели по импульсу отдачи можно определить импульс электрона. Однако в этом случае положение электрона нельзя характеризовать шириной щели, так как она перемещается вместе с экраном в момент прохождения электрона и не может служить системой отсчета.

Соотношение неопределенностей типа (1.73) справедливо для любой пары канонически сопряженных переменных. Такой парой помимо координаты и импульса являются, например, азимутальный угол и проекция вектора момента импульса на ось z, и др. Поэтому существует соотношение неопределенности

. (1.75)

Особую роль играет соотношение неопределенностей для энергии и времени

. (1.76)

Соотношения неопределенностей отражают важные свойства микромира:

а) микрочастицы не имеют определенной траекториисвоего движения. Применение понятия траектории к микрочастице возможно при пренебрежении дифракцией. При распространении света в неоднородной среде это соответствует приближению геометрической оптики (длина волны намного меньше характерного масштаба неоднородности L): .

В случае волн де Бройля это означает: . (1.77a)

б) микрочастицы не могут находиться в состоянии полного покоя.

в) свойства атомного объекта неотделимы от средств наблюдения. Объекты наблюдения – это микрочастицы . Они описываются квантовыми законами. Средства наблюдения макроскопические . Они описываются с помощью законов классической физики.

Бор считал, что корпускулярные и волновые свойства материи не исключают, а дополняют друг друга. Это принцип дополнительностиБора.

В классической физике имеет место принцип причинности - задание состояния системы в начальный момент времени полностью определяет ее состояние во все последующие моменты времени.