Задачи для самостоятельного решения. 5.1.Двадцать пять экзаменационных билетов содержат по два вопроса

5.1.Двадцать пять экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 45 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

5.2.Охотник сделал три выстрела по кабану. Вероятность попадания первым выстрелом 0,4, вторым – 0,5, третьим – 0,7. Одним попаданием кабана можно убить с вероятностью 0,2, двумя попаданиями – с вероятностью 0,6, а тремя – наверняка. Найти вероятность того, что кабан будет убит.

5.3.На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6, от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантированного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока?

5.4.На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит в среднем продукции с процентом брака 4 %, вторая - продукции с процентом брака 6 %. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие окажется бракованным?

5.5.Студент знает 24 билета из 30. В каком случае вероятность вытащить счастливый билет для него больше, если он идет сдавать экзамен первым или если вторым?

5.6.В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.

5.7.Для участия в студенческих отборных спортивных соревнованиях выделено из первой группы 4, из второй – 6, из третьей – 5 студентов. Вероятности того, что студент первый, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно, равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?

5.8.В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.

5.9.В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки A, 6 марки B и 4 марки C. Вероятность того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равна: 0,9; 0,8 и 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?

5.10.На предприятии, изготавливающем болты, первая машина производит 25 %, вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2 %. а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный? б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?

5.11.Турист, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело 5 дорог. Известно, что вероятности выхода из леса за час для различных дорог равны соответственно 0,6; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1. Чему равна вероятность того, что заблудившийся турист пошел по первой дороге, если известно, что он вышел из леса через час?

5.12.Группа студентов состоит из a - отличников, b – хорошо успевающих и c – занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

5.13.В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 - подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо.. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

5.14.Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местонахождения и равны соответственно , , . Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы , для второй - , для третьей - . Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

5.15.У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью ; на втором месте – с вероятностью ; на третьем – с вероятностью . Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку, и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

5.16.При разрыве снаряда образуются осколки трех весовых категорий: крупные, средние и мелкие, причем число крупных, средних и мелких осколков составляет соответственно 0,1; 0,3; 0,6 общего числа осколков. При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с вероятностью 0,9, средний – с вероятностью 0,2 и мелкий – с вероятностью 0,05. В броню попал один осколок и пробил ее. Найдите вероятности того, что эта пробоина причинена крупным, средним и мелким осколком.

5.17.В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель – 0,85. Проведена проверка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара обуви отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что это а) сапоги, б) туфли?

5.18.На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25 %, второй - 35 %, третий – 40 % всех замков. Брак составляет соответственно 5 %, 4 %, 2%. а) Найти вероятность того, что случайно выбранный замок является дефектным; б) Случайно выбранный замок является дефектным. Какова вероятность того, что он был изготовлен в первом, втором, третьем цехе?

5.19.В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90 %, второй – 85 %, третьей – 75 %. Найти вероятность того, что: а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность, что оно изготовлено третьей фирмой?

5.20.В студенческой группе 70 % - юноши. 20 % юношей и 40 % девушек имеют сотовый телефон. После занятий в аудитории был найден кем – то забытый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал: а) юноше; б) девушке?

5.21.Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятности их попадания в мишень соответственно равны 0,75 (1-й стрелок) и 0,80 (2-й стрелок). После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что в мишень попал 2-й стрелок?

5.22.На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что 1-й автомат дает 0,25 % брака; 2-й – 0,40 %, 3-й – 0,60 %. Какова вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с 1-го автомата поступило 2000, со 2-го - 1500 и с 3-го – 1300 деталей?

5.23.В 1-й урне находится 7 белых и 5 синих шаров, а во 2-й – 4 белых и 8 синих. Из первой урны наудачу перекладывают во вторую 2 шара, а затем из 2-й урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?

5.24.В коробке находится 4 новых и 2 уже использованных теннисных мяча. Для первой игры берут из коробки 2 мяча, а затем их возвращают после игры в коробку. Найти вероятность того, что для второй игры будут вынуты два новых мяча.

5.25.В торговую фирму поставляются телевизоры тремя фирмами в соотношении 5:2:3. Телевизоры, поступающие от этих фирм, не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96 %, 92 % и 94 % случаев. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. Какая фирма вероятнее всего поставила данный телевизор?

5.26.На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,7 поступает полезный сигнал с помехами, а с вероятностью 0,3 – только одни помехи. Если поступает полезный сигнал с помехами, то устройство регистрирует наличие сигнала с вероятностью ; если только помехи – с вероятностью . Какова вероятность того, что устройство зарегистрирует какой-то сигнал?

5.27.Семь студентов, получив билеты, готовятся к ответу экзаменатору. Знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,9, незнание – с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что вызванный наудачу студент сдаст экзамен, если Иванов знает 20 билетов из 30, Петров – лишь 15, а остальные студенты знают все билеты?

5.28.В альбоме 7 негашеных и 6 гашеных марок. Из них наудачу извлекаются 2 марки, подвергаются гашению и возвращаются в альбом. После чего вновь извлекаются 3 марки. Определить вероятность того, что все 3 марки чистые?

5.29.При перевозке ящика, в котором находилось 21 стандартных и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

5.30.Банк выдал два долгосрочных, десять среднесрочных и восемь краткосрочных кредитов. Известно, что один кредит не был погашен в срок. Найти вероятность того, что им оказался долгосрочный кредит, если вероятность погашения в срок долгосрочного кредита 0,9; среднесрочного – 0,8; краткосрочного – 0,7.

5.31.Прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя в течение 10 лет первой микросхемы равна 0,07, а второй – 0,10. Известно, что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что из строя вышла первая микросхема?

5.32.Известно, что 90 % изделий, выпускаемых данным предприятием, отвечает стандарту. Упрощенная схема проверки качества продукции признает пригодной стандартную деталь с вероятностью 0,96 и нестандартную с вероятностью 0,06. Определить вероятность того, что: а) взятое наудачу изделие пройдет контроль; б) изделие, прошедшее контроль качества, отвечает стандарту.

5.33.В отборочный цех завода поступает 40 % деталей из I цеха и 60 % - из II цеха. В I цехе производится 90 % стандартных деталей, а во II – 95 %. Найти вероятность того, что: а) наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной; б) стандартная деталь изготовлена II цехом.