Колебания одномерной решетки с базисом

ДИНАМИКА КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ

Процессы колебания атомов кристалла связаны с такими физическими явлениями, как распространение звука, тепла, с теплоемкостью и диффузией атомов, с тепловым расширением твердых тел и др. Электропроводность тоже зависит от колебаний атомов.

Колебания атомов кристаллической решетки

Атомы твердого тела колеблются относительно положения равновесия при любых температурах, в том числе и при 0 К (нулевые колебания). При малых амплитудах (в области, описываемой параболой) колебания можно считать гармоническими. Найдем закон дисперсии w = f( ) или .

Одномерные колебания однородной струны

Рассмотрим распространение продольных волн в однородной неограниченной струне с линейной плотностью r (рис. 5.1). На элемент толщиной Dх действуют силы Ss(x) слева и Ss(x + Dх) справа, где S – площадь, s(x) – нормальное упругое напряжение. Таким образом на элемент Dх действует результирующая сила

. (5.1)

Под действием этой силы происходит смещение U(x,t) центра масс элемента Dх и с учетом второго закона Ньютона уравнение движения будет:

(5.2)

Рис. 5.1. Однородная бесконечная струна

(5.3)

Так как в соответствии с законом Гукаs = Еe = Е , то при Dх ® 0

. (5.4)

Волновое уравнение для упругих волн, распространяющихся вдоль струны:

(5.5)

Решение уравнения (5.5) – бегущая продольная монохроматическая волна:

. (5.6)

Подставив (5.6) в (5.5), получим:

, (5.7)

т.е. w линейно и непрерывно зависит от k (рис.5.2).

Продольная скорость распространения упругой волны:

. (5.7)

Типичное значение = 5×10³ м/c (железо).

Рис. 5.2. Зависимость частоты w (энергии ) колебаний струны от волнового вектора

Так как k меняется от 0 до ¥, то и w меняется от 0 до ¥ непрерывно. Так же меняется и энергия колебаний E = . Угол наклона w = f(k) пропорционален скорости .

Колебания одноатомной линейной цепочки

В качестве одномерной модели твердого тела рассмотрим цепочку из N одинаковых атомов массой m и межатомным расстоянием a, которые могут перемещаться только вдоль оси х. Таким образом каждый атом обладает одной степенью свободы, а вся система N cтепенями свободы (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Линейная цепочка одинаковых атомов

Сместим из равновесия атом с номером n на расстояние U_n. По цепочке пройдет волна сжатия. Найдем уравнение движения n-го атома. Пусть его смещение U_n(x,t) невелико по сравнению с a, т.е. силы со стороны соседей можно считать квазиупругими и согласно закону Гука они пропорциональны смещениям. Действие силы Гука уравновешивается обычной силой Ньютона. Учтем только ближайшие атомы:

(5.8)

Соответствующее уравнение движения:

(5.9)

Решение (2) ищем в виде бегущей волны:

, (5.10)

где U₀ – амплитуда;

;

w – круговая частота.

Подставив (5.10) в (5.9), имеем:

, (5.11)

так как

тогда

(5.12)

Это периодическая функция, w – четная функция k: w²(k) = w²(–k) (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Зависимость частоты колебаний w цепочки атомов от волнового вектора

Из (5.12) следует, что все атомы колеблются с дискретными частотами w, зависящими от ( ; ).

(5.13)

, (5.14)

с другой стороны w_max » _зв ×k_max = _зв ×(p/a).

w_max = 5×10³ м/с×10¹⁰ м^–1 @ 5×10¹³ с^–1.

Из рис. 5.5 видно, что короткие волны распространяются медленнее, чем длинные, из-за инерции масс частиц цепочки. Для длинных волн (k мало) фазовая скорость:

(5.15)

Рис. 5.5. Групповая _гр и фазовая скорости распространения колебаний в цепочке атомов

Так как скорость звука зависит от l: (дис-персия), то распространение характеризуется фазовой и групповой _гр скоростями:

, (5.16)

при

(5.17)

Фазовая скорость характеризует перемещение фазы колебаний. При малых значениях k: = _гр = _зв.

Групповая скорость характеризует перемещение вещества или перенос энергии колебаний и при : _гр = 0, т.е. при этих условиях образуются стоячие волны и энергия не переносится.

В бесконечной цепочке трудно определить граничные условия, но такую цепочку можно смоделировать кольцом, таким образом, что последний атом n = N находится на расстоянии a от первого n = 1.

Это периодические граничные условия Борна-Кармана (условия цикличности):

U_n+N = U_n,

т.е. из (5.10)

(5.18)

Это справедливо, если exp(ikNa) = 1, или kNa = 2pn (n = 0, ±1, ±2, ... ), т.е.

(5.19)

Таким образом, k – квантуется (N штук) (рис. 5.4).

Границы зоны Бриллюэна: .

Зона Бриллюэна – это интервал значений волновых векторов , содержащий все возможные значения энергии системы, повторяющиеся с периодом .

Число собственных значений k в пределах зоны Бриллюэна равно N – числу атомов или элементарных ячеек в цепочке (число нормальных колебаний).

Колебания одномерной решетки с базисом

Пусть линейная цепочка состоит из атомов двух сортов с массами m₁ и m₂, т.е. одномерная решетка с базисом 2 (рис. 5.6) (Ge, Si, A³B⁵ и др.). Пусть коэффициент квазиупругой силы b всюду одинаков. Тогда уравнения движения обоих сортов атомов:

(5.20)

(5.21)

Решение этих уравнений будем искать в виде:

(5.22)

Подставляя (5.22) в (5.21) и (5.20), получаем:

(5.23)

Эта система имеет решение относительно А₁ и А₂, если детерминант ее равен нулю, т.е.

(5.24)

Так как e^ika + e^–ika = 2 Coska; 1 – Coska = 2Sin²(ka/2), то

(5.25)

, (5.26)

где

;

Рис. 5.6. Линейная цепочка двух разных атомов

Таким образом, существует два корня уравнения (5.23):

оптич. (5.27)

акустич. (5.28)

Проанализируем оптическую и акустическую моды колебаний. Частоты колебаний при q = 0:

; (5.29)

Каждому значению l (k) соответствуют две моды колебаний (два значения).

Из (5.22) и (5.23) для k = 0:

(5.30)

Все атомы колеблются в фазе.

(5.31)

Атомы смещаются в противофазе (рис.5.7).

Рис. 5.7. Акустические и оптические колебания разных атомов

При малых k @ 0 можно считать и, разлагая корни (5.27) и (5.28) в ряд дважды, получим:

, (5.32)

т.е. с ростом k w_оп уменьшается квадратично.

,

Для акустических колебаний:

(5.33)

_{ф ак} = _{гр ак} = _зв

Оптические колебания меняют электрический дипольный момент заряженных атомов, что ведет к поглощению или испусканию ИК-излучения.

При k_max = p/a из (5.27) и (5.28):

(5.34)

Спектры акустических и оптических колебаний показаны на рис. 5.8. Возможно появление зоны запрещенных энергий (частот).

Рис. 5.8. Спектр колебаний линейной цепочки атомов с базисом 2

Краткие выводы

1) Колебания однородной струны характеризуются непрерывным спектром энергий от 0 до ¥ и непрерывным изменением k от 0 до ¥. w = ×k.

2) В одноатомной линейной цепочке устойчиво существует набор нормальных дискретных мод для (первой зоны Бриллюэна).

3) Нормальные частоты первой зоны Бриллюэна периодически повторяются через . Граница зоны Бриллюэна определяется l_max = 2a, тогда как l_min = 2L (длина цепочки).

4) На границе зоны Бриллюэна _гр = 0 (стоячая волна). периодичность свойств является следствием граничных циклических условий Борна-Кармана и периодического расположения атомов в цепочке.

5) В одномерной решетке с базисом распространяется два типа колебаний: акустические (в фазе) и оптические (в противофазе). При k = 0 w_ак = 0, w_оп = w_о.