Порядок обработки результатов измерений

ГОСТ 8.207-76 устанавливает следующий порядок статистической обработки группы результатов наблюдений:

1. Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений (ввести поправки).

2. Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений , принимаемое за результат измерения,

.

3. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдения

.

4. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения

.

5. Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению. Этот пункт в общем физическом практикуме не выполняется в связи с тем, что при N < 15 нет достаточно надежных методов оценки нормальности выборки.

- 25 -

6. Вычислить доверительные границы (доверительный интервал) случайной погрешности результата измерений при доверительной вероятности = 0,95;

= ; = 0,95.

7. Вычислить границы неисключенной систематической погрешности результата измерения .

8. Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения

, = 0,95.

Пример, иллюстрирующий правила проведения

Измерений и обработки их результатов

По ГОСТ 8.207-76

Пусть необходимо измерить плотность желтого цилиндра.

Сразу можно сказать, что l (10 - 12) см, d 5 мм и

m 20 г.

Согласно определению плотности

, ибо для цилиндра.

- 26 -

В распоряжении имеются следующие измерительные инструменты:

А. Штангенциркуль Шц-1-125, согласно паспорту которого:

1) пределы измерений 0 - 125 мм;

2) цена деления нониуса 0,1 мм;

3) допускаемая погрешность ± 0,1 мм.

Перед измерением протереть измерительные поверхности и штангу, проверить плавность хода рамки и совпадение нулевых штрихов.

Б. Микрометр МК-25, согласно паспорту которого:

1) пределы измерений от 0 до 25 мм;

2) цена деления барабана 0,01 мм;

3) допустимая погрешность ± 0,004.

Перед измерением тщательно протереть измерительные плоскости микрометра, проверить плавность хода винта и нулевуюустановку. Измерение микрометром следует производить всегда пользуясь только трещоткой.

В. Аналитические демпферные весы 2-го класса АДВ-200-М, согласно паспорту которых:

1) предел измерения 200 г;

2) цена деления оптической шкалы 0,1 мг/дел;

3) диапазон измерения по оптической шкале ± 10 мг;

4) вариация показаний £ 0,1 мг;

5) погрешность от неравноплечности

£ 1 мг при выпуске с завода,

2 мг при эксплуатации;

6) погрешность 100 делений оптической шкалы £ ± 0,3 мг;

7) погрешность кольцевых миллиграммовых гирь ±0,05 мг.

Г. Гири аналитические ГА-200 , набор 1; 2; 2,5; 10; 10; 20; 50; 100г согласно паспорту которых:

1) материал граммового набора - латунь Л-62,

2) допустимая погрешность для гирь массой 100, 50 и 20 г + 1,0 мг, а для гирь массой 10, 5, 2 и 1 г + 0,6 мг .

С какой точностью измерять ?

Перед нами стоит задача: получить плотность с максимально возможной точностью при минимальных затратах на измерение и обработку. В связи с этим принимаем решение провести предварительный анализ систематических погрешностей.

- 27 -

При измерении плотности мы проводим косвенное измерение. Причем функция имеет вид произведения аргументов. Поэтому для подсчета систематической погрешности удобнее воспользоваться формулой

.

Найдем

Вычислим частные производные от ln :

Примечание. Число тоже считаем переменной величиной, так как при вычислении мы можем брать с различной степенью точности.

Следовательно, формула для подсчета систематической погрешности принимает вид

.

Оценим отдельные члены этой суммы :

,

- играет основную роль,

,

- можно сделать любой в зависимости от числа знаков в .

Анализируя полученные численные значения отдельных членов суммы для подсчета погрешностей, принимаем решение:

- 28 -

- измерить с максимально возможной точностью, ибо погрешность результата измерения в основном определяет погрешность измерения ;

l - измерять возможно точнее, но число измерений можно взять несколько меньше, чем для , ибо погрешность за счет l почти в два раза меньше, чем погрешность за счет .

Далее, учитывая, что если , то погрешностью величины можно пренебречь, в результате получим, что

1. Массу m с максимально возможной точностью измерять нет смысла. Так как 2 , то достаточно, чтобы , т.е. чтобы г = 4 ^. 10^-3 г = 4 мг,
следовательно, массу можно измерять с погрешностью примерно ± 40 делений по оптической шкале. Отсчет будем проводить с точностью до одного большого деления (10 малых), или с погрешностью ± 1 мг.

2. Аналогично ,

следовательно, = т.е. число нужно брать с точностью до третьего знака после запятой. В этом случае погрешность округления будет равна половине единицы в третьем знаке после запятой, или £ 0,0005, что нас вполне устраивает. Итак, не 3,14, а 3,142.

Измерения лучше начать с наиболее ответственных ( наиболее точных), так как при измерении могут возникнуть дополнительные обстоятельства.

Измерение диаметра и обработка результатов

этого измерения

При пользовании микрометром, согласно его паспорту, необходимо проверить нулевую отметку. При измерении микрометром обязательно пользоваться трещоткой, вращая ее плавно, без рывков.

- 29 -

Измерение нуля микрометра

Итак,

№ п/п	doi , мм
	0.17
	0.17
	0.17

= 0,170 мм

Примечание. Результат очевиден, так как мы получили три одинаковых отчета. Однако мы пишем = 0,170 мм - на один знак больше, потому что, во-первых , среднее всегда точнее, так как случайные погрешности частично компенсируются, во-вторых, расчеты рекомендуется вести на порядок точнее, чем окончательный результат, чтобы погрешность округления не внесла заметный вклад. Очевидно также, что S и равны нулю. Так как результат измерения нуля микрометра не представляет самостоятельной ценности, ответ записывается в форме

= 0,170 мм, = 0,000; n =3; = 0, 004 мм.

Нуль можно не подстраивать. Смещение нуля в дальнейшем учтем как поправку. Проводим измерение диаметра. Стремимся возможное различие в диаметре стержня в зависимости от направления измерения и места измерения по длине свести к случайной погрешности. Поэтому измерения проводим с правого края, в середине и с левого края все время поворачиваем цилиндр на произвольный угол ( однако не кратный 180⁰ ). Результаты измерения заносим в таблицу. Так как поправка на смещение нуля не зависит от номера измерения, то ее можно внести лишь в окончательный результат измерения диаметра.

- 30 -

Результаты измерения диаметра

№ п/п	dki , мм	(dki - dko),мм dko=4,92	(dk i - dko)2 .104	(dki - d’ko),мм d’ko=4,91	(dki - d’ko)2 .104
	4.92	0.00		+0.01
	4.90	-0.02		-0.01
	4.92	0.00		+0.01
	4.92	0.00		+0.01
	4.95	+0.03		+0.04
	4.91	-0.01		0.00
	4.93	+0.01		+0.02
	4.92	0.00		+0.01
	4.89	-0.03		-0.02
	4.91	-0.01		0.00
	S	-0.03	0.0025	+0.07	0.0029

Вместо приведенных ранее формул

и

для облегчения вычислений целесообразно воспользоваться формулами

и ,

- 31 -

где x_o - некоторое круглое число, ближе всего лежащее к неизвестному пока среднему значению. Для проверки правильности вычислений целесообразно в качестве x_o взять два ближайших круглых числа. Какое число будет взято в качестве x_o , не имеет значения и никак не сказывается на окончательном ответе. Так, в стандартной программе для микрокалькулятора Б3-18, специально предназначенного для статических расчетов, в качестве x_o взят ноль. Однако, как показывает опыт, это не совсем корректно, так как, например, при точном взвешивании погрешность измерений лежит в пятой значащей цифре и при возведении в квадрат из-за ограниченной емкости регистра микрокалькулятора (8 разрядов) погрешность оказывается за пределами регистра и соответственно ответ для S получается совершенно неверным. При пользовании микрокалькулятором целесообразно в качестве x_o брать x₁ . Однако лучше всего пользоваться вышеприведенными таблицей и формулами, вычисления в пределах таблицы проводить в уме. Опыт со студентами старших курсов показал, что это убыстряет работу и уменьшает возможность ошибки.

Итак, = 4,92 + 1/10(-0,03) = 4,917 мм,

= 4,91 + 1/10( +0,07) = 4,917 мм.

Совпадение результатов свидетельствует о том, что при вычислении мы не совершили ошибки.

= мм ,

- 32 -

= мм .

Совпадение результатов свидетельствует о том, что и при этих вычислениях мы не совершили ошибки.

= 0,517 ^-2 = 0,52^.10^-2 мм.

Далее согласно ГОСТ 8.207-76 необходимо проверить нормальность распределения элементов выборки, но, как мы уже отмечали, на младших курсах этот этап работы не выполняется.

Проверка выскакивающих результатов на промах

Из выборки видно, что наибольший результат x₅ = 4,95 мм

и наименьший x₃ = 4,89 мм. Соответственно

= | 4,95 - 4,917 | = 0,033 мм,

= | 4,89 - 4,917| = 0,027 мм.

Следовательно, дальше всего от отстоит 5-й результат выборки. Проверим, не является ли x₅ промахом. Для этого

1) образуем = = 1,95 ;

2) задаемся уровнем значимости, например, = 0,01;

- 33 -

3) по табл. 2 находим V_крит = 2,54;

4) делаем вывод : так как V_max = 1,95 < V_крит =2,54, то при уровне значимости b = 0,01 результат x₅ =4,95 промахом не является.

Определение необходимого числа измерений для получения заданного доверительного интервала с заданной доверительной вероятностью

Если мы хотим, чтобы при записи окончательного результата случайной погрешностью можно было пренебречь по сравнению с систематической, т.е. чтобы было 0,1^. = 0,1^. 0,004 = = 4^.10^-4 мм.

Сколько нужно провести для этого измерений?

1. Образуем относительный интервал

2. Задаемся доверительной вероятностью, например p = = 0,9, и по табл.3 находим, что 1100 < N < 27000 или , проводя линейную интерполяцию, получаем, что N =14000. Ясно, что такое количество измерений в нашем случае невыгодно проводить, гораздо легче воспользоваться правилом сложения систематической и случайной погрешности.

Запись результата измерения

Так как само по себе значение d_k нас не интересует, то результат целесообразно записать в форме

= 4,917 мм; = 0,005 мм; = 10; = 0,004 мм.

Вычисление диаметра и его погрешностей

Введем поправку на смещение нуля :

= (4,917 - 0,170 ) = 4,747 мм.

- 34 -

Погрешности по отдельности, случайную и систематическую, вычисляем по формуле

,

т.е. считаем d как бы результатом косвенного измерения.

= = 0,0052 = 0,005 мм,

=

= 0,00566 0,006 мм. Окончательный ответ для диаметра запишем в виде = 4,747 мм; = 0,005 мм; N = 10; = 0,006 мм.

При этом число значащих цифр показателей точности измерений не более двух. Мы записали по одной, так как первая значащая цифра и для = 0,0052 мм, и для = 0,0056 мм больше 3. При этом по правилам округления 0,0052 округлим до

0,005, а 0,0056 - до 0,006. Наименьшие разряды числовых значений результата измерений и показателей точности совпадают.

Измерение длины цилиндра с помощью штанген-

циркуля с ценой деления нониуса 0,1 мм.

Oпределение нуля штангенциркуля

№ п/п	мм
	0,0
	0,0
	0,0
	S

мм, мм, мм.

- 35 -

Измерение длины цилиндра

№ п/п	lki , мм	lki - lko lko=115,2	(lk i- lko)2
	115,2	0,0
	115,2	0,0
	115,3	+0,1	0,01
	115,2	0,0
		+0,1	0,01

В результате получаем

мм ,

= = 0,05 мм.

Ответ : мм; мм; N = 4 ; 0,10 мм.

Вычисление длины цилиндра и ее погрешностей

Ответ для длины цилиндра :

мм, мм, мм.

- 36 -

Измерение массы цилиндра с помощью аналитических

весов (с погрешностью ± 1 мг)

Определение нуля весов

Для этого несколько раз ориентируем и разориентируем весы. Наблюдаем отсчет с точностью до одного большого деления ( или 10 малых).

№ п/п	moi , мг	moi - moo moo = 0	(moi - moo)2

Имеем = 0,0 мг, = 0,0 мг, = ± 1,0 мг .

При таких грубых измерениях мы пренебрегаем систематическими погрешностями оптической шкалы (0,3 мг), вариацией показаний (0,1 мг). Гири вообще не использовались.

Взвешивание тела

Учитывая, что весы могут быть неравноплечными и погрешность за счет неравноплечности может достигать 2 мг, т.е. сравнима с допустимой для нас погрешностью, взвешиваем тело несколько раз на одной чашке при различном сочетании гирь из набора, затем несколько раз на другой. Таким образом мы пытаемся свести погрешность за счет неравноплечности весов и за счет погрешности гирь к случайной. Результаты заносим в таблицу.

- 37 -

№ п/п	Тело на чашке	Набор разновесов, г	На лимбе, мг	mik, г	mik-mok mok= 18,150	(mik-mok)2
	левой	10,5,2,1		18,150
	левой	20,-2		18,150
	левой	10,5,2,1		18,150
	правой	10,5,2,2		18,150
	правой	20,-1		18,150
	правой	10,10,1,-2		18,150
				S

Примечание. Минус перед номиналом гири в третьей колонке означает, что гиря находится на той же чашке, что и тело. По шкале указатель находился при любом взвешивании в пределах +5 и -5 малых делений. Итак, при взвешивании тела с погрешностью ± 1 мг замена чашек и наборов гирь не влияет на результат измерения. Ответ:

= 18,1500 г; =0, 0000; N = 6; = ± 1,0 мг.

Определение массы тела и погрешности ее измерения

= 18,1500 - 0,000 = 18,1500 г,

= = 0,0000 г,

=1,41 мг = 1,4 мг = ± 0,0014 г.

- 38 -

Ответ для массы тела:

= 18,1500 г; = 0,0000 г; N = 6; = ± 0,0014 г.

Вычисление плотности тела и погрешности ее определения

=

=

Следовательно,

=

=

- 39 -

Значит, .

Ответ для плотности по форме 2 :

В случае если мы хотим записать ответ по форме 1, необходимо найти границы случайной погрешности при доверительной вероятности p = 0,95. Для этого сначала нужно найти доверительные интервалы для m, d и l :

1) при n = 10 и p = 0,95.

По табл.1 “Коэффициенты Стьюдента” находим t = 2,26.

Следовательно, мм ;

2) при т = 4 и p = 0,95 .

По табл. 1 для этого случая t = 3,18, отсюда

мм ;

3) , ибо .

Применяя формулу для подсчета погрешности косвенного измерения , полученную нами выше, имеем

= =

= 4,96 ^. 10^-3 .

- 40 -

Следовательно,

= 4,96 ^.10^{-3 .} = 0,0441 0,044 г/см³ при p = 0,95.

Как уже отмечалось, сложение случайной и систематической погрешности при p = 0,95 можно привести по формуле

Следовательно, ответ по форме 1 будет

= ( 8,90 ± 0,05 ) г/см³ при p = 0,95.

Вывод. Сверив результаты измерений со справочником “Таблицы физических величин” под ред. И. К. Кикоина ( М., 1976 ) и приняв во внимание цвет исследуемого материала, определим, что это бронза (Cu,Sn). Плотность по справочнику 8,6 + 9,3 г/см в зависимости от состава.

Близка по плотности также бронза фосфористая (плотность по справочнику 8,7 + 8,9 г/см), однако последняя имеет несколько красноватый оттенок.

Таблица 1

Коэффициенты Стьюдента

n	p	n	p
	0,9	0,95	0,99		0,9	0,95	0,99
	6,31	12,71	63,66		1,78	2,18	3,05
	2,92	4,30	9,92		1,77	2,16	3,01
	2,35	3,18	5,94		1,76	2,14	2,98
	2,13	2,78	4,60		1,73	2,09	2,86
	2,02	2,57	4,03		1,71	2,06	2,80
	1,94	2,45	3,71		1,70	2,04	2,76
	1,90	2,36	3,50		1,69	2,02	2,71
	1,86	2,31	3,35		1,69	2,01	2,68
	1,83	2,26	3,25		1,66	1,98	2,63
	1,81	2,23	3,17
	1,80	2,20	3,11	бескон	1,645	1,960	2,576

- 41 -

Таблица 2

Оценка выскакивающих измерений на промах

n	b	n	b
	0,1	0,05	0,01		0,1	0,05	0,01
	1,41	1,41	1,41		2,26	2,43	2,71
	1,65	1,69	1,72		2,30	2,46	2,76
	1,79	1,87	1,96		2,33	2,49	2,80
	1,89	2,00	2,13		2,35	2,52	2,84
	1,97	2,09	2,27		2,38	2,55	2,87
	2,04	2,17	2,37		2,40	2,58	2,90
	2,10	2,24	2,46		2,43	2,60	2,93
	2,15	2,29	2,54		2,45	2,62	2,96
	2,19	2,34	2,61		2,49	2,66	3,01
	2,23	2,39	2,66		2,54	2,72	3,07

Таблица 3

Необходимое число измерений для получения случайной погрешности e с надежностью a

e =	a
0,9	0,95	0,99	0,999
1,0
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,05
0,01

- 42 -