Классификация математических моделей
К классификации математических моделей разные авторы подходят по-своему, положив в основу классификации различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.) – это естественно, если к этому подходит специалист в какой-то одной науке. Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.) – это естественно для математика, занимающегося аппаратом математического моделирования. Наконец, человек, интересующийся общими закономерностями моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, ставящий на первое место цели моделирования, скорее всего заинтересуется такой классификацией:
•дескриптивные (описательные) модели;
•оптимизационные модели;
•многокритериальные модели;
•игровые модели;
•имитационные модели.
Остановимся на этом чуть подробнее и поясним на примерах. Моделируя движение кометы, вторгшейся в Солнечную систему, мы описываем (предсказываем) траекторию ее полета, расстояние, на котором она пройдет от Земли и т. д. , т. е. ставим чисто описательные цели. У нас нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то изменить.
На другом уровне процессов мы можем воздействовать на них, пытаясь добиться какой-то цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных нашему влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, мы можем стремиться подобрать такой, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т. е. оптимизируем процесс.
Часто приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам сразу, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, организовать питание больших групп людей (в армии, летнем лагере и др.) как можно полезнее и как можно дешевле. Ясно, что эти цели, вообще говоря, совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет несколько критериев, между которыми надо искать баланс.
Игровые модели могут иметь отношение не только к детским играм (в том числе и компьютерным), но и к вещам весьма серьезным. Например, полководец перед сражением в условиях наличия неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный достаточно сложный раздел современной математики - теория игр, - изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации.
Наконец, бывает, что модель в большой мере подражает реальному процессу, т.е. имитирует его. Например, моделируя изменение (динамику) численности микроорганизмов в колонии, можно рассматривать много отдельных объектов и следить за судьбой каждого из них, ставя определенные условия для его выживания, размножения и т.д. При этом иногда явное математическое описание процесса не используется, заменяясь некоторыми словесными условиями (например, по истечении некоторого отрезка времени микроорганизм делится на две части, а другого отрезка - погибает). Другой пример – моделирование движения молекул в газе, когда каждая молекула представляется в виде шарика, и задаются условия поведения этих шариков при столкновении друг с другом и со стенками (например, абсолютно упругий удар); при этом не нужно использовать никаких уравнений движения.
Можно сказать, что чаще всего имитационное моделирование применяется в попытке описать свойства большой системы при условии, что поведение составляющих ее объектов очень просто и четко сформулировано. Математическое описание тогда производится на уровне статистической обработки результатов моделирования при нахождении макроскопических характеристик системы. Такой компьютерный эксперимент фактически претендует на воспроизведение натурного эксперимента: на вопрос «зачем же это делать» можно дать следующий ответ: имитационное моделирование позволяет выделить «в чистом виде» следствия гипотез, заложенных в наши представления о микрособытиях, очистив их от неизбежного в натурном эксперименте влияния других факторов, о которых мы можем даже не подозревать. Если же, как это иногда бывает, такое моделирование включает и элементы математического описания событий на микроуровне, и если исследователь при этом не ставит задачу поиска стратегии регулирования результатов (например, управления численностью колонии микроорганизмов), то отличие имитационной модели от дескриптивной достаточно условно; это, скорее, вопрос терминологии.
Вопросы для самоконтроля
Раздел 1 Средства формализации в исследовании
1. Элементарные математические модели: фундаментальные законы природы; вариационные принципы; применение аналогий при построении моделей; иерархический подход к получению моделей.
2. Формализация задачи, объекта исследования: статистические методы как базовый инструментарий обработки данных измерений; статистические методы в педагогике и психологии, методологические приемы формализации объекта исследования, схемы сравнительного эксперимента.
Раздел 2 Основные понятия теории вероятностей
3. Основные понятия теории вероятностей: испытания и события, виды случайных событий, полная группа событий, классическое определение вероятности. Геометрические вероятности.
4. Основные формулы комбинаторики. Действия над событиями.
5. Теоремы сложения вероятностей и следствия из них.
6. Теоремы умножения вероятностей и следствия из них.
7. Условная вероятность. Независимые события. Вероятность появления хотя бы одного события.
8. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса.
9. Формула Бернулли.
10. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа
11. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях .
12. Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины.
13. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
14. Биномиальное распределение.
15. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
16. Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
17. Закон больших чисел.
18. Нормальное распределение. Показательное распределение.
19. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
Раздел 3 Основные понятия математической статистики, используемые в математической обработке психолого-педагогических данных.
20. Вариационные ряды распределения.
21. Полигон и гистограмма.
22. Эмпирическая функция распределения.
23. Статистические оценки параметров распределения.
24. Генеральная средняя. Выборочная средняя.
25. Генеральная дисперсия . Выборочная дисперсия.
26. Точность оценки. Доверительный интервал.
27. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания.
28. Корреляционная таблица.
29. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратической регрессии по сгруппированным данным.
30. Выборочный коэффициент корреляции, методика его вычисления.
31. Функия надежности.
Раздел 4 Методы математической статистики
32. Основные понятия, используемые в математической обработке данных: признаки и переменные; шкалы измерения; распределение признака; параметры распределения; статистические гипотезы; статистические критерии; уровни статистической достоверности; мощность критериев; классификация задач и методов их решения, принятие решения о выборе метода математической обработки.
33. Выявление различий в уровне исследуемого признака: обоснование задачи сопоставления и сравнения; Q-критерий Розенбаума; U-критерий Манна-Уитни; алгоритм принятия решения о выборе критерия для сопоставления.
34. Оценка достоверности сдвига в значениях исследуемого признака: обоснование задачи исследования изменений; Т-критерий Вилкоксона, критерий χ2, Фридмана; алгоритм принятия решения о выборе критерия изменений.
35. Выявление различий в распределении признака: обоснование задачи сравнений распределения признака; χ2-критерий Пирсона; алгоритм выбора критерия для сравнения распределений.
36. Многофункциональные статистические критерии: понятие многофункциональности критериев; многофункциональные критерии как эффективные заменители традиционных критериев; алгоритм выбора многофункциональных критериев.