Создан на основе учебного пособия «Прикладная математическая статистика (для технических специальностей)» авторов: И.В. Ребро, В.А. Носенко, Н.Н. Короткова

Задача 1. В таблице представлено отношение длины шлифовального зерна l к его ширине b для зернистости F60: х_i=l_i/b_i.

Объем выборки . Определить модель распределения и подтвердить гипотезу критерием .

Решение.

Этап 2. Построим полигон относительных частот.

	0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2

Рисунок 1 – График полигона относительных частот

Сравнивая полученный график с графиками теоретических распределений случайных величин, выдвигаем гипотезу H₀:

1 предположение – данное распределение является логнормальным распределением;

2 предположение – данное распределение является распределением Рэлея (частный случай распределения Вейбулла);

3 предположение – данное распределение является гамма-распределением.

Рассмотрим первое предположение.

Выполним предварительные вычисления:

- математическое ожидание – ;

- мода - .

Тогда согласно свойствам логнормального распределения имеем систему: и .

Вычислим теоретическую плотность, пользуясь свойством логнормального распределения, результат приведем в таблице 1:

Таблица 1

k	xi	wi	f(xi)	hf(xi)=pi	wi –pi	(wi –pi)2	(wi –pi)2/pi
1	0,8	0,1	0,13836	0,05534	0,044652	0,0019938	0,0360241
2	1,2	0,15	0,43128	0,17251	-0,02251	0,000506	0,0029383
3	1,6	0,19	0,54640	0,21856	-0,02856	0,0008157	0,0037322
4	2	0,17	0,47390	0,18956	-0,01956	0,0003827	0,0020190
5	2,4	0,13	0,34151	0,13660	-0,00660	4,364E-05	0,0003194
6	2,8	0,09	0,22321	0,08928	0,00071	5,115E-07	5,729E-06
7	3,2	0,07	0,13836	0,05534	0,0146525	0,0002146	0,0038790
8	3,6	0,05	0,083387	0,03335	0,0166448	0,000277	0,0083060
9	4	0,03	0,04956	0,01982	0,0101739	0,0001035	0,0052208
10	4,4	0,01	0,02931	0,01172	-0,00172	2,976E-06	0,0002538
11	4,8	0,009	0,01734	0,00693	0,0020631	4,256E-06	0,0006135
12	5,2	0,001	0,01029	0,00411	-0,00311	9,732E-06	0,0023624
Сумма		1		0,993188			0,0656748

Получаем .

Сравним графики полигона относительных частот и плотности логнормального распределения:

	0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2

Рисунок 2 – Графики полигона относительных частот и

плотности логнормального распределения

Из таблицы квантили распределения , при уровне значимости и числу степеней свободы , имеем .

Таким образом, так как гипотеза H₀ принимается, то есть данное распределение является логнормальным распределением.

Рассмотрим второе предположение.

Вычислим значения параметров распределения Рэлея.

Математическое ожидание, с одной стороны, равно , а, с другой стороны, согласно свойству распределения Рэлея, равно . Тогда получаем

Вычислим теоретическую плотность, пользуясь свойством распределения Рэлея, результат приведем в таблице 2:

Таблица 2

k	xi	wi	f(xi)	hf(xi)=pi	wi-pi	(wi-pi)2	(wi-pi)2/pi
1	0,8	0,1	0,2575183	0,1030073	-0,003007	9,043E-06	8,779E-05
2	1,2	0,15	0,3342913	0,1337165	0,016283	0,0002651	0,0019829
3	1,6	0,19	0,3640657	0,1456263	0,0443737	0,0019690	0,0135210
4	2	0,17	0,3508295	0,1403318	0,0296682	0,0008802	0,00627
5	2,4	0,13	0,3063189	0,1225276	0,0074724	5,583E-05	0,000455
6	2,8	0,09	0,2454186	0,0981674	-0,008167	6,671E-05	0,0006795
7	3,2	0,07	0,1817927	0,0727171	-0,002717	7,382E-06	0,0001015
8	3,6	0,05	0,1251113	0,0500445	-4,45E-05	1,981E-09	3,959E-08
9	4	0,03	0,0802623	0,0321049	-0,002104	4,431E-06	0,000138
10	4,4	0,01	0,0481119	0,0192448	-0,009244	8,546E-05	0,0044409
11	4,8	0,009	0,0269947	0,0107979	-0,001797	3,232E-06	0,0002993
12	5,2	0,001	0,0141961	0,0056784	-0,004678	2,188E-05	0,0038545
сумма		1		0,9339646			0,0318338

Получаем .

Сравним графики полигона относительных частот и плотности распределения Рэлея:

	0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2

Рисунок 3 – Графики полигона относительных частот и

плотности распределения Рэлея

Из таблицы квантили распределения , при уровне значимости и числу степеней свободы , имеем . Таким образом, так как гипотеза H₀ принимается, то есть данное распределение является и распределением Рэлея.

Рассмотрим третье предположение.

Вычислим значения параметром гамма-распределения.

Согласно свойствам гамма-распределения имеем математическое ожидание и моду . Тогда основываясь на вычислениях, сделанных в первом предположении, имеем и . Получаем:

.

Вычислим теоретическую плотность, пользуясь свойством гамма-распределения, результат приведем в таблице 3:

Таблица 3

k	xi	wi	f(xi)	hf(xi)=pi	wi-pi	(wi-pi)2	(wi-pi)2/pi
1	0,8	0,1	0,466979	0,186792	-0,08679	0,007533	0,040327
2	1,2	0,15	0,520248	0,208099	-0,0581	0,003376	0,016221
3	1,6	0,19	0,441896	0,176758	0,013242	0,000175	0,000992
4	2	0,17	0,323504	0,129401	0,040599	0,001648	0,012737
5	2,4	0,13	0,21558	0,086232	0,043768	0,001916	0,022215
6	2,8	0,09	0,134636	0,053855	0,036145	0,001306	0,02426
7	3,2	0,07	0,080185	0,032074	0,037926	0,001438	0,044846
8	3,6	0,05	0,046055	0,018422	0,031578	0,000997	0,05413
9	4	0,03	0,025706	0,010282	0,019718	0,000389	0,037812
10	4,4	0,01	0,014019	0,005608	0,004392	1,93E-05	0,00344
11	4,8	0,009	0,007501	0,003	0,006	3,6E-05	0,011996
12	5,2	0,001	0,00395	0,00158	-0,00058	3,36E-07	0,000213
сумма		1		0,912104			0,269189

Получаем .

Сравним графики полигона относительных частот и плотности гамма-распределения:

0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2

Рисунок 4 – Графики полигона относительных частот и

плотности гамма-распределения

Из таблицы квантили распределения , при уровне значимости и числу степеней свободы , имеем . Таким образом, так как гипотеза H₀ отвергается, то есть данное распределение не является гамма-распределением.

Вывод. Предложенная математическая модель распределения, согласно проведенным нами исследований, является логнормальным распределением или распределением Рэлея (частный случай распределения Вейбулла). Если сравнить значения , то более вероятной является математическая модель распределения Рэлея.

Задача 2 (1).После обработки на шлифовальном станке круглых плашек было получено следующее распределение их толщены (см. таблицу ?). Необходимо исключить промахи из результатов исследования.

Толщина плашек в мм, х	0,025	0,065	0,105	0,145	0,185	0,225	0,265	0,305	0,345
m

В данном случае, вероятно, полученное значение х=0,345 является промахом. Проверим это предположение. Для этого подсчитаем:

1 способ. Вычислим . Так как значение х=0,345 отличается от на , то значение х=0,345 следует из расчетов исключить, как промах.

2 способ. Вычислим . По таблице имеем . Получаем , следовательно, значение х=0,345 следует из расчетов исключить, как промах.

После учета систематических ошибок и отбрасывания промахов получаем ряд результатов измерений, содержащий только случайные ошибки.

Задача 2(2).Пусть для расчета принято и требуется определить такой объем n выборки, чтобы с вероятностью 0,997 (t=3) гарантировать предел отклонения , где N=1000.

Так как указано N пользуемся формулой из замечания, получаем: .

Если мы использовали бы простую формулу, то получили бы: . Таким образом, эта формула верна для . Например, если N=100 000, то .

Задача 3(1).В результате наблюдений был получен следующий ряд данных: . Найти двустороннюю интервальную оценку среднего при доверительной вероятности .

Решение.

Оценка при неизвестной дисперсии.

Находим и .

Так как и , то .

Окончательно имеем

;

.

Таким образом, с вероятностью 0,95 значение среднего значения находится в интервале .

Задача 3(2).Имеется набор результатов измерений: . Найти двустороннюю интервальную оценку для стандартного отклонения при доверительной вероятности .

Решение.

Находим .

Для из таблицы 7 имеем и .

Отсюда при

;

.

Получаем

; .

Следовательно, с вероятностью имеем .

Задача 4(1). В результате испытаний пяти выборок приборов объемом n=8 каждая, изготовленных разными заводами, получены следующие значения долговечности приборов (ч):

Проверить гипотезу равенства средних при доверительной вероятности =0,95.

Решение.

1-й способ.

Вычислим

Тогда .

Для =0,95, и имеем из таблицы Приложения 9 .

Так как , нулевая гипотеза принимается.

2-й способ.

Рассмотрим более устойчивый критерий. Для этого вычислим

.

Так как число степеней свободы снижается, то это позволяет отклонить гипотезу.

Задача 4(2). В четырех партиях обработанных деталей измеряли максимальную величину торцевого биения. Общее количество деталей, случайным образом выбранных из каждой партии или объём выборки n=5.

:

:

:

:

Проверить нулевую гипотезу равенства дисперсий критерием Кохрана при доверительной вероятности =0,95.

Решение.

Имеем

;

;

;

;

.

Тогда .

Из таблицы 17 для n=5, k=4 и получаем .

Так как , нулевая гипотеза принимается.

Задача 5.Исследовали связь между точностью изготовления детали, оцениваемой по абсолютному отклонению фактического размера от номинального, и износом инструмента при обработке данной детали. В результате измерений получена следующая совокупность данных (n=10):

Необходимо проверить гипотезу о наличии корреляции между случайными величинами х и у с достоверностью .

Решение.

Находим , ,

, , .

Получаем оценку коэффициента корреляции: .

Из таблицы 30 для n=10 и получаем .

Так как , наличие зависимости между величинами х и у следует признать значимой с достоверностью . Следовательно, с увеличением износа инструмента точность изготовления падает.

Задача 6. В производственных условиях проводили испытания трех новых абразивных инструментов (фактор А) на четырёх суперфинишных станках (фактор В). Качество инструмента оценивали абсолютным отклонением фактического диаметра ролика от номинального. Методом двухфакторного дисперсионного анализа данных, представленных в таблице, при доверительной вероятности =0,95 установить влияние инструмента и оборудования на точность изготовления ролика (абсолютную погрешность отклонения диаметра).

Таблица 3

Абсолютная погрешность отклонения фактического диаметра

от номинального, мкм

В	А
	3,6 3,8 4,1 4,2 4,0 4,1 3,8 3,5 3,6 3,4 3,2 3,2	2,9 3,1 3,0 3,3 2,9 3,2 3,6 3,7 3,5 3,4 3,6 3,5	2,6 2,5 2,9 3,7 3,5 3,6 3,2 3,0 3,4 3,6 3,8 3,7

Решение.

Заменим в клетках таблицы 3 значения их средними, получаем следующую таблицу 4:

Таблица 4

В	А
	3,83 4,10 3,63 3,27	3,00 3,13 3,60 3,50	2,67 3,60 3,20 3,70	9,50 10,83 10,43 10,47
	14,83	13,23	13,17	41,23

Использую данные таблицы 22, вычисляем суммы:

; ; ;

; .

Тогда ; ;

;

;

; ; .

Из таблицы Приложения 9 имеем: ;

; .

Получаем: ;

;

.

Следовательно, влияние фактора инструмента (фактор А) и оборудования (фактор В) на точность изготовления роликов можно считать незначительным. Однако существенно значимым является взаимодействие факторов А и В.

Задача 7.В результате контроля 25 выборок изделий, при объёме каждой выборки n=5, получены следующие значения контролируемого параметра x.

Таблица 5

Номер выборки i	Выборочные значения xij
x1	x2	x3	x4	x5
		-1	-2
	-2		-2
				-1
			-1		-2
			-1
		-1		-1
	-2	-1		-2
					-1
		-2		-1
	-1	-1		-2
		-1		-1
			-1	-1
		-2		-2
		-1		-1
	-3				-1
		-1
			-3	-2
	-1	-2	-1	-1
		-5
		-1	-1
			-3		-3
				-2	-1
		-3			-1
	-1

Вычислить граница для контрольных и R- карт Шухарта (k=25).

Решение.

Заполним таблицу 6:

Таблица 6

Номер выборки i	Выборочные значения xij	Статистики
x1	x2	x3	x4	X5		Ri
		-1	-2			0,0		2,5	1,58
	-2		-2			-0,4		2,8	1,67
				-1		0,6		2,3	1,52
			-1		-2	0,4		3,3	1,82
			-1			0,6		1,3	1,14
		-1		-1		0,4		2,3	1,52
	-2	-1		-2		-1,0		1,0	1,00
					-1	0,4		0,8	0,89
		-2		-1		0,4		5,3	2,30
	-1	-1		-2		-0,6		1,3	1,14
		-1		-1		0,2		1,7	1,30

Продолжение таблицы 6

			-1	-1		0,4		2,3	1,52
		-2		-2		-0,4		2,8	1,67
		-1		-1		0,2		1,7	1,30
	-3				-1	-0,8		1,7	1,30
		-1				0,4		1,3	1,14
			-3	-2		-0,2		5,7	2,39
	-1	-2	-1	-1		-1,0		0,5	0,71
						0,4		0,3	0,55
		-5				-0,2		8,2	2,86
		-1	-1					1,3	1,14
			-3		-3	-0,8		4,7	2,17
				-2	-1	1,0		6,5	2,55
		-3			-1	-0,4		2,8	1,67
	-1					0,2		0,4	0,63

Имеем , .

Контрольные границы для среднего (для n=5 из таблицы Приложения 11 находим A=0,577) будут равны

; .

- х среднее;

- нижняя граница;

- верхняя граница.

Рисунок 4 – Контрольная карта

Мы видим, что нигде не вышли за контрольные границы.

Теперь для R- карты из таблицы Приложения 11 имеем D₁=0 D₂=2,115.

Тогда , . Видим, что ни одно значение R_i не выходит за эти пределы, то есть процесс статистически управляем.

Задача 8.В ходе контроля различных партий получены результаты, приведённые в таблице 42.

Таблица 42

Номер партии, i
Объём выборки, ni
Число дефектов, mi

Найти границы регулирования p-карты.

Решение.

Найдём оценку средней доли дефектных изделий

.

Далее, для каждой выборки вычисляются границы регулирования.

Например, для i=1 имеем n₁=981 и

;

.

Рассчитанные по аналогии величины для остальных выборок приведены в таблице 43.

Таблица 43

Номер партии, i	Объём выборки, ni	Число дефектов, mi	Доля дефектных изделий, pi	Границы регулирования
pнi	pвi
			0,028	0,0234	0,0622
			0,061	0,0449	0,0771
			0,074	0,0563	0,0917
			0,050	0,0344	0,0655
			0,059	0,0425	0,0755
			0,030	0,0091	0,0509
			0,024	0,0085	0,0395
			0,015	0,0022	0,0322
			0,038	0,0211	0,0549
			0,043	0,0236	0,0623

Изобразим полученные результаты наглядно (Рисунок 28).

- доля дефектных изделий;

- нижняя граница;

- верхняя граница.

Рисунок 28 – p-карта

Получаем, что доли дефектных изделий во всех выборках находятся в пределах границ регулирования.