Знакочеред ряды. Достат усл-е сх-ти (теорема Лейбница)

О. Ряд вида (1) наз знакочеред-ся. Признак Лейбница (сх-ть знакочер ряда). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и , то ряд сходится, а его сумма S положительна и не превосходит первого члена, т.е. . Следствие: Остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т.е. .

25. Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Ряд вида , где - числа, называемые коэффициентами ряда, x – переменная, наз-ся степенным рядом. Интервал (-R;R) наз интервалом сх-ти степ ряда. Заметим, что для x ?(-R;R) ряд сходится абсолютно, а в точках x= ± R степенной ряд может сходиться или расходиться. Для нахождения радиуса сходимости можно воспольз-ся, признаками Даламбера или Коши. Теорема. Если существует | a_n+1/ a_n|=L, то R=1/L= | a_n/ a_n+1|. (Док-во. Рассмотрим ряд a_nxⁿ . Применим к нему признак Даламбера. | a_n+1xⁿ⁺¹/ a_nxⁿ|= | a_n+1/ a_n|∙| x | =L∙| x |. Отсюда следует, что если L∙| x |<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, то ряд расходится. Теорема доказана.) Заметим, что если L=0, для любого | x | то R=∞ . Если L=∞, для любого x≠0 , то R=0 . Если R=0 , то ряд сходится в единственной точке x₀=0; если R=∞, то ряд сходится на всей числовой прямой. Итак, интервал сходимости ряда a_nxⁿ есть (-R;R) . Для нахождения области сходимости ряда надо отдельно исследовать сходимость в точках x=R и x=-R; в зав-ти от рез-тов этого исслед-я обл-ю сх-ти ряда м. б. один из промежутков: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R]. Теорема Абеля: 1) Если степенной ряд a_nxⁿ сходится при x=x₀, то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x₀|. 2) Если же ряд a_nxⁿ расходится при x=x_{1 ,} то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x₁|. (Док-во 1)Так как числовой ряд a_nx₀ⁿ сходится, то a_nx₀ⁿ=0. Это означает, что числовая последовательность {a_nx₀ⁿ} ограничена.Тогда перепишем степенной ряд в виде a₀ + a₁x₀ (x/x₀) + a₂x₀²(x²/x₀²) +…+…= a_nx₀ⁿ (x/x₀)². Рассмотрим ряд из абсолютных величин. |a₀| + |a₁x₀ (x/x₀) | + |a₂x₀²(x²/x₀²) | +…+…<= M + M| x/x₀| + M| x/x₀|² +…= M(1+q+ q²+…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x₀)<1—сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x^*, | x^*|> x_1. Но тогда согласно 1-ой части теоремы, степенной ряд сходится для всех | x |< x^* . В том числе должен сходится и при x= x₀, так как | x |< | x^*| . Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)

26. Ряды Тейлора и Маклорена. Если функция f(x) разлагается в ряд по степеням ( x - x₀), то этот ряд имеет вид : f(x)= f(x₀)+ f ’(x₀)/1! ( x - x₀)+ (f ’’(x₀) ( x - x₀)²)/2!+…+ =( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n! +…= ( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n! Степ ряд такого вида наз-ся рядом Тейлора ф-и f(x) в т. x₀. Если x₀ = 0, то такой ряд наз-ся рядом Маклорена. Теорема: Ряд Тейлора сходится тогда и только тогда, когда остаток ряда стремится к нулю при , т.е. для всех значений x из интервала сходимости . Теорема(дост. условие разложения в ряд Тейлора): Если производные любого порядка n=0,1,2… функции f(x) ограничены в некоторой окрестности точки x˳ одним и тем же числом M>0, т.е. , то ряд Тейлора функции f(x) сходится к f(x) для любого x из этой окрестности. Теорема: Если функция f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно. Разложение функции в ряд Тейлора (Маклорена): 1) Находим знач. произв. f(x˳), f’(x˳),… (x˳)для ряда Тейлора и f(0), f’(0),…, (0) для ряда Маклорена. 2) Находим общую формулу для n-ой производной данной функции. 3) Записываем разложения в ряд Тейлора или Маклорена. 4) Находим область сходимости полученных рядов с помощью формул Даламбера или Коши.