Дифференциальное уравнение(ДУ)

Осн.понятия

О1. ДУ – ур-е, содержащее неизвестную ф-цию, независимую переменную и ее производные различных порядков.

Если неизвестная ф-ция зависит от одной независим переменной, то ДУ – обыкновенное ДУ (ОДУ).

Если неизвестн ф-ция содержит 2 и > независ переменных, то ДУ назыв ур-е частичных производных.

В общем виде ОДУ можно записать F(x,y,y’, … , y⁽ⁿ⁾)=0 (1) неявный

y⁽ⁿ⁾ =f(x,y,y’,…,y^(n-1)) (2)явный

Порядок старшей производной, входящей в ур-е назыв порядком ур-я.

О2. ф-ция у=у(х) назыв решением ДУ (1) или (2) если, будучи подставленным в соответствующ ур-е вместе со всеми своими производными, она обращает его в верное равенство. Задача нахождения решения ДУ назыв задачей интегрирования ДУ.

О3. Общим решением ДУ (1), (2) n-го порядка назыв ф-ция вида y=j(x,c₁,c₂,…,c_n), которая зависит от переменной х и n произвольных постоянных

О4. Частичным реш ДУ наз реш, полученное из общего при некоторых конкретных числовых значениях постоянных c₁,c₂,…,c_n

Демографическая модель

Из статистики известно, что для конкретного региона число рожд и умерш за единицу времени пропорционально численности населения с коэф. пропорциональности k₁,k₂. Найти закон измен численности населения с течением времени, т.е. опис матем демограф процесс.

Реш. Пусть y=y(t) –число жителей региона в момент времени t.

∆у – прирост населения за время ∆t

где k=k₁-k₂

Разделим на ∆t

,

y’=ky, где k=k1-k2 y=ce^kx

ДУ 1го порядка

y’=f(x,y) (1) F(x,y,y’)=0 (2)

1) y’=f(x) dy/dx=f(x)

dy=f(x)dx òdy=òf(x)dx y=òf(x)dx

2) y’=f(y) dy/dx=f(y)

3) f(x)dx=f(y)dy ДУ с разделенными переменными òf(x)dx=òf(y)dy

4)y’=f(x)gy или M(x)N(y)d(x)=K(x)L(y)d(y)

ДУ с разделяющимися переменными

Ур-е вида (4) реш по схеме:

d(y)/d(x)=f(x)gy

d(y)/g(x)=f(x)d(x)

M(x)d(x)/K(x)=L(y)d(y)/N(y)

5) y’=g(y/x) однородное ДУ 1го порядка(ф-ция вида f(αx,αy)=α^kg(x,y)

назыв однородн ф-ция k-того порядка,αЄR)

реш с помощью подстановки

z=y/x y=zx y’=z’_xx+z

z’x+z=g(z) d(z)/(g(z)-z)=d(x)/x

6) y’=f(ax+by) приводится к ур-ю вида (4) путем замены z=ax+by

Теорема (Коши-Пикара). Пусть задано диффе­ренциальное уравнение вида y’=f(х,у), где f(x,y) — функция, заданная в области D, и в D заданы начальные условия M₀ (x_0,y₀)ЄD. В силу открытости области D можно указать числа а и b (а>0;-b>0) и для них замкнутую область : |х - x₀|≤ а, |у- у₀|≤b, такую, что ÌD. Пусть в области функция z=f(x,y):

1)непрерывна, а значит, и ограничена, т.е. |f-(x, y)|≤H;

2)имеет частную производную по y для любой точки

М(х, у)Î и эта частная производная также огра­ничена в . Тогда существует решение задачи Коши для начальных условий М₀(х₀, у₀): y=j(x), y₀ = j(x₀), это решение единственное, причем функция у=j(х), оста­ваясь решением уравнения y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y’,…,y^(n-1)) , задана, по крайней мере, на отрезке |х-x₀|≤h, где h=min(а, b/Н) и |j(x)-y₀|≤b.

Доказательство этой теоремы не приводим.

Замечание. Поскольку решение у = j(х) задано для |х - х₀| ≤h, т.е. –h+x₀≤x≤h+x₀, то если взять произвольную точку х₁ такую, что -h+x₀<x₁< h+x₀, и вычислить y₁ = j(x₁), начальным условиям M₁(x₁,y₁) будет соответствовать то же решение у = j(х); измениться в этом случае может лишь h в неравенстве |х — х₁|≤ h.

Общее решение. Пусть в DÌR² задано дифферен­циальное уравнение y’=f(х,у) и в любом ÌD выполня­ются условия теоремы Коши — Пикара. Тогда однопараметрическое семейство функций

у = j(х, С),непрерывно дифференцируемых по х и непрерывных по С в некоторой области Г(х, С), называется общим реше­нием уравнения в области D, если: 1) у =j(х, С) явля­ется решением уравнения y’=f(х,у) для всех фиксированных С из некоторой области GÌR (на множествах X _с, таких, что для любых х Î X _с и у =j(х) (х, у) Î D); 2) для любых начальных условий М₀(х₀, y₀) Î D существует такое С₀ Î G, что y₀=j(х₀, С₀), т. е. уравнение y’=f(х,у) дает реше­ние задачи Коши.

4.3.1.ДУ с разделяющимися переменными – уравнения вида:

1. M(x)N(y) dx+K(x)L(y)dy=0

2. y`=f(x)g(y)

Решаются по схеме:

1. Делим на N(y)K(x):

M(x)/K(x)dx+L(y)/N(y)dy=0 и интегрируем обе части( в правой части вместо 0 будет С)

2. dy/dx=f(x)g(y). Обе части * на dx и / на g(y), получим:

dy/g(y)=f(x)dx и интегрируем обе части.

4.3.2.Однородные функции и однородные ДУ.

Функция f( )= *g(x,y) наз. Однородной функцией k-того порядка, R.

ДУ вида y`= f(x.y) наз. Однородным, если z=f(x,y) – однородная функйия нулевой степени, т.е. для любых t f(tx,ty)=f(x,y).Аналогично ДУ

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 наз. Однородным, если P(x,y) и Q(x,y) – однородные функции одной степени.