Прогнозирование с помощью временных рядов

Конечной целью статистического анализа временных рядов является прогнозирование будущих значений исследуемого показателя. Различают долгосрочное и краткосрочное прогнозирование. В первом анализируется долговременная динамика исследуемого процесса, и в этом случае главным считается выделение общего направления его изменения (тренда). Для предсказания краткосрочных колебаний проводится более детальный регрессионный анализ с целью выявления большого числа показателей, определяющих поведение исследуемой величины.

Пусть оценивается модель вида Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru в момент времени ( Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru ). Значение Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru – значение по уравнению регрессии, построенному по МНК. Тогда доверительный интервал для действительного значения Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru имеет вид:

Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru (7.26)

где Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru – критическое значение, определяемое из приложения 1 для соответствующего уровня значимости Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru и числа степеней свободы Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru ; Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru – стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии); Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru – значение объясняющей переменной в момент ( Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru ); Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru – дисперсия переменной Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru .

После получения прогнозных значений необходимо проверить качество прогноза. Для этого используются следующие показатели:

· Относительная ошибка прогноза, вычисляемая по формуле:

Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru (7.27)

или

Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru (7.28)

где Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru , Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru .

Чем больше значение ошибки (выраженное в процентах), тем хуже качество прогноза.

· Стандартная среднеквадратическая ошибка, рассчитываемая по формуле:

Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru (7.29)

где Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru – количество прогнозных периодов.

Значения показателя Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru лежат в интервале от нуля до единицы. При Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru прогноз абсолютно точен. Таким образом, чем ближе значение Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru к нулю, тем точнее прогноз.

Пример.В таблице приведены данные по располагаемому доходу домохозяйств ( Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru и затратами домохозяйств на розничные покупки Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru за 22 года (табл. 7.1).

Таблица 7.1

Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru   Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru
5,49 9,098   5,905 11,305
5,54 9,137   6,125 11,43
5,305 9,095   6,185 11,45
5,505 9,28   6,225 11,697
5,42 9,23   6,495 11,87
5,32 9,348   6,72 12,018
5,54 9,525   6,92 12,525
5,69 9,755   6,47 12,055
5,87 10,28   6,395 12,088
6,157 10,665   6,555 12,215
6,342 11,02   6,755 12,495

Необходимо оценить уравнение регрессии вида Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru (принять Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru ), проверить значимость коэффициентов Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru , оценить качество построенной модели при помощи коэффициента детерминации.

Для расчета коэффициентов составим вспомогательную таблицу 7.2 (при этом рассчитанные средние значения равны Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru , Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru , Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru ).


Таблица 7.2
Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru

Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru
5,49 9,098 5,4 -0,5522 -1,7011 -0,581 0,3050 2,8939 0,3371 0,9394 0,3206 0,9877
5,54 9,137 5,49 -0,5022 -1,6621 -0,491 0,2522 2,7627 0,2407 0,8348 0,2464 0,8155
5,305 9,095 5,54 -0,7372 -1,7041 -0,441 0,5435 2,9041 0,1942 1,2563 0,3248 0,7509
5,505 9,28 5,305 -0,5372 -1,5191 -0,676 0,2886 2,3078 0,4565 0,8161 0,3630 1,0264
5,42 9,23 5,505 -0,6222 -1,5691 -0,476 0,3872 2,4622 0,2262 0,9764 0,2960 0,7463
5,32 9,348 5,42 -0,7222 -1,4511 -0,561 0,5216 2,1058 0,3143 1,0481 0,4049 Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru 0,8136
5,54 9,525 5,32 -0,5022 -1,2741 -0,661 0,2522 1,6234 0,4364 0,6399 0,3318 0,8417
5,69 9,755 5,54 -0,3522 -1,0441 -0,441 0,1241 1,0902 0,1942 0,3678 0,1552 0,4601
5,87 10,28 5,69 -0,1722 -0,5191 -0,291 0,0297 0,2695 0,0845 0,0894 0,0501 0,1509
6,157 10,665 5,87 0,1148 -0,1341 -0,111 0,0132 0,0180 0,0122 -0,0154 -0,0127 0,0148
6,342 11,02 6,157 0,2998 0,2209 0,176 0,0899 0,0488 0,0311 0,0662 0,0529 0,0390
5,905 11,305 6,342 -0,1372 0,5059 0,361 0,0188 0,2559 0,1306 -0,0694 -0,0496 0,1828
6,125 11,43 5,905 0,0828 0,6309 -0,076 0,0069 0,3980 0,0057 0,0522 -0,0063 -0,0477
6,185 11,45 6,125 0,1428 0,6509 0,144 0,0204 0,4236 0,0208 0,0929 0,0206 0,0940
6,225 11,697 6,185 0,1828 0,8979 0,204 0,0334 0,8062 0,0418 0,1641 0,0374 0,1835
6,495 11,87 6,225 0,4528 1,0709 0,244 0,2050 1,1467 0,0597 0,4849 0,1106 0,2617
6,72 12,018 6,495 0,6778 1,2189 0,514 0,4594 1,4856 0,2646 0,8261 0,3486 0,6269
6,92 12,525 6,72 0,8778 1,7259 0,739 0,7705 2,9786 0,5467 1,5149 0,6490 1,2760
6,47 12,055 6,92 0,4278 1,2559 0,939 0,1830 1,5772 0,8824 0,5372 0,4018 1,1797
6,395 12,088 6,47 0,3528 1,2889 0,489 0,1244 1,6612 0,2395 0,4547 0,1726 0,6307
6,555 12,215 6,395 0,5128 1,4159 0,414 0,2629 2,0047 0,1717 0,7260 0,2125 0,5867
6,755 12,495 6,555 0,7128 1,6959 0,574 0,5080 2,8760 0,3299 1,2088 0,4094 0,9740
S             5,3998 34,1000 5,2208 13,0114 4,8397 12,5953

По формулам (2.17):

Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru

Таким образом, уравнение регрессии с учетом рассчитанных коэффициентов примет вид: Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru .

Для определения статистической значимости коэффициентов и оценки качества уравнения регрессии составим следующую вспомогательную таблицу (табл. 7.3).

Таблица 7.3

Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru
5,49 5,3960 -0,0940 0,008843
5,54 5,4153 -0,1247 0,015542
5,305 5,4032 0,0982 0,009642
5,505 5,4558 -0,0492 0,002422
5,42 5,4497 0,0297 0,00088
5,32 5,4871 0,1671 0,02791
5,54 5,5448 0,0048 2,29E-05
5,69 5,6406 -0,0494 0,002444
5,87 5,8383 -0,0317 0,001006
6,157 5,9874 -0,1696 0,028757
6,342 6,1321 -0,2099 0,044047
5,905 6,2456 0,3406 0,11601
6,125 6,2646 0,1396 0,019496
6,185 6,2849 0,0999 0,009975
6,225 6,3773 0,1523 0,023186
6,495 6,4419 -0,0531 0,002824
6,72 6,5111 -0,2089 0,043635
6,92 6,7068 -0,2132 0,045453
6,47 6,5496 0,0796 0,006342
6,395 6,5348 0,1398 0,019545
6,555 6,5760 0,0210 0,000442
6,755 6,6862 -0,0688 0,00473
сумма     Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru 0,433155

По формулам (2.19) и (2.20) рассчитаем необъясненную дисперсию и стандартные отклонения случайных величин:

Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru

Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru

Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru

Определим значение Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru -статистики для каждого из коэффициентов:

Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru , Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru , Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru .

Критическое значение определим из приложения 1 для уровня значимости 0,1 и числа степеней свободы Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru 22-2-1=19: Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru .

Очевидно, что коэффициенты Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru являются статистически значимыми, а коэффициент Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru является статистически незначимым с уровнем значимости 0,1.

Определим для рассчитанного уравнения коэффициент детерминации (2.23): Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru . Столь высокое значение коэффициента детерминации свидетельствует о высоком качестве модели. Поэтому не будем удалять переменную Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru из уравнения.

Представим графически зависимость фактической переменной Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru и переменной Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru от Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru (рис. 7.1).

Прогнозирование с помощью временных рядов - student2.ru Рис. 7.1

Наши рекомендации