Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ

Приведены данные о количестве продукции, проданной компанией в течение последних 13 кварталов.

Дата	Объем продаж, тыс. шт.	Дата	Объем продаж, тыс. шт.
Январь-март 2003		Октябрь-декабрь
Апрель-июнь		Январь-март 2005
Июль-сентябрь		Апрель-июнь
Октябрь-декабрь		Июль-сентябрь
Январь-март 2004		Октябрь-декабрь
Апрель-июнь		Январь-март 2006
Июль-сентябрь

Требуется:

1.Построить аддитивную модель временного ряда.

2.Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Решение.

1. Проанализируем данные и попробуем обнаружить тенденцию. Если устойчивая тенденция действительно существует, то построенную модель можно будет использовать для прогнозирования объема продаж в следующих кварталах.

Для этого построим график временного ряда (см. рис.).

Из графика следует, что возможен возрастающий тренд, содержащий сезонные колебания. Так объемы продаж в зимний период (1 и 4) значительно выше, чем в летний (2 и 3). Сезонная компонента практически не изменилась за последние три года. Тренд показывает, что в среднем объем продаж возрос с 240 тыс. шт. в 2003 г. до 480 тыс. шт. в 2006 г., однако увеличение сезонных колебаний не наблюдалось. Этот факт свидетельствует в пользу модели с аддитивной компонентой

. (1)

2. Расчет сезонной компоненты.

Для исключения влияния сезонной компоненты используют метод скользящей средней, суть которого заключается в нахождении среднего арифметического значения параметра за m моментов времени

.

Для рассмотренных данных об объемах продаж проведем следующие расчеты.

1. Производя скольжение по значениям квартальных продаж из колонки 2, вычислим сумму продаж за каждые четыре квартала и внесем ее в колонку 3 табл. 1.

2. Вычислим скользящую среднюю за каждые 4 квартала (колонка 4).

3. Поскольку усредненные данные, внесенные в колонку 3, относятся не к конкретному кварталу, а к моменту времени между двумя кварталами (например, между апрелем-июнем и июлем-сентябрем 2003 г.), то необходимо получить центрированную скользящую среднюю для каждой пары значений из колонки 4. Полученные значения относятся к конкретным кварталам, начиная с июля-сентября 2003 года, их вносят в колонку 5. Таким образом, величины из колонки 5 являются десезонализированными средними значениями за квартал.

4. Сезонную компоненту, содержащую остаток, рассчитывают по формуле и вносят в колонку 6.

5. Используя данные за все годы, вычисляют среднее значение для каждого квартала, что позволит уменьшить значения ошибок (табл. 2).

6. Средние оценки сезонной компоненты корректируются, путем увеличения или уменьшения некоторых из них на одно и то же число, таким образом, чтобы их общая сумма была равна 0. Корректирующий фактор рассчитывают следующим образом: сумма оценок сезонных компонент делится на 4.

Аналогичная процедура применима при определении сезонной вариации за любой промежуток времени. Например, если в качестве сезонов рассматриваются не кварталы, а дни недели, то устранения влияния сезонной компоненты рассчитывают скользящую среднюю, но уже не по четырем, а по семи точкам. Эта скользящая средняя представляет собой значение тренда в середине недели, т.е. в четверг. Поэтому в этом случае необходимость в центрировании отпадает.

3. Десезонализация данных при расчете тренда.

Десезонализация исходных данных заключается в вычитании скорректированных сезонных компонент (последняя строка табл. 2) из фактических значений данных за каждый квартал, т.е. (табл. 3).

Нанесем значения новых оценок тренда из колонки 4 на график исходных данных, что еще раз подтвердит существование явного линейного тренда.

Определим уравнение линии тренда методом наименьших квадратов

. (2)

Таблица 1

Дата	Объем продаж, тыс. шт.	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
Январь-март 2003			–
Апрель-июнь			–
			229,75
Июль-сентябрь				240,375	–58,375
Октябрь-декабрь				260,625	+36,375
			270,25
Январь-март 2004				279,625	+44,375
Апрель-июнь				299,875	–21,875
			310,75
Июль-сентябрь				320,375	–63,375
Октябрь-декабрь				340,25	+43,75
			350,5
Январь-март 2005				360,25	+40,75
Апрель-июнь				379,75	–19,75
			389,5
Июль-сентябрь				399,5	–64,5
			409,5
Октябрь-декабрь			–
Январь-март 2006			–

Таблица 2

	Год	Номер квартала
		– +44,375 +40,75	– –21,875 –19,75	–58,375 –63,375 –64,5	+36,375 +43,75 –
Итого		+85,125	–41,625	–186,25	+80,125
Средняя оценка сезонной компоненты		+42,563	–20,813	–62,083	+40,063	Сумма –0,27
Скорректированная сезонная компонента		+42,631	–20,746	–62,016	+40,131	Сумма 0,0

Таблица 3

Номер квартала	Объем продаж Y, тыс. шт.	Сезонная компонента S	Десезонализированный объем продаж, тыс. шт.
		+42,631	196,369
		‑20,746	221,746
		‑62,016	244,016
		+40,131	256,869
		+42,631	281,369
		‑20,746	298,746
		‑62,016	319,016
		+40,131	343,869
		+42,631	358,369
		‑20,746	380,746
		‑62,016	397,016
		+40,131	421,869
		+42,631	438,369

4. Расчет ошибок

Из (1) следует, что величина ошибки равна

.

Значение T найдем из уравнения (2), а S из табл. 2. Результаты расчета представлены в табл. 4.

Таблица 4

Номер квартала	Объем продаж Y, тыс. шт.	Сезонная компонента S	Тренд, T тыс. шт.	Ошибка S, тыс. шт.
		+42,631	200,028	‑3,659 (1,5%)
		‑20,746	220,003	+1,743 (0,9%)
		‑62,016	239,978	4,038 (2,2%)
		+40,131	259,953	‑3,084 (1,0%)
		+42,631	279,928	+1,441 (0,4%)
		‑20,746	299,903	‑1,157 (0,4%)
		‑62,016	319,878	‑0,862 (0,3%)
		+40,131	339,853	+4,016 (1,0%)
		+42,631	359,828	‑1,459 (0,4%)
		‑20,746	379,803	+0,943 (0,3%)
		‑62,016	399,778	‑2,762 (0,8%)
		+40,131	419,753	+2,116 (0,5%)
		+42,631	439,728	‑1,359 (0,3%)

Столбец 5 можно использовать при расчете среднего абсолютного отклонения MAD (mean absolute deviation) и средней квадратической ошибки MSE (mean square error):

и .

где и – это фактическое и прогнозное значение в момент времени t.

В нашем случае ошибки достаточно малы и составляют от 0,2% до 2,2%. Тенденция, выявленная по фактическим данным, достаточно устойчива и позволяет получить хорошие краткосрочные прогнозы.

5.Прогнозирование по аддитивной модели.

Прогнозные значения рассчитываются по формуле

(тыс. шт. за квартал),

где x – номер квартала, на который дается прогноз, T – значение тренда, рассчитанное по (2), S(x) – сезонная компонента, составляющая в январе-марте 42,6, в апреле-июне – 20,7, в июле-сентябре – 62,0, в октябре-декабре – 40,1. Например, прогноз на апрель-июнь 2006 г. (x = 14) имеет вид

,

тыс. шт.

Можно предположить, что ошибка прогноза будет приблизительно 0,3-2,2% в соответствии с рассчитанными ошибками модели, но чем более отдаленным является период упреждения, тем меньшей оказывается обоснованность прогноза.