Задания для подготовки к рубежному контролю в 5 семестре
Задания для подготовки к рубежному контролю за 1 модуль
Типовое задание №48
Функция полезности набора из двух товаров имеет вид u(x1, x2 ) = 
(табл. 46). Найти:
1)предельные полезности товаров x1 и x2;
2)предельные нормы замены товара x1 товаром x2 и товара x2 товаром x1 ;
3)эластичности замещения товара x1 товаром x2 и товара x2 товаром x1 .
Типовое задание №49
Для функции полезности Стоуна u (x1, x2) (табл. 47) набора из двух товаров найти:
1) функцию спроса Стоуна;
2) точку спроса потребителя при ценах на товары p 1 и p 2 и доходе потребителя Q (табл. 47).
Типовое задание №50
Зависимость объема произведенной продукции y = axb от количества вложенного труда x имеет вид, представленный в табл. 48. Цена единицы продукции равна p0, цена единицы труда равна p 1 (табл. 48).
Найти оптимальное количество вложенного труда при оптимизации прибыли в долговременном интервале времени.
Типовое задание №51
Спрос на продукцию отрасли описывается функцией D(p), где p - цена единицы продукции (табл. 49). Функции издержек в зависимости от объема выпуска каждой фирмы равныTC1 (q1) иTC2(q2)(табл. 49).
Найти параметры равновесия на рынке (равновесную цену, равновесный выпуск отрасли, равновесную прибыль отрасли, равновесный выпуск фирмы, равновесную прибыль фирмы) для следующих типов рынка:
1) совершенная конкуренция;
2) первая фирма-монополист;
3) вторая фирма-монополист;
4) дуополия Курно;
5) первая фирма-лидер по Стэкльбергу;
6) вторая фирма-лидер по Стэкльбергу;
7) борьба за лидерство.
Таблица 46. Варианты задания 48  |
Таблица 47. Варианты задания 49  |
Таблица 48. Варианты задания 50  |
Таблица 49. Варианты задания 51
 |
Задания для подготовки к рубежному контролю за 2 модуль Типовое задание №52
По данным о прямых межотраслевых потоках и о конечном продукте производящих отраслей (табл. 50) вычислить:
1) матрицу прямых материальных затрат;
2) матрицу полных материальных затрат;
3) валовой продукт каждой отрасли;
4) условно чистую продукцию каждой отрасли.
Результаты расчетов оформить в виде итогового межотраслевого баланса производства и распределения продукции.
Таблица 50. Варианты задания 52
| Вариант | Произ водящие отрасли | Прямые межотраслевые потоки | Конеч ный продукт | |||
| Вариант | Произ водящие отрасли | Прямые межотраслевые потоки | Конеч ный продукт | |||
| Вариант | Произ водящие отрасли | Прямые межотраслевые потоки | Конеч ный продукт | |||
| Вариант | Произ водящие отрасли | Прямые межотраслевые потоки | Конеч ный продукт | |||
Вопросы для подготовки к экзаменам
7.1. Вопросы для подготовки к экзамену за 1 и 2 семестр по части I “Общий курс высшей математики”
1. Понятие линейной алгебры. Понятия скаляра, геометрического вектора, длины вектора. Классификация векторов (коллинеарные, нулевой, единичный, одинаково направленные, противоположно направленные, ортогональные, компланарные).
2. Операции над векторами (умножение вектора на скаляр, сложение векторов, разность векторов, линейная комбинация векторов, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение) и их свойства.
3. Понятия n-мерного вектора и векторного пространства. Размерность и базис векторного пространства. Евклидово пространство.
4. Понятие матрицы. Виды матриц (матрица-строка, матрица-столбец, квадратная, диагональная, единичная, нулевая, верхняя треугольная, нижняя треугольная).
5. Операции над матрицами (умножение матрицы на число, сложение матриц, вычитание матриц, умножение матриц, возведение в степень) и их свойства.
6. Операции над матрицами (транспонирование матрицы, обращение матрицы) и их свойства. Матричная запись системы линейных уравнений.
7. Понятие определителя квадратной матрицы. Определители матриц первого, второго и третьего порядков. Правило треугольников вычисления определителя третьего порядка.
8. Понятия минора и алгебраического дополнения элемента матрицы. Понятие определителя матрицы n-о порядка. Теорема Лапласа о вычислении определителей любого порядка.
9. Свойства определителей. Применение определителей для нахождения обратных матриц.
10. Понятие ранга матрицы. Нахождение ранга матрицы методом окаймления миноров.
11. Понятие системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными и ее решения. Система n линейных уравнений с n переменными и ее решение с использованием обратной матрицы.
12. Решение системы n линейных уравнений с n переменными методом Крамера.
13. Решение системы m линейных уравнений с n переменными методом Гаусса.
14. Решение системы m линейных уравнений с n переменными методом Жордана-Гаусса.
15. Теоремы о разрешимости системы m линейных уравнений с n переменными.
16. Система линейных однородных уравнений и фундаментальная система ее решений.
17. Линейная модель обмена (модель международной торговли). Понятия собственного вектора и собственного значения квадратной матрицы.
18. Характеристическое уравнение матрицы.
19. Понятие аналитической геометрии. Координаты на прямой, на плоскости и в пространстве.
20. Уравнения прямой (на плоскости, с угловым коэффициентом, проходящей через точку в данном направлении, проходящей через две точки, в отрезках).
21. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между двумя прямыми.
22. Точка пересечения двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Уравнение пучка прямых.
23. Уравнения кривых второго порядка (окружности, эллипса, гиперболы, параболы).
24. Общее уравнение плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
25. Канонические уравнения прямой линии в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
26. Понятие выпуклого множества точек и связанные с ним понятия.
27. Геометрический смысл решений неравенств. Основные свойства выпуклого множества точек.
28. Понятие комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Арифметические операции над комплексными числами и их свойства.
29. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
30. Возведение в степень комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа.
31. Понятие математического анализа. Понятие числовой последовательности и ее предела.
32. Классификация числовых последовательностей и их свойства.
33. Арифметические свойства пределов числовых последовательностей.
34. Предел функции в бесконечности и его геометрический смысл.
35. Предел функции в точке и его геометрический смысл.
36. Односторонние пределы функции.
37. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, связь между ними.
38. Признаки существования предела функции.
39. Основные теоремы о пределах функции.
40. Замечательные пределы.
41. Задача о непрерывном начислении процентов и ее решение.
42. Неопределенности при вычислении пределов функций и правила их раскрытия.
43. Непрерывность функции. Разрывы функции.
44. Свойства функций, непрерывных в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
45. Задачи, приводящие к понятию производной (о мгновенной скорости неравномерного движения, об угловом коэффициенте касательной к кривой, о производительности труда).
46. Определение производной функции одной переменной, ее механический, геометрический и экономический смыслы.
47. Схема нахождения производной функции.
48. Правила дифференцирования.
49. Производные основных элементарных функций.
50. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной.
51. Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл и свойства.
52. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
53. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа).
54. Правило Лопиталя для нахождения предела функции в случае неопределенностей вида 
или 
55. Возрастание и убывание функций.
56. Экстремум функции одной переменной.
57. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
58. Выпуклость функции.
59. Точки перегиба.
60. Асимптоты графика функции.
61. Общий алгоритм исследования функции и построения ее графика.
62. Понятие функции нескольких переменных и связанные с ним понятия (график функции двух переменных, гиперповерхность в (п+1)-мерном пространстве, линия уровня функции двух переменных, карта линий уровня функции двух переменных, поверхность уровня функции).
63. Частные производные функции нескольких переменных.
64. Дифференциал функции нескольких переменных.
65. Производная по направлению. Градиент функции.
66. Локальные и глобальные экстремумы функции нескольких переменных.
67. Условный экстремум функции.
68. Метод множителей Лагранжа.
69. Первообразная функции и неопределенный интеграл.
70. Свойства неопределенного интеграла.
71. Таблица основных неопределенных интегралов.
72. Интегрирование методом разложения. Непосредственное интегрирование.
73. Интегрирование методом замены переменной.
74. Интегрирование по частям.
75. Интегрирование правильных рациональных дробей.
76. Интегрирование иррациональных функций.
77. Интегрирование тригонометрических функций.
78. Определение определенного интеграла и условия его существования.
79. Основные свойства определенного интеграла. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Основная формула интегрального исчисления.
80. Геометрические приложения определенного интеграла (вычисление площадей плоских фигур, вычисление длины дуги, вычисление объемов тел вращения).
81. Приложения определенного интеграла в экономике.
82. Несобственные интегралы.
83. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Свойства сходящихся числовых рядов.
84. Необходимый и достаточные признаки сходимости числовых рядов.
85. Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.
86. Разложение функций в ряд (ряды Тейлора и Маклорена). Применение рядов для приближенных вычислений.
87. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Общие сведения о дифференциальных уравнениях первого порядка.
88. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными и метод их решения.
89. Неполные дифференциальные уравнения и метод их решения.
90. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка и метод их решения.
91. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка и метод их решения.
92. Уравнение Бернулли.
93. Основные понятия теории дифференциальных уравнений второго порядка.
94. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение размерности.
95. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и метод их решения.
96. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и метод их решения.
7.2. Вопросы для подготовки к экзамену за 3 семестр по части II “Теория вероятностей и математическая статистика”
1. Детерминистский и стохастический подходы к изучению явлений природы и общества. Стохастические подходы к изучению случайных явлений: статистический, теоретико-вероятностный и вероятностностатистический.
2. Сущность теории вероятностей и математической статистики и взаимосвязь между ними. Условия применимости методов теории вероятностей и математической статистики.
3. Понятия опыта, события, вероятности события. Виды событий (достоверное, невозможное случайное). Виды случайных событий (полная группа, несовместные, равновозможные, противоположные).
4. Непосредственный подсчет вероятностей событий: классическая формула для вычисления вероятностей событий, элементы комбинаторики (правила умножения и сложения; размещения; перестановки; сочетания).
5. Геометрическая и статистическая вероятности событий.
6. Практически невозможные и практически достоверные события. Принцип практической уверенности.
7. Сумма событий. Теоремы сложения вероятностей.
8. Произведение нескольких событий. Понятие условной вероятности события. Общая формулировка теоремы умножения вероятностей. Понятие независимых событий. Теорема умножения вероятностей для двух независимых событий.
9. Понятие событий, независимых в совокупности. Теорема умножения вероятностей для нескольких событий, независимых в совокупности. Теорема о вычислении вероятности появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности.
10. Формулы полной вероятности и Байеса.
11. Понятие последовательности независимых испытаний. Формула Бернулли.
12. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа. Формула Пуассона.
13. Понятие случайной величины. Виды случайных величин. Понятие закона распределения вероятностей случайной величины.
14. Способы задания закона распределения вероятностей дискретной случайной величины: ряд, многоугольник и функция распределения. Свойства функции распределения.
15. Способы задания закона распределения вероятностей непрерывной случайной величины: функция и плотность распределения. Вероятностный смысл, геометрическое истолкование и свойства плотности распределения вероятностей.
16. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения вероятностей.
17. Понятие, назначение и классификация числовых характеристик случайной величины. Математические ожидания дискретной и непрерывной случайных величин.
18. Вероятностный смысл и свойства математического ожидания. Мода и медиана случайной величины.
19. Дисперсия случайной величины и ее свойства.
20. Среднее квадратическое отклонение. Следствия свойств математического ожидания и дисперсии.
21. Начальные и центральные моменты случайной величины.
22. Равномерный закон распределения вероятностей (определение, графики функции и плотности распределения вероятностей, выражения для вычисления математического ожидания и дисперсии, область применения).
23. Экспоненциальный закон распределения вероятностей (определение, графики функции и плотности распределения вероятностей, выражения для вычисления математического ожидания и дисперсии, область применения).
24. Нормальный закон распределения вероятностей (определение, графики функции и плотности распределения вероятностей, влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой).
25. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания. Правило “трех сигм”.
26. Особая роль нормального распределения вероятностей. Центральная предельная теорема Ляпунова.
27. Предмет и основные задачи математической статистики. Основные понятия математической статистики: генеральная и выборочная совокупности, повторная и бесповторная выборки, репрезентативная выборка, способы отбора элементов генеральной совокупности в выборку.
28. Основные этапы статистической обработки экспериментальных данных, их содержание и применяемые методы.
29. Выборочные аналоги закона распределения вероятностей и числовых характеристик дискретной и непрерывной случайных величин.
30. Понятие точечной статистической оценки числовой характеристики случайной величины. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.
31. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии.
32. Методы получения точечных оценок: моментов; максимального правдоподобия; наименьших квадратов.
33. Понятие интервальной оценки числовой характеристики случайной величины. Интервальные оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной и неизвестной дисперсии.
34. Интервальные оценки дисперсии случайной величины.
35. Основные понятия статистической проверки статистических гипотез (понятие статистической гипотезы, виды гипотез, варианты решений при проверке статистической гипотезы и их вероятности).
36. Основные понятия статистической проверки статистических гипотез (понятия статистического критерия, критической области, области принятия гипотезы, критической точки; логическая схема проверки статистической гипотезы).
37. Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания нормальной совокупности при известной и неизвестной дисперсии. Связь между двусторонней критической областью и доверительным интервалом.
38. Понятия функциональной, стохастической и корреляционной зависимостей. Понятие и основные задачи корреляционного и регрессионного анализов.
39. Основные понятия корреляционного анализа: ковариация, линейный коэффициент корреляции, коэффициент детерминации и их свойства; проверка статистической значимости выборочного коэффициента корреляции.
40. Основные понятия регрессионного анализа: функция регрессии; этапы регрессионного анализа; идентификация модели парной линейной регрессии методом наименьших квадратов; проверка статистической значимости коэффициентов регрессии.
7.3. Вопросы для подготовки к экзамену за 4 семестр по части III “Экономико-математические методы”
1. Основные понятия принятия решений по управлению социальноэкономическими системами (понятие социально-экономической системы и ее особенности, основные понятия управления и теории принятия решений, основные методы подготовки принятия решений по управлению социально-экономическими системами).
2. Основные понятия экономико-математического моделирования (понятие экономико-математического моделирования, основные практические задачи экономико-математического моделирования, предпосылки использования модели, проблема адекватности модели).
3. Элементы экономико-математической модели.
4. Основные этапы экономико-математического моделирования.
5. Понятие экономико-математических методов. Классификация и предмет экономико-математических методов.
6. Общая задача математического программирования. Общая задача линейного программирования. Примеры задач линейного программирования.
7. Формы записи задачи линейного программирования (каноническая, векторная, матричная, с использованием знаков суммирования).
8. Геометрический смысл задачи линейного программирования.
9. Алгоритм решения задачи линейного программирования графическим методом с использованием понятий нормального вектора и линии уровня целевой функции.
10. Алгоритм решения задачи линейного программирования графическим методом путем вычисления значений целевой функции во всех вершинах области допустимых решений.
11. Основные свойства решений задач линейного программирования.
12. Суть симплексного метода решения задачи линейного программирования.
13. Алгебраический симплексный метод решения задачи линейного программирования.
14. Табличный симплексный метод решения задачи линейного программирования.
15. Метод искусственного базиса получения допустимого решения.
16. Взаимно двойственные задачи линейного программирования.
17. Основные понятия целочисленного программирования. Экономическое и геометрическое истолкование задач целочисленного программирования.
18. Суть основных методов решения целочисленных задач линейного программирования (округления решения непрерывной задачи линейного программирования; полного перебора; отсечения нецелочисленных оптимальных решений).
19. Метод Гомори решения целочисленной задачи линейного программирования.
20. Метод ветвей и границ решения целочисленной задачи линейного программирования.
21. Основные понятия динамического программирования (предмет динамического программирования, геометрическое истолкование общей задачи динамического программирования, условия применения методов динамического программирования; примеры экономических задач, допускающих решение методом динамического программирования).
22. Суть метода динамического программирования на основе рекуррентных соотношений Беллмана.
23. Решение с использованием рекуррентных соотношений Беллмана задачи об оптимальном пути в транспортной сети.
24. Решение с использованием рекуррентных соотношений Беллмана задачи о выборе оптимальной стратегии обновления оборудования.
25. Решение с использованием рекуррентных соотношений Беллмана задачи об оптимальном распределении ресурсов.
26. Сущность задачи оптимального управления в теории оптимального управления. Функция Гамильтона.
27. Принцип максимума Понтрягина. Алгоритм решения задачи оптимального управления с использованием принципа максимума Понтря- гина. Истолкование сопряженных переменных.
28. Предмет и основные задачи теории игр. Основные понятия теории игр (игра, игрок, партия, выигрыш, проигрыш, ход, личный ход, случайный ход, стратегическая игра, стратегия игрока, оптимальная стратегия игрока). Ограничения теории игр.
29. Классификация игр (по количеству игроков, по количеству стратегий игры, по взаимоотношениям сторон, по характеру выигрышей, по виду функции выигрышей, по количеству ходов, по информированности сторон).
30. Антагонистические матричные игры и их решение в чистых стратегиях (платежная матрица, нижняя и верхняя цены игры, принцип мини- макса).
31. Понятие смешанной стратегии. Условия применения смешанных стратегий. Основные теоремы теории игр. Упрощение игр.
32. Решение антагонистической матричной игры размера 2x2 в смешанных стратегиях и его геометрическое истолкование.
33. Графическое решение игр вида 2xn и mx2.
34. Приведение антагонистической матричной игры размера mxn к задаче линейного программирования.
35. Понятие игры с природой и ее формальное представление. Виды неопределенностей о состояниях природы.
36. Решение игр с природой в условиях стохастической неопределенности о состояниях природы с использованием критериев максимума среднего выигрыша и минимума среднего риска.
37. Решение игр с природой в условиях полной неопределенности о состояниях природы с использованием критериев максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица.
38. Понятие статистической игры. Основные этапы решения статистической игры. Виды статистических экспериментов. Определение целесообразности проведения идеального эксперимента. Выбор оптимальной стратегии по результатам проведения идеального эксперимента.
39. Выбор оптимальной стратегии по результатам проведения неидеального эксперимента: вычисление послеопытных вероятностей состояний природы по результатам проведения эксперимента; выбор оптимальной стратегии в соответствии с критерием максимального среднего выигрыша или минимального среднего риска.
40. Функция решения статистической игры.
41. Определение целесообразности проведения неидеального эксперимента.
42. Основные понятия классических кооперативных игр: коалиция, характеристическая функция, дележ, доминирование, С-ядро, решение по Нейману-Моргенштерну.
43. Основные понятия кооперативных игр с обязательными соглашениями: арбитражная схема игры, арбитражная игра, аксиомы и вектор Шепли, принципы оптимальности Нэша для арбитражных схем.
44. Геометрическое и математическое понятия графа. Виды графов: плоские, ориентированные, эйлеровы, гамильтоновы.
45. Способы задания ориентированного графа: в виде матрицы смежности вершин; в виде матрицы смежности дуг; в виде матрицы инцидентности; с помощью списка вершин и информации о том, с какими вершинами они соединены дугами; с помощью дуг и информации о том, на какие дуги они опираются.
46. Назначение и области применения сетевого планирования и управления. Сетевая модель и ее основные элементы (событие, работа, путь).
47. Алгоритм сетевого планирования и управления. Правила построения сетевых графиков.
48. Упорядочение сетевого графика.
49. Временные параметры сетевых графиков.
50. Сетевое планирование в условиях неопределенности.
51. Анализ и оптимизация сетевого графика.
52. Основные общие понятия теории сетей Петри (асинхронная модель, сеть Петри, входная функция, выходная функция, переход, позиция, событие, условие, граф сети Петри).
53. Предмет и основные понятия теории массового обслуживания (система массового обслуживания и ее элементы, процесс работы системы массового обслуживания как случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем, оптимизация работы системы массового обслуживания).
54. Классификация систем массового обслуживания (по количеству каналов обслуживания, по характеру формирования очереди, по расположению источника заявок).
55. Понятие марковского случайного процесса. Классификация потоков событий. Свойства простейшего потока событий.
56. Система дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний системы.
57. Система линейных алгебраических уравнений Колмогорова для предельных вероятностей состояний системы.
58. Процесс гибели и размножения.
59. Разомкнутая одноканальная система массового обслуживания с отказами (размеченный граф состояний и показатели эффективности).
60. Разомкнутая многоканальная система массового обслуживания с отказами (размеченный граф состояний и показатели эффективности).
61. Разомкнутая одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью (размеченный граф состояний и показатели эффективности).
62. Разомкнутая многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью (размеченный граф состояний и показатели эффективности).
63. Разомкнутая одноканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью (размеченный граф состояний и показатели эффективности).
64. Разомкнутая многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью (размеченный граф состояний и показатели эффективности).
65. Замкнутая одноканальная система массового обслуживания (размеченный граф состояний и показатели эффективности).
66. Замкнутая многоканальная система массового обслуживания (размеченный граф состояний и показатели эффективности).