Закон сохранения момента импульса и закон динамики вращательного движения

Задача 1.

Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около

вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой 70 кг. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль ее края и, обойдя платформу, вернется в исходную точку? Масса платформы 250 кг. Момент инерции человека рассчитать как для материальной точки.

Пример решения

m = 70 кг

M = 250 кг

j = ?

Система замкнута, так как сила тяжести человека и платформы уравновешена реакцией опоры. Тогда справедлив закон сохранения момента импульса. Можно приравнять орбитальный момент импульса человека, идущего вдоль платформы, осевому моменту импульса поворачивающейся платформы. Поскольку импульс человека перпендикулярен радиусу – вектору равенство имеет следующий вид:

rmv = Jw .

Если предположить, что движение равномерное, то обе части уравнения можно умножить на время t.

rmvt = Jwt, тогда

rms = Jj или

rm2pr = Jj.

Поскольку для платформы и человека J = mr² + Mr²/2

j = m2pr²/(mr² + Mr²/2)= 2pm/(m + M/2).

Задача 2.

Стержень массой 6 кг и длиной 1,2 м вращается вокруг оси,

проходящей через его середину, согласно уравнению j= At + Bt²

(А = 3 с^-1, В = 0,2 с^-2). Определить вращающий момент силы, действующий на стержень.

Пример решения

m = 6 кг Закон динамики вращающего движения

L = 1,2 м имеет следующий вид

j= At + Bt² Je = M, где момент инерции стержня

А = 3 с^-1, В = 0,2 с^-2 J = mL²/12. e = d²j/dt² = 2В – угловое ускорение.

М = 2ВmL²/12 = 0,288 Н^.м.

М = ?

Варианты

1.4.Платформа в виде диска радиусом 1 м вращается по инерции

с частотой 5 мин^-1 . На краю платформы стоит человек массой

m = 70 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если

человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы

J = 125 кг^.м². Момент инерции человека рассчитать как для

материальной точки.

2.4.В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках

стержень длиной L =2 м и массой 5 кг, расположенный

вертикально по оси вращения скамейки. Скамья с человеком

вращается с частотой 2 с^-1. С какой частотой будет вращаться

скамья с человеком, если он повернет стержень в

горизонтальное положение? Суммарный момент инерции

человека и скамьи равен 5 кг^.м². Скамья Жуковского –

вращающееся круглое сидение.

3.4. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 3 м, стоит человек массой 70 кг. Масса платформы

250 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси,

проходящий через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с

какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если

человек будет идти вдоль ее края со скоростью 1 м/с

относительно платформы.

4.4. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью 10 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии 0,5 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции человека и скамьи равен 5 кг^.м².

5.4. Вентилятор вращается с частотой 600 об/мин. После выключения он стал вращаться равнозамедленно и, сделав 50 оборотов, остановился. Работа сил торможения равна 31,4 Дж. Определить момент сил торможения.

6.4. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого

150 кг^.м² , вращается с частотой 200 об/мин. После того, как

через 1 минуту на него стал действовать момент сил

торможения, он остановился. Определить момент сил

торможения и число оборотов маховика от начала торможения

до полной остановки.

7.4. К ободу однородного сплошного диска радиусом 0,5 м

приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При

вращении диска на него действует момент силы трения

М =2 Н^. М. Определить массу диска, если известно, что его

угловое ускорение постоянно и равно 16 рад/с².

8.4. Частота вращения маховика, момент инерции которого

J = 120 кг м², составляет 240 об/мин. После прекращения

действия на него вращающего момента маховик под действием

сил трения в подшипниках остановился за время 3,14 минут.

Определить момент сил трения при условии, что трение в

подшипниках постоянно.

9.4. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого

J = 1,5 кг^.м² , вращается при торможении равнозамедленно. За 1

минуту он уменьшил частоту своего вращения с 240 об/мин до

120 об/мин. Определить угловое ускорение маховика и момент

силы торможения.

10.4. Диск массой 0,8 кг и радиусом 30 см вращается с

частотой 10 об/с. Под действием внешних сил диск

останавливается. Найти работу внешних сил.

Раздел «Силовые поля»

Используемые формулы

E_рез= SЕ_i – результирующий вектор напряженности электрического поля равен векторной сумме составляющих векторов Е_i.

В_рез=SВ_i– результирующий вектор магнитной индукции равен векторной сумме составляющих векторов В_i.

F = q₁q₂/4pe_oR² – закон Кулона, E = F/q = q/4pe_oR²

e_о =8,85^.10^-12 Ф/м.

Е = q/(4pe_oR²) – напряженность электрического поля в вакууме, сорздаваемая точечным зарядом q на расстоянии R от заряда,

Е = 2t/4pe_oR – напряженность электрического поля, создаваемого бесконечной нитью, равномерно заряженной с погонной плотностью t, на расстоянии R от нити,

Е = s/2e_о – напряженность электрического поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,s - поверхностная плотность заряда,

Е = s/e_о – напряженность электрического поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно заряженными плоскостями.

U =Еd – разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора с воздушным зазором d.

В =m_oq[vR]/4pR³ – магнитная индукция, создаваемая зарядом, движущемся со скоростью v, в плоскости перпендикулярной его движению на прямой, проходящей через мгновенное положение электрона.

В = m_oI/2R - магнитная индукция в центре круглого проводника с током I (магнитного диполя),

В =m_oI/2pR – магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током,

В = m_onI – магнитная индукция поля соленоида, n - число витков на единицу длины соленоида, I – сила тока в одном витке.

F = q[vB] = qvBsina - сила Лоренца, a - угол между направлением вектора скорости и магнитной индукции.

m_o = 4p^.10^-7 Гн/м.

е = 1,6^.10^-19 Кл – заряд электрона

m = 9,1^.10^-31 кг – масса электрона

5. Принцип суперпозиции электрических полей

Задача

Найти результирующее электрическое поле трех одинаковых положительных зарядов в точке А, не лежащей на одной прямой с зарядами.

Пример решения

1 2 3 Вектор Екасателен к электрической силовой

линии. Поэтому проведем для каждого

заряда в точку А силовую линию. Силовые

линии начинаются на положительных

зарядах и заканчиваются в выбранной точке.

. А Рассматриваем заряды как независимые

поочередно. Вектора Е_iначинаются в

Е₃Е₂ Е₁ выбранной точке А. Вначале по правилу

векторного сложения (правило

параллелограмма) сложим вектора Е₁ и Е₃

Е₁₃ Вектора Е₁₃ и Е₂оказались коллинеарны.

Е₁₃₂Поэтому результирующее поле Е₁₃₂ будет направлено также.

Варианты

1.5. Найти результирующее электрическое поле двух одинаковых по модулю положительных зарядов и одного отрицательного в точке А, не лежащей на одной прямой с зарядами.

Q

.А

2.5.Найти результирующее электрическое поле двух одинаковых по

модулю положительных зарядов и одного отрицательного в

точке А, не лежащей на одной прямой с зарядами.

Q

.А

3.5. Найти результирующее электрическое поле двух одинаковых по модулю положительных зарядов и одного отрицательного в точке А, не лежащей на одной прямой с зарядами.

Q

.А

4.5. Найти результирующее электрическое поле двух одинаковых по модулю положительных зарядов и одного отрицательного в точке А, не лежащей на одной прямой с зарядами.

.А Q

5.5. Найти результирующее электрическое поле двух

отрицательных зарядов и одного положительного в точке А, не

лежащей на одной прямой с зарядами.

Q Q

.А

6.5. Найти результирующее электрическое поле двух

отрицательных зарядов и одного положительного в точке А, не

лежащей на одной прямой с зарядами.

Q Q

.А

7.5. Найти результирующее электрическое поле двух одинаковых по модулю отрицательных зарядов и одного положительного в

точке А, не лежащей на одной прямой с зарядами.

Q Q

.А

8.5. Найти результирующее электрическое поле двух одинаковых по модулю отрицательных зарядов и одного положительного в точке А, не лежащей на одной прямой с зарядами.

Q Q

.А

9.5.Найти результирующее электрическое поле двух одинаковых

по модулю отрицательных зарядов и одного положительного в

точке А, не лежащей на одной прямой с зарядами.

.А Q

Q

10.5. Найти результирующее электрическое поле трех одинаковых

отрицательных зарядов в точке А, не

лежащей на одной прямой с зарядами.

Q Q Q

.А