Парная регрессия на основе метода наименьших

Квадратов и метода группировок

Парная регрессияхарактеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитически связь между ними описывается уравнениями:

прямой

гиперболы

параболы (3)

показательной функции

полулогарифметической функции и так далее.

Определить тип уравнения можно, исследуя зависимость графически, однако существуют более общие указания, позволяющие выявить уравнение связи, не прибегая к графическому изображению. Если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная, а при обратной связи - гиперболическая. Если результативный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а факторный значительно быстрее, то используется параболическая или степенная регрессия.

Оценка параметров уравнений регрессии ( и - в уравнении параболы второго порядка) осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметров модели ( ), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии:

(4)

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:

(5)

где n - объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).

В уравнениях регрессии параметр a показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных в уравнении факторных признаков; коэффициент регрессии a показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

Пример. По данным наблюдения окупаемость затрат на радиоприборы зависит от срока освоения их производства (см. табл. 2).

Таблица 2

Зависимость между окупаемостью затрат и сроком освоения

Производства приборов

№ продук- ции	Срок освоения, лет (x)	Окупаемость затрат, тыс. ден. ед. (y)
		10,2 7,5 13,9 12,8 0,6 2,8 13,2 10,1 5,4 12,7		97,3 0,6 5,6 105,6 121,2 16,2 76,2	8,104 7,084 10,144 13,204 4,024 5,044 11,164 15,244 6,064 9,124
Итого		89,2		631,7	89,2

Предположим наличие линейной зависимости между рассматриваемыми признаками. Тогда, система нормальных уравнений для данного примера будет иметь следующий вид:

Отсюда: a = 3,004; a = 1,02. Следовательно, =3,004 + 1,02x.

На практике исследования часто проводятся по большому числу наблюдений. В этом случае исходные данные удобнее представлять в сводной групповой таблице. При этом анализу подвергаются сгруппированные данные и по факторному (x) и по результативному (y) признакам, то есть уравнения парной регрессии целесообразно строить на основе сгруппированных данных.