Элементы теории вероятностей
Случайным событием называется событие, связанное с данным испытанием, которое при осуществлении испытания может произойти, а может и не произойти. Слово «случайное» для краткости часто опускают и говорят просто «событие». Например, выстрел по цели - это опыт, случайные события в этом опыте - попадание в цель или промах.
Событие называется достоверным, если в результате опыта оно непременно должно произойти, и невозможным, если оно заведомо не произойдет. Например, выпадение не более шести очков при бросании одной игральной кости - достоверное событие; выпадение десяти очков при бросании одной игральной кости - невозможное событие.
События называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе. Например, попадание и промах при одном выстреле - это несовместные события.
Несколько событий в данном опыте образуют полную систему событий, если в результате опыта непременно должно
произойти хотя бы одно из них. Например, при бросании игральной кости события, состоящие в выпадении одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков, образуют полную систему событий.
События называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие. Например, при бросании монеты выпадение герба или числа -события одинаково возможные.
Каждое событие обладает какой-то степенью возможности. Численная мера степени объективной возможности события — это вероятность события. Вероятность события А обозначается Р(А).
Пусть из системы я несовместных равновозможных исходов испытания m исходов благоприятствуют событию А. Тогда вероятностью события А называют отношение т числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех исходов данного испытания:
Р(А) = m/n
Эта формула носит название классического определения вероятности.
Если В - достоверное событие, то m=n и Р(В) =1; если С -невозможное событие, то m = 0 и Р(С)=0; если А—случайное событие, то m<n и Р(А) < 1.
Таким образом, вероятность события заключена в следующих пределах:
0<Р(А)<1.
Пример 1. Игральную кость подбрасывают один раз. Найти вероятность событий: А - появление четного числа очков; В - появление не менее пяти очков; С - появление не более пяти очков.
Решение. Опыт имеет шесть равновозможных независимых исходов (появление одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков), образующих полную систему.
Событию А благоприятствуют три исхода (выпадение двух, четырех и шести очков), поэтому Р(А) = 3/6 = 1/2; событию В - два исхода (выпадение пяти и шести очков), поэтому Р(В)=2/6=1/3; событию С - пять исходов (выпадение одного, двух, трех, четырех и пяти очков), поэтому Р(С)=5/6.
При вычислении вероятности часто приходится использовать формулы комбинаторики.
Основные понятия комбинаторики.
Размещения. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, содержащее n элементов, называется размещением из n элементов по m элементов.
Из определения вытекает, что 0 < m < n и что размещения из n элементов по m - это все m-элементные подмножества, отличающиеся составом элементов или порядком их следования.
Число размещений из я элементов по т элементов в каждом обозначают 
и вычисляют по формуле
Число размещений из n элементов по m элементов в каждом равно произведению m последовательно убывающих натуральных чисел, из которых большее есть n.
Для краткости произведение первых n натуральных чисел принято обозначать n! (n-факториал):
1 • 2 • 3 ... n=n!
Условились считать, что 0! = 1.
Тогда формулу числа размещений из n элементов по m элементов можно записать и в другом виде: 
Пример 2. Сколькими способами собрание, состоящее из 30 человек, может выбрать из присутствующих президиум в составе председателя, секретаря и члена президиума?
Решение. Состав президиума собрания является упорядоченным множеством из 30 элементов по три элемента. Значит, искомое число способов равно числу размещений из 30 элементов по три элемента в каждом:
или 
Перестановки. Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов.
Из определения следует, что перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.
Число перестановок из n элементов данного множества обозначают Рn, а вычисляют по формуле
Рn = 1•2•3 ... n=n!
Пример 3. Сколько четырехзначных чисел можно составить из четырех цифр 1, 2, 3, 4 без повторений?
Решение. По условию дано множество из четырех элементов, которые требуется расположить в определенном порядке. Значит, требуется найти количество перестановок из четырех элементов:
Рn = 1•2•3•4 = 24,
т. е. из цифр 1, 2, 3, 4 можно составить 24 четырехзначных числа (без повторений цифр).
Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее т элементов, называется сочетанием из n элементов по m элементов.
Таким образом, сочетания из n элементов по m элементов - это все m-элементные подмножества, которые имеют одинаковый состав элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга порядком следования элементов, не считаются различными.
Число подмножеств по m элементов в каждом, содержащихся во множестве из n элементов, т. е. число сочетаний из n элементов по m элементов в каждом, обозначают 
и вычисляют по формуле
или 
Число сочетаний обладает свойством = 
(0<m<n). Так, 
Пример 4. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?
Решение. Состав каждой бригады является конечным множеством из 12 элементов по 6. Значит, искомое число способов равно числу сочетаний из 12 элементов по 6 в каждом:
= (12 • 11 • 10 • 9 • 8 • 7)/(1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6) = 924.
Примеры непосредственного вычисления вероятностей.
Пример 5. В урне находятся 6 белых и 5 черных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые (событие А)?
Решение. Здесь число равновозможных независимых исходов составляет n = 
= (11 • 10)/(1 • 2) = 55. Событию А благоприятствуют 
=(6•5)/(1•2)=15 исходов. Следовательно, Р (А) = 15/55 = 3/11.
Пример 6. В партии из 20 изделий четыре бракованных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий окажется два бракованных (событие В).
Решение. Здесь число равновозможных независимых исходов есть
n = 
= (20•19•18•17•16)/(1•2•3•4•5)= 15504.
Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию В. Среди пяти взятых изделий окажется два бракованных и три стандартных. Два бракованных изделия из четырех можно выбрать 
=(4 • 3)/(1 • 2) = 6 способами, а три стандартных изделия из 16 можно выбрать 
способами. Каждая комбинация бракованных изделий может сочетаться с каждой комбинацией стандартных изделий, поэтому m=560•6=3360. Следовательно, Р(В) = 3360/15504 =70/323 »0,2.
Пример 7. Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (событие С).
Решение. Здесь число равновозможных независимых исходов есть n=Р9=9!. Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию C. Представим себе, что четыре определенные книги связаны вместе. Тогда эту связку можно расположить на полке Р6= 6!. способами (связка плюс остальные пять книг). Внутри связки четыре книги можно переставлять Р4=4! способами. При этом каждая комбинация внутри связки может сочетаться с каждым из Р6 способов образования связки, т. е. m= Р6 • Р4. Следовательно Р(С) = (Р6 •Р4)Р9=1/21.
Вопросы для самопроверки
1. Какое событие называется невозможным, достоверным?
2. Какие события называются несовместными, равновозможными?
3. Какие события образуют полную систему событий?
4. Что понимается под вероятностью события?
5. Дайте классическое определение вероятности события.
6. а) В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным?
б) В урне 4 красных и 7 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные?
в) Первенство по футболу оспаривают 18 команд, среди которых 5 лидирующих. Путем жеребьевки команды распределены на две группы по 9 команд в каждой. Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну группу?
Ответы. 6. а) 3/4; б) 6/55; в) 1/3.
Контрольная работа
Задачи 1-10
Вычислить пределы следующих функций:
1)
а) 
б) 
в) 
2)
а) 
б) 
в) 
3)
а) 
б) 
г) 
4)
а) 
б) 
г) 
5)
а) 
б) 
в) 
6)
а) 
б) 
в) 
7)
а) 
б) 
в) 
8)
а) 
б) 
в) 
9)
а) 
б) 
в) 
10)
а) 
б) 
в) 
Задачи 11-20
Вычислить неопределенный интеграл
11.
1. a). Найти функцию, если ее дифференциал
(Sin2х-6Cos2х *Sinх) dх равен 3/2 при х=П/2
б) Найти интегралы
2 
3 
12.
1. а) Найти функцию, если ее дифференциал
(Cos2х-6Sin2х Cosх) dх равен 2 при х=П/2
б) Найти интегралы
2. 
3. 
13.
1. а) Найти функцию, если ее дифференциал
(Cos2х – Соs2х *Sinх) dх равен 2 при х=П
б) Найти интегралы
2. 
3. 
14.
1. а) Найти функцию, если ее дифференциал
(Sin2х-6Sin2х *Сosх) dх равен 1/2 при х=П/6
б) Найти интегралы
2. 
3. 
15.
1. а) Найти функцию, если ее дифференциал
(Сos2х+6Сos2х Sin х) dх равен -3 при х=0
б) Найти интегралы
2. 
3. 
1. Точка движется прямолинейно с ускорением а=6t+12 м/с2
Найдите путь, пройденный точкой за 3с, если в момент t=2(с) точка имела скорость V=38(м/c2) и пройденный путь равен S=30(м).
2. 
3. 
17.
1. Точка движется прямолинейно с ускорением а=12t2+6t м/с2
Найдите закон движения точки, если в момент t=1(с) ее скорость V=8(м/c2) и путь равен S=6(м).
2. 
3. 
18.
1. Скорость прямолинейного движения точки задана формулой V=Sin2t. Найдите закон движения точки, если в момент t=П/6 она находилась на расстоянии 0,75м от начала отсчета.
2. 
3. 
19.
1. Скорость прямолинейного движения точки задана формулой V=Соs2t. Найдите закон движения точки, если в момент t=П/6 она находилась на расстоянии 0,75м от начала отсчета.
2. 
3. 
20.
1. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону V=t2-8t+2. Найдите закон движения точки.
2. 
3. 
Задачи 21-30
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линии: у=ах2+bх и у=kх+с.
Значения параметров а,b,k,с даны в таблице 1.
Таблица 1
| № задачи | а | b | k | c |
| -1 | ||||
| -1 | ||||
| -1 | -2 | |||
| -2 | -2 | |||
| -1 | -3 | -2 | -6 | |
| -1 | ||||
| -1 | ||||
| -1 | -1 | |||
| -1 |
Задачи 31-40
Найти производные следующие функций:
31.
а) 
б) 
в) 
г) 
32.
а) 
б) 
в) 
г) 
33.
а) 
б) 
в) 
г) 
34.
а) 
б) 
в) 
г) 
35.
а) 
б) 
в) 
г) 
36.
а) 
б) 
в) 
г) 
37.
а) 
б) 
в) 
г) 
38.
а) 
б) 
в) 
г) 
39.
а) 
б) 
в) 
г) 
40.
а) 
б) 
в) 
г) 