Найти: а) параметр с; б) моду; в) медиану

4 a). Используя свойство (5) плотности распределения, получим: Þ .

Плотность распределения имеет вид:

б) МодаM_o СВ Х – это точка максимума функции . Необходимое условие существования экстремума ‑ , но = ¹0, следовательно данное распределение моды M_o не имеет.

в) Медиана М_e определяется из уравнения . Интегрируя и подставляя пределы интегрирования, получим: . Решая квадратное уравнение, находим корни .

Следовательно, . 3

Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ и обозначается М[X] или m_x.Под символом М[X] понимают оператор математического ожидания, примененный к СВ Х. Оператор имеет различные выражения для дискретной и непрерывной СВ Х.

Математическое ожидание дискретной СВ Х есть сумма произведений всех возможных значений СВ на вероятности принятия этих значений.

М[X]= =

Математическое ожидание непрерывной СВ X есть интеграл:

М[Х] =

Свойства математического ожидания

1. М[С]=С

2. М[CX]=CМ[X]

3. М[X₁+X₂+...+X_n]= M[X₁]+ M[X₂]+...+ M[X_n]

4. Для независимых случайных величин X₁,×X₂,×...×,X_n:

М[X₁×X₂×...×X_n]= M[X₁]× M[X₂]×...× M[X_n].

ПримерИзделия испытываются на надежность. Вероятность выхода из строя за время испытания для каждого изделия равна р. Испытания заканчиваются после первого же вышедшего из строя изделия. Найти математическое ожидание СВ Х- числа проверенных изделий.

4Если X- случайное число проверенных изделий, то ряд распределения СВ Химеет вид:

xi				...	k	...
pi	p	pq	pq2	...	рqk-1	...

гдеq=1-p. Математическое ожидание Х выражается суммой ряда:

М[Х]=1p+2pq+3pq²+...+kpq^k-1 +...= p(1+2q+3q²+...+kq^k-1+...

Легко заметить, что ряд, стоящий в скобках представляет собой результат дифференцирования геометрической прогрессии q+q²+q³+...+q^k+...= .

Следовательно: М[Х]=р(1+2q+3q²+...+kq^k-1+...)= = . 3

Дисперсией СВ Х называют математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

= D[X]=M[(X-M[X])²]

Дисперсия характеризует рассеяние значений СВ вокруг ее математического ожидания. Символ D[X] означает оператор дисперсии, примененный к СВ Х. Свойства математического ожидания позволяют получить удобную формулу для определения дисперсии:

D[X]=M[X²]-(M[X])²

Дисперсия дискретной СВ Хвычисляют по формуле:

D[X]=

Или

D[X]= ‑ (M[X])²

Дисперсия непрерывной СВ Х вычисляют по формуле:

D[X]=

Или

D[X]= ‑(M[X]) ²

Свойства дисперсии

1. D[C] = 0.

2. D[CX])=C²D[X].

3. D[X₁+X₂+...+X_n ]= D[X₁]+D[X₂] +...+D[ X_n]. (Для независимых случайных величин X₁,X₂,...X_n).

Средним квадратичным отклонением s_х СВ Х называют квадратный корень из дисперсии:

s_х = .

Начальным моментом k-го порядка СВ Х называют математическое ожидание величины

Х^k , т.е.

Начальный момент k-го порядка дискретной СВ выражается суммой: ,

непрерывной - интегралом:

Очевидно, что при k=1 .

Начальные моменты высших порядков используются главным образом для вычисления центральных моментов.

Центральным моментом k-го порядка СВ Х называют математическое ожидание величины :

Для дискретной СВХ центральный момент выражается суммой: ,

для непрерывной - интегралом:

.

Центральный момент первого порядка , центральный момент второго порядка – это дисперсия: .

Центральный момент любого порядка можно выразить через начальные моменты:

; и т.д.

Асимметрией (коэффициентом асимметрии) распределения СВ Х называется величина:

.

Коэффициент асимметрии характеризует “скошенность” графика плотности распределения вероятностей.

Эксцессом СВ Х называется величина

,

она характеризует крутизну кривой распределения.