Вычисление вероятности появления первого туза

АННОТАЦИЯ

В данной работе проведен расчет вероятностей появления первого туза из колоды в 52 карты, были рассчитаны эмперические и теоретические частоты появлений туза. Исследованы выборки максимальных температур октября на предмет наличия корреляционных связей между 2013 и 2014 годами.

Предложены способы применения показанных в данной работе методов на практике.

ANNOTATION

In this work we investigated the probabilities of occurrence of the first ace from a deck of 52 cards, calculated experimental and theoretical frequencies of occurrence of aces. Sample of maximum temperatures in October for the presence of correlations between 2013 and 2014 were studied.

The methods of application in practice were shown in this paper.
СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 3

1 ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПОЯВЛЕНИЯ ПЕРВОГО ТУЗА.. 5

1.1 Эксперимент с тузом. 5

1.2 Вычисление вероятности появления первого туза. 7

1.3 Критерий согласия .... 11

1.4 Использование критерия согласия экспериментальных и теоретических частот 12

2 ИССЛЕДОВАНИЕ СВЯЗИ МЕЖДУ ТЕМПЕРАТУРАМИ.. 15

2.1 Формулировка задачи. 15

2.2 Коэффициент ранговой корреляции Спирмена. 16

2.3 Вычисление коэффициента ранговой корреляции Спирмена. 17

2.4 Проверка коэффициента на значимость. 26

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 27

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 28

ВВЕДЕНИЕ

Карточные игры, как правило, являются азартными, и оттого вероятность победы во многом зависит от удачи. Однако вероятность победы может не быть равной для всех игроков. Например, она может зависеть от порядкового номера игрока, то есть от того, кто ходит первым. В данной курсовой работе рассмотрен один из таких случаев. Погода из года в год на одной и той же местности, как правило, повторяется циклично. Погода хоть и может существенно отличаться в разные года, все равно более-менее похожа и, в целом, варьируется в некоторых рамках. Погода в определенный месяц за разные годы, предположительно, имеет корреляционную связь. В данной курсовой работе проверено, так ли это.

Актуальность курсовой работы заключается в том, что как карточные игры, так и прогнозирование погоды являются важной частью жизни, но не всегда успешно прогнозируемы. Техники выявления случайности и ее значимости в происходящих явлениях актуальны, так как они облегчают жизнь.

Цель курсовой работы: при помощи математических методов проверить, действительно ли экспериментальные частоты появления первого туза из колоды в 52 карты подчинятся теоретическому распределению; проверить достоверность гипотезы о том, что между температурами октября за 2013 и 2014 годов существует корреляционная связь.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

1) рассчитать вероятность появления первого туза из колоды в 52 карты;

2) проверить подчиняется ли эмпирические частоты распределению теоретически высчитанных частот;

3) проверить наличие корреляционной связи между температурами октября за 2013 и 2014 годов.

Объект исследования – колода в 52 карты; температуры за октябрь 2013 и 2014 годов.

Предмет исследования – появление первого туза из колоды в 52 карты; максимальные температуры за октябрь 2013 и 2014 годов.

Методы исследования, применяемые в данной курсовой работе:

1) критерий , позволяющий определить, согласия экспериментальных и теоретических частот;

2) тест ранговой корреляции Спирмена, позволяющий выявлять наличие корреляционной связи между выборками.

Основные положения работы, выносимые автором на защиту: результаты проверки согласия эмпирических частот с теоретическими частотами; проверка наличия корреляционной связи между выборками.

Практическая значимость. Данная курсовая работа позволяет выявлять азартные такие карточные игры, в которых вероятность победы зависит от позиции какой-либо определенной карты в колоде из 52 карт, и, следовательно, от порядкового номера игрока. Это может послужить полезной информацией для игроков, зарабатывающих деньги игрой в карты, а также помочь в предупреждении заведомо проигрышных. Также данная курсовая работа позволяет устанавливать, имеется ли связь между температурами определенного месяца разных годов. Методы проверки наличия связей между температурами некоторого месяца за любые два года могут дать полезную информацию о закономерностях погоды, что может позволить увеличить точность прогнозов погоды.

Достоверность результатов работы достигается путем использования корректного применения подходящих математических методов, обеспечивающих заданную погрешность.

Объем работы – 28с.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПОЯВЛЕНИЯ ПЕРВОГО ТУЗА

1.1 Эксперимент с тузом

Перед тем как начать вычислять вероятности появления первого туза из колоды в 52 карты было бы полезнее в первую очередь провести эксперимент.

При проведении эксперимента была взята обычная колода игральных карт состоящая из 52 карт, среди которых имеются четыре туза. Эта колода тщательно тасовалась, после чего открывались верхние карты одна за другой до появления первого туза. Далее подсчитывался номер карты, которая оказалась первым тузом. Этот процесс повторялся 100 раз.

В столбцах таблицы 1 были выписаны по порядку соответствующие результаты, полученные при 100-кратном выполнении эксперимента.

Таблица 1

Результат эксперимента, номер карты оказавшейся первым тузом

Номер тасовки	Первые 20 тасовок, номер туза	Вторые 20 тасовок, номер туза	Третьи 20 тасовок, номер туза	Четвертые 20 тасовок, номер туза	Пятые 20 тасовок, номер туза
Всего
Среднее	12,15	11,20	11,25	6,45	10,45

Как видно из таблицы 1, 100 тасовок проведенных в эксперименте были поделены на 5 частей (по 20 тасовок), затем в каждой двадцатки тасовок значения номеров карт сложили и поделили на 20, получилось 5 средних значений номеров карт. Как можно заметить из таблицы 1, средние значения номеров карт получились весьма близкие друг другу, из 5 полученных значений только у одного значения (четвертая двадцатка тасовок) отклонение довольно большое.

Можно заметить, что номера карт, оказавшихся первым тузом, меняются весьма значительно: от 1 до 33. Они бы могли меняться больше – от 1 до 49, поскольку все четыре туза могли оказаться внизу колоды. Более того, как можно заметить из таблицы 1, в изменениях номеров не видно никакого ритма, свидетельствующего о причинном характере наблюдаемых изменений.

На основе данных таблицы 1 были произведены расчеты количества повторений номеров карт, то есть было посчитано сколько раз первый туз появился на первом, втором и так до 52 номере карт. Другими словами были рассчитаны частоты которые должны показать на каком номере чаще встретился туз (из 100 раз). Эти частоты изображены на таблице 2, в столбце «Экспериментальная частота» каждому номеру сопоставлено количество случаев когда на этом номере встретился первый туз. Например, в таблице 2 номер 1 встречается 7 раз.

Таблица 2

Экспериментальные и теоритические частоты

№	Экспериментальная частота	№	Экспериментальная частота
		40-49

Из таблицы 2 видно, как расположились экспериментальные частоты. Таблица была поделена на 2 части не случайно, как можно заметить частоты появления туза в первых 20 номерах карт явно больше, если же посмотреть на оставшиеся 29 номера карт, видно, что случай появления первого туза был только в четырех номерах карт, а их частоты не превышают 2. Так же важно заметить, что в первых 20 номерах видна тенденция уменьшения частоты при увеличении порядкового номера карты. На рисунке 1 изображен график на основанный на данных о экспериментальных частотах из таблицы 2.

Рисунок 1. График экспериментальной частоты появления первого туза на определенном порядковом номере

На рисунке 1 виден явно выраженный факт, что частота появления первого туза с 1 по 20 номера карт на много больше, чем на с 21 по 49 номера.

1.2 Вычисление вероятности появления первого туза

Проведя эксперимент было выяснено чему равны экспериментальные частоты при 100 тасовок, а так же была замечена закономерность, первый туз встречался чаще с 1 по 20 номер карт, с 21 номера встретить туз было редкостью. Проведя расчет вероятностей, станет ясно, как в теории должно выглядеть распределение частот.

Рассчитать вероятность появления первого туза на первом номере карты из колоды в 52 карты не сложно, всего в колоде 52 карты, из них 4 туза и того получается, что вероятность произойти события вытащить туз из колоды в 52 карты равна:

.

Уже со второго номера считать вероятность нужно по другому. При расчете остальных (со второго номера) вероятностей нужно учитывать те события которые автоматически происходят при открытии карт по одной. Событий может быть два. Первое событие когда открытая карта оказалась тузом , и второе событие когда карта оказалась другой отличной от туза .

Если вероятность события при первом открытии равно , то вероятность события равно:

.

это логично и вероятность второго события можно было предсказать не считая, поделив количество карт отличных от туза (48) на количество карт в колоде (52). Так как при расчете вероятности события для первого открытия карты событие никак не влияло, то в следующих случаях открытиях карт событие происходит, а это значит что его нужно учитывать. Например нужно рассчитать вероятность появления первого туза со второго открытия карты, первая карта была открыта, и она является не тузом, событие произошло, вероятность этого события на тот момент было равно , так как событие со второго открытия карты может наступить только тогда, когда наступило событие (первая карта не туз), то при расчете вероятности события нужно учитывать вероятность события , то есть равна:

,

где 52 – карт на момент события , 51 – карт на момент события , 48 – количество не тузов, 4 – тузов.

Еще один пример расчета, если нужно рассчитать вероятность появления туза на 5 открытой карте, то нужно учитывать вероятности событий четырех ( ) карт отличных от туза которые были бы якобы открытыми, поэтому вероятность события считается так:

,

.

Можно заметить, что вычисления достаточно громоздкие, поэтому автоматизировав процесс с помощью Microsoft Excel можно вычислить вероятности появления первого туза на всех номерах карт, следует учесть тот факт, что расчет нужно проводить до 49 номера, это делать нужно потому что если первый туз не появился в плоть до 48 номера, то все четыре туза оказались на дне колоды.

Таблица 3

Вероятности появления первого туза на определенном порядковом номере

Номер карты	Вероятность	Номер карты	Вероятность
	0,076923		0,009261
	0,071006		0,008181
	0,066720		0,007189
	0,062610		0,006280
	0,058672		0,005451
	0,054903		0,004699
	0,051300		0,004020
	0,047857		0,003409
	0,044572		0,002863
	0,041441		0,002380
	0,038460		0,001954
	0,035626		0,001582
	0,032934		0,001261
	0,030382		0,000986
	0,027965		0,000755
	0,025680		0,000563
	0,023522		0,000406
	0,021490		0,000282
	0,019577		0,000186
	0,017782		0,000115
	0,016100		0,000065
	0,014528		0,000032
	0,013062		0,000012
	0,011697		0,000003
	0,010432

На основе полученных значениях вероятности появления первого туза мы можем посчитать теоретическую частоту появления первого туза на определенном порядковом номере. Так как в эксперименте карты были тасованы 100 раз, то и вероятности следует умножить на 100. Таким образом можно будет сравнить теоретические частоты с экспериментальными. На таблице 4 изображены посчитанные теоретические и экспериментальные частоты.

Таблица 4

Экспериментальные и теоритические частоты

№	Эксперимент. Частота	Теоретическая частота	№	Эксперимент. Частота	Теоретическая частота
		7,7			1,6
		7,1			1,5
		6,7			1,3
		6,3			1,2
		5,9			1,0
		5,5			0,9
		5,1			0,8
		4,8			0,7
		4,5			0,6
		4,1			0,5
		3,8			0,5
		3,6			0,4
		3,3			0,3
		3,0			0,3
		2,8			0,2
		2,6			0,2
		2,4			0,2
		2,1			0,1
		2,0			0,1
		1,8	40-49		0,24

В следствии эксперимента было выявлено, что теоретические частоты точно не совпадают с наблюдаемыми в опыте, но в их поведении обнаруживается одна и та же тенденция: и те, и другие частоты убывают при возрастании номеров. Этому свидетельствует рисунка 2 и рисунок 3.

Рисунок 2. График теоретической частоты появления первого туза

Рисунок 3. График экспериментальной частоты появления первого туза на определенном порядковом номере

Наблюдавшиеся на рисунке 4 расхождения между теоретическими и экспериментальными частотами – обычное явление. Существуют два источника такого рода расхождений – колебания в выборке и несоответствие теоретико-вероятностной модели реальной ситуации эксперимента. То есть при проведении эксперимента можно тщательно производить подсчет карт, но значительно труднее обеспечить тщательность их тасовки.

1.3 Критерий согласия

– распределение используется для проверки согласованности набора данных с фиксированным распределением вероятностей. В критерии согласия частоты, принадлежащие определенной категории, сравниваются с частотами, которые являются теоретически ожидаемыми, если бы данные действительно имели указанное распределение.

Проверка с помощью критерия согласия выполняется в несколько этапов. Во-первых, определяется конкретное распределение вероятностей, которое сравнивается с исходными данными. Во-вторых, выдвигается гипотеза о параметрах выбранного распределения вероятностей (например, о ее математическом ожидании) или проводится их оценка. В-третьих, на основе теоретического распределения определяется теоретическая вероятность, соответствующая каждой категории. В заключение, для проверки согласованности данных и распределения применяется тестовая статистика.

Формула расчета :

,

где – наблюдаемая частота,

– теоретическая, или ожидаемая частота,

k – количество категорий.

1.4 Использование критерия согласия экспериментальных и теоретических частот

В следствии эксперимента (100 тасовок) были выяснены экспериментальные частоты появления первого туза при последовательном открытии карт, это было показано ранее в таблице 2, которая содержала значения частот появления первого туза на различных номерах карт.

Изобразив теоретические и экспериментальные частоты на одном графике, так как это изображено на рисунке 4, можно наглядно оценить то, что при росте номеров карт частоты убывают одинаково.

Рисунок 4. График экспериментальной и теоретической частоты появления первого туза на определенном порядковом номере

Чтобы проверить ведут ли себя экспериментальные частоты так же как и высчитанные теоретически нужно выдвинуть две гипотезы:

Нуль-гипотеза заключается в том, что распределение экспериментальных частот подчиняется распределению теоретических частот, следовательно первый туз появляется чаще в начале колоды.

Альтернативная-гипотеза заключается в том, что распределение экспериментальных частот не подчиняется распределению теоретических частот, следовательно не известно где чаще появляется туз.

Пусть уровень значимости α = 0.05. Это означает, что результат будет верен с вероятностью 95%.

Составив таблицу содержащую экспериментальные и теоретические частоты, а так же посчитанные значения по формуле, получим таблицу 5:

Таблица 5

Экспериментальные и теоритические частоты, а так же на основании частот найденная сумма

№				№
		7,7	0,062308			1,6	1,610043
		7,1	1,353925			1,5	0,206093
		6,7	1,660022			1,3	1,306170
		6,3	0,253971			1,2	1,169748
		5,9	0,003004			1,0	0,877620
		5,5	1,129590			0,9	0,926085
		5,1	0,003292			0,8	0,818105
		4,8	0,009596			0,7	2,283176
		4,5	0,046898			0,6	0,628003
		4,1	0,005010			0,5	0,545141
		3,8	0,006166			0,5	0,469914
		3,6	0,053710			0,4	0,401951
		3,3	4,171589			0,3	1,274436
		3,0	5,166277			0,3	0,286342
		2,8	3,669808			0,2	0,237958
		2,6	0,798589			0,2	0,195360
		2,4	0,178379			0,2	0,158181
		2,1	0,614303			0,1	0,126050
		2,0	0,468539			0,1	0,098599
		1,8	0,839439			0,08	0,075459
	Сумма, :	34,188849

Нуль-гипотеза отвергается в случае если меньше критического значения (где k=49, α = 0,05), и считается достоверной при больше критического значения (где k=49, α = 0,05).

Из таблицы 5 видно, что сумма = 34,188849. А критическое значение при k=49 и степенью значимости α = 0,05 как показано на таблице 6 равно 66,33865.

Таблица 6

Фрагмент таблицы критических точек распределения Пирсона

k /α	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,99
	6,6349	5,02389	3,84146	0,00393	0,00098	0,00016
	9,21034	7,37776	5,99146	0,10259	0,05064	0,0201
	11,34487	9,3484	7,81473	0,35185	0,2158	0,11483
	13,2767	11,14329	9,48773	0,71072	0,48442	0,29711
	15,08627	12,8325	11,0705	1,14548	0,83121	0,5543
	16,81189	14,44938	12,59159	1,63538	1,23734	0,87209
	18,47531	16,01276	14,06714	2,16735	1,68987	1,23904
	20,09024	17,53455	15,50731	2,73264	2,17973	1,6465
	21,66599	19,02277	16,91898	3,32511	2,70039	2,0879
	23,20925	20,48318	18,30704	3,9403	3,24697	2,55821
	69,95683	65,41016	61,65623	30,61226	28,36615	25,90127
	71,2014	66,61653	62,82962	31,439	29,16005	26,65724
	72,44331	67,82065	64,00111	32,26762	29,9562	27,41585
	73,68264	69,02259	65,17077	33,09808	30,75451	28,17701
	74,91947	70,22241	66,33865	33,93031	31,55492	28,94065
	76,15389	71,4202	67,50481	34,76425	32,35736	29,70668

Так как найденное значение = 34,188849 < 66,33865, нуль-гипотеза считается достоверной с заданной значимостью α = 0,05 . То есть можно считать, что распределение экспериментальных частот подчиняется распределению теоретических частот, следовательно первый туз появляется чаще в начале колоды.