Укрупнение интервалов
В основу этого метода положено определение по эмпирическим данным теоретических уровней, в которых случайные колебания погашаются, а основная линия развития выражается в виде плавной кривой. По новому графику можно определить куда идёт развитие.
| t | Y | |
| 223,3 | ||
| 186,7 | ||
| 176,7 | ||
Применение в тренд-анализе рядов динамики метода укрупнения интервалов и метода сглаживания скользящей кривой позволяет выявить тренд для его описания (развития), но не измерение тренда. Измерение тренда можно получить методом аналитического выравнивания, когда основная тенденция развития уt рассматривается как функция времени у = f(t). Определение выровненной функции развития 
происходит на основе адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию развития. Подбор адекватных функций осуществляется методом наименьших квадратов. Рассматривается минимум суммы квадратов отклонений, и выравнивание происходит на основе нахождения теоретических кривых (в уравнениях которых появляется новый фактор – время):
Статистические показатели динамики социально-экономических явлений.
В зависимости от применяемого способа (одного из трёх), сопоставления показателей временных рядов вычисляются на постоянной и переменной базах сравнения.
1)для расчёта показателей динамики на постоянно базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. Такое исчисление называется базисным.
2)для расчёта показателей динамики на переменной базе каждый уровень последующих показателей сравнивается с предыдущим. Такое исчисление показателей называется цепным.
Уровень ряда– это количественная оценка развития во времени (например, себестоимость, затраты).
Важнейшими показателями тренд-анализа являются:
1) абсолютный прирост, величина которого может быть положительной и отрицательной.
Dyб = уi – у0i,
Dyц = уi – уi–1, где
уi – сравниваемый уровень ряда,
у0i – постоянная база сравнения,
уi–1 – предшествующий уровень.
2) темп роста базисный и цепной и относительные приросты (всегда положительные) выражают отношения двух уровней роста. Выражаются в коэффициенте или в %.
а) базисный темп роста:
б) цепной темп роста
в) темпы прироста – это понятие среднего темпа роста.
где под корнем находится произведение базисных темпов роста.
где под корнем находится произведение цепных темпов роста.
3) прирост цепной
Прирост базисный
Выбор масштаба времени:
Система уравнений упрощается, если значения временных периодов подобрать так, чтобы их сумма равнялась нулю.
Если число, периодов чётное, то столбец t делится
, если число параметров чётное.
Если нечётное –
, если число параметров нечётное.
Линейное уравнение имеет следующий вид:
.
Параметры а и b находятся по формулам:
; 
.
Вывод.
Случайный процесс характеризуется последовательностью наблюдений i-го показателя х1, х2 … хn во времени t. Временной ряд – это последовательность наблюдений случайного процесса в равноотстоящие моменты времени – динамический ряд. Любой уровень можно представить как функцию y = f(t) + e или x = f(t) + e. Где е – случайная компонента функции f(t). Она выражает влияние .постоянно действующих известных факторов (Т,С,S,I) и называется трендом. Тренд – это тенденция изменения изучаемого i-го показателя во времени. Зависимость y(t) выявляет экстрополирование тенденции исследуемого процесса, т.е. подбором теоретических кривых, адекватных изучаемому процессу. С целью вначале выбирают тип кривой, максимально соответствующей характеру тенденции временного ряда и определяют числовые значения параметров a, b, c и т.д. Теоретическими кривыми могут быть:
1) Линейная функция 
,
2) Гиперболическая функция 
,
3) Параболическая функция 
,
4) Степенная функция 
.
Запас кривых, которые нам предлагает математический анализ, разнообразен. Чтобы узнать оптимальна ли модель, вычисляем коэффициент аппроксимации
Если МАРЕ < 33%, модель оптимальна. При сравнивании нескольких моделей принимаем ту, где величина МАРЕ минимальна.
Приложение 1
Перед нами неупорядоченный ряд распределения:
52,8 51 50 51,5 53,1 51 49,5 54,5
50,5 49,5 49,3 49,5 50 52 51 51,1
49,5 50 49,7 53,7 52 50,2 50,1 50,5
50,5 50,2 49,5 51,9 51 49,5 51,1 52,5
51 51 52 51,2 49,8 50,4 48,7 51,6
Требуется найти: D, d, Мо, Ме, As, Е, m, h, n, R, S.
Для решения этой задачи создаём ранжированный ряд распределения:
| xi | f |
| 48,7 49,3 49,5 | |
| 49,7 49,8 51,1 50,2 50,4 50,5 | |
| 51,1 51,2 51,5 51,6 | |
| 51,9 52,5 | |
| 52,8 53,1 | |
| 53,7 54,5 | |
Размах R равен: 
Шаг h равен: 
| х | f | F | xi | xif | x | xкрf | xкв | xкf | xсер кв | xсер квf | x – xср |  |  | 14f |
| 48,7–49,7 | 49,2 | 393,6 | 1,7 | 13,6 | 2,89 | 23,1 | 2420,6 | 19364,8 | 4,913 | 39,304 | 8,3521 | 66,8 | ||
| 49,7–50,7 | 50,2 | 602,4 | 0,7 | 8,4 | 0,49 | 5,88 | 2520,04 | 30240,5 | 0,343 | 4,116 | 0,24 | 2,88 | ||
| 50,7–51,7 | 51,2 | 563,2 | 0,3 | 3,3 | 0,09 | 0,99 | 2621,44 | 28835,4 | 0,027 | 0,297 | 0,0081 | 0,0891 | ||
| 51,7–52,7 | 52,2 | 1,3 | 6,5 | 1,69 | 8,45 | 2724,8 | 2,197 | 10,985 | 2,8561 | 14,281 | ||||
| 52,7–53,7 | 53,2 | 106,4 | 2,3 | 4,6 | 5,29 | 10,6 | 2830,2 | 5660,4 | 12,17 | 24,334 | 27,98 | 55,96 | ||
| 53,7–54,7 | 54,2 | 108,4 | 3,3 | 6,6 | 10,9 | 21,8 | 2937,6 | 5875,2 | 35,94 | 71,874 | 118,59 | 237,2 | ||
| 70,8 | 150,9 | 377,2 |
Проверка: s= 1,25D.
1,25 · 1,1 = 1,375.
Проверка существенности асимметрии:
Асимметрия несущестаенна, т.к, sAs < 3. Отклонение от нормальной формы распределения незначительно.
Проверка существенности эксцесса:
Эксцесс несущественен, т.к. sе < 3. Отклонение островершинности близко к нормальному.
Перед нами неупорядоченный ряд распределения:
1,5 1,4 2,5 2,6 2
2 2 2 2,7 1,3
1,1 1,3 1,2 2 2,8
3 0,9 1,3 1,7 2
1,8 2 2 1,5 2,9
1,7 1,6 1,4 1,2 1,4
Требуется найти: D, d, Мо, Ме, As, Е, m, h, n, R, S.
Для решения этой задачи создаём ранжированный ряд распределения:
| x | f |
| 0,9 1,1 1,2 | |
| 1,3 1,4 1,5 1,6 | |
| 1,7 1,8 | |
| 2,5 2,6 | |
| 2,7 2,8 2,9 | |
Размах R равен: 
Шаг h равен: 
| х | f | F | xсер. | xf | xкр | xкрf | xкв | xкf | xсер кв | xсер квf | x – xср | 12 в куб | 12 в чет | 14f |
| 0,9–1,26 | 1,08 | 4,32 | 0,82 | 3,28 | 0,67 | 2,68 | 1,17 | 4,67 | 0,55 | 2,204 | 0,45 | 1,7956 | ||
| 1,26–1,62 | 1,44 | 12,96 | 0,46 | 4,14 | 0,21 | 1,89 | 2,07 | 18,66 | 0,097 | 0,873 | 0,44 | 0,3969 | ||
| 1,62–1,98 | 1,8 | 5,4 | 0,1 | 0,3 | 0,01 | 0,03 | 3,24 | 9,72 | 0,001 | 0,003 | 0,0001 | 0,0003 | ||
| 1,98–2,34 | 2,16 | 17,28 | 0,26 | 2,08 | 0,07 | 0,56 | 4,67 | 37,32 | 0,018 | 0,144 | 0,0049 | 0,0392 | ||
| 2,34–2,7 | 2,52 | 5,04 | 0,62 | 1,24 | 0,38 | 0,76 | 6,35 | 12,7 | 0,238 | 0,476 | 0,1444 | 0,2888 | ||
| 2,7–3,06 | 2,88 | 11,52 | 0,98 | 3,92 | 0,96 | 3,84 | 8,29 | 33,18 | 0,941 | 3,764 | 0,9216 | 3,6864 | ||
| 56,5 | 9,76 | 116,25 | 7,464 | 6,207 |
Проверка существенности асимметрии:
Асимметрия несущественна, т.к. sAs < 3. Отклонение от нормальной формы распределения незначительно.
Проверка существенности эксцесса:
Эксцесс несущественен, т.к. sЕ < 3. Отклонение островершинности близко к нормальному.
Приложение 2
Индексный анализ
Часть I
Индивидуальные индексы для реализации продукции
1. Индекс изменения физического объёма
– бурение, м
– проходка шурфов, м3
– геолого-съёмочные работы, км2
2. Индекс цен
– бурение, м
– проходка шурфов, м3
– геолого-съёмочные работы, км2
3. Индекс стоимости
– бурение, м
– проходка шурфов, м3
– геолого-съёмочные работы, км2
4. Индекс изменения объёма затрат
Затраты. Рабочая сила
– рабочие
– специалисты и руководители
– служащие
Затраты. Материалы
– бурильные трубы
– топливо, м3
– глинистый раствор, м3
Затраты. Энергия
– электричество
Затраты. Амортизация
– машины, оборудование
– здания, сооружения
– транспортные средства
5. Индекс стоимости данной продукции
Затраты. Рабочая сила
– рабочие
– специалисты и руководители
– служащие
Затраты. Материалы
– бурильные трубы
– топливо, м3
– глинистый раствор, м3
Затраты. Энергия
– электричество
Затраты. Амортизация
– машины, оборудование
– здания, сооружения
– транспортные средства
6. Индекс издержек производства
Затраты. Рабочая сила
– рабочие
– специалисты и руководители
– служащие
Затраты. Материалы
– бурильные трубы
– топливо, м3
– глинистый раствор, м3
Затраты. Энергия
– электричество
220000 к
Затраты. Амортизация
– машины, оборудование
– здания, сооружения
– транспортные средства
Выводы: физический объем бурения вырос на 16,89%; физический объем проходки шурфов вырос на 5%; физический объем геолого-съемочных работ вырос на 38,33%. Цена на бурение выросла на 2,7%; цена на проходку шурфов выросла на 19,4%; цена на геолого-съемочные работы выросла на 19,3%. Стоимость на бурение выросла на 12%; стоимость проходки шурфов выросла на 5,97%; стоимость геолого-съемочных работ повысилась на 45,72%.
Графики
Часть II
Анализ выпуска продукции
1. Общий индекс стоимости продукции
2. Индекс цен
3. Общий индекс физического объёма
Проверка
Ipq = Iр* Iq = 1,09 * 5,631=6,138.
4. Общие изменения стоимости продукции
DPQ = Sp1q1 – Sp0q0 =13432000 – 2189000 = 11243000.
5. Общие изменения стоимости продукции за счёт изменения цен
DPQ = Sp1q1 – Sp0q1 = 13432000 – 12325600 =1106400.
6. Общие изменения стоимости продукции за счёт изменения физического объёма
DQp = Sp0q1 – Sp0q0 = 12325600 – 2189000 = 10136600.
Проверка
DPQ = DPQ + DQp = 1106400 + 10136600 = 11243000.
Выводы: Общая стоимость продукции поэысилась на 61,36%; общая цена на товары повысилась на 9%; общий индекс физического объема продукции вырос на 56,31%.
Часть III
Анализ затрат
1. Стоимостной индекс затрат
2. Себестоимость единицы затрат
3. Индекс физического объёма затрат
Проверка
4. Общие изменения издержек
DCZ = Sc1z1 – Sc0z0 = 9973372 – 8398232 = 1575140.
5. Изменения затрат за счёт изменения себестоимости единицы продукции
DCx = Sc1z1 – Sc0z1 = 9973372 – 9192102 = 781270.
6. Изменения затрат за счёт изменения физического объёма.
DZc = Sc0z1 – Sc0z0 = 9192102 – 8398232 = 793870.
Проверка
DCZ = DCx + DZc = 781270 + 793870 = 1575140.
Выводы: стоимость затрат повысилась на 18,8%; себестоимость одной единицы затрат повысилась на 9,5%; физический объем затрат вырос на 9,5%.
Часть IV
Анализ цен
1. Индекс переменного состава (фиксирует изменения средней цены)
2. Индекс фиксированного состава (фиксирует изменения средней цены за счёт общего роста цен)
3. Индекс структурных сдвигов
Выводы: средняя цена выросла за счет изменения средней цены на 8,95%; средняя цена выросла за счет изменения общего роста цен на 9%.
Часть V
Анализ производительности (эффективности)
1. Общий индекс производительности
2. Индекс ценового опережения
3. Индекс производительности в физическом выражении
Выводы: общая производительность выросла на 51,65%; опережение результатов над затратами, связанные с ростом цен выросли на 0,5%; производительность в физическом обьеме выросла на 51,43%.
Часть VI
Анализ прибыли
1. Общий индекс
2. Индекс роста прибыли за счёт роста объёма продукции
3. Индекс роста прибыли за счёт изменения роста цен
Выводы: общей прибыли нет, так как индекс общей прибыли отрицательный; роста цен за счет роста объема тоже нет, так как индекс отрицательный; рост прибыли за счет роста цен повысился на 10 4%.
Часть VII
Анализ дополнительной прибыли
1. Общая экономия с учётом роста объёма производства и снижения цен на издержки производства
DR = Sc0z0 * Ipq – Sc1z1 = 8398232 * 6,136 – 9973372 = 41558179,55
2. Эффективность (неэффективность) использования той или иной статьи затрат
DE = Sc0z0 * Iq – Sc1z1 = 8398232 * 5,631 – 9973372 = 37317072,39.
3. Соотношение цен на материалы и продукцию
DREC = DR – DE = 41558179,55 – 37317072,39 = 4241107,16.
Выводы: общая экономия с учетом роста объема производства и снижения цен на издержки производства равна 41558179,55; эффективность использлования статей затрат равна 373117072,39; соотношение цен на материалы и продукцию равно 4241107,16.