Модель Кронига-Пенни (1930)

Связана с решением уравнения Шрёдингера для электрона в периодически меняющемся потенциале решётки.

Ограничимся одномерной моделью.

Ширина барьера -

Высота барьера – V₀

Уравнение Шрёдингера: (3)

Не зависящее от времени

Решают для областей и , а затем ???? решения на границе. Решение довольно сложно и громоздко, поэтому здесь я лишь скажу, что волновую функцию можно искать в виде плоской волны

(4) , где U_k(x) - периодическая функция, период которой совпадает с периодом кристаллической решётки, тогда показать, что решение существует при условии, что E и k связаны следующим соотношением:

(5)

где физический смысл P:

(6) 1/P-характеризует прозрачность барьера (потенциального)

(7)

Т.к. левая часть уравнения (5) меняется от +1 до -1, то решение справедливо лишь при таких значениях Е, для которых правая часть этого уравнения тоже лежит в этих пределах. Построим эти кривые графически:

Вывод 1: Поскольку и Е связаны между собой, это означает, что электрон может обладать лишь той энергией, значение которой принадлежит определённым зонам (заштрихованным) и не может иметь значения энергии вне этих зон. Иными словами существуют разрешённые и запрещённые зоны. ЭТО - основной вывод, но из уравнения (5) следуют ещё выводы:

Вывод 2: Если Р , т.е. произведение - большое. [Физически – очень большие барьеры, т. е. атом локализуется вблизи атома, который является свободным (не взаимодействуют с другими атомами)]. – Из уравнения (5) =>

;

сравни с потенциальной ямой.

Т.е. в этом случае все электроны независимы друг от друга; каждый электрон привязан к своему атому и окружён бесконечным потенциальным барьером.

Вывод 3: Р : из (2.1) , т.е. электрон полностью свободен.

Вывод 4: На границах разрешённой зоны cos(ka)=+,-1, т.е. , n=1,2,3

§2.3 Зоны Брюллеэна.

Для лучшего понимания изобразим решение в виде графика зависимости Е от k:

Т.е. точки с координатами являются точками скачкообразного изменения энергии. Промежуток значений k между [ и ]называется Зоной Брюллеэна.

Области значений k, внутри которых энергия электронов изменяется непрерывно, а на границах претерпевает разрыв, называютзоной Брюллиэна.

I зона:

II зона: и и.т.д.

Обычно рассматривают приведённую зону Брюллеэна, т.к. в кристалле существует периодичность и поэтому ( n=0, …)

Легко видеть, что первая зона Брюллеэна равна элементарной ячейке в обратной решётке . По определению в обратной решётке :

, где i, j, k=1, 2, 3.

Для описания плоскостей и направлений в зоне Брюллеэна используют индексы Миллера.

В трёхмерном пространстве зону Брюллеэна определяют следующим образом. Через узлы обратной решётки проводят линии. Через середины таких отрезков проводят плоскости. Объёмная фигура, ограниченная такими плоскостями – есть зона Брюллеэна.

Таким образом, элементарная ячейка в обратном пространстве (в пространстве импульсов, К - пространстве) ограничивает (определяет) состояние электронов с непрерывным изменением энергетического спектра. На границах зоны Брюллеэна энергия электрона изменяется скачками.

Внутри зоны Брюллеэна (около ) энергия электрона равна:

Снаружи:

Энергия электрона не может принимать промежуточные значения, т.е. существует запрещённая зона. Поскольку величина вектора зависит от направления в кристаллической. решетке, поэтому вид энергетических зависимостей зависит от направления! Откуда следует, что структура энергетических зон в кристалле является достаточно сложной.

ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА.

ЗОННАЯ СТРУКТУРА НЕКОТОРЫХ ПРОВОДНИКОВ.

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1)Ширина запрещенной зоны.

2)Радиус запрещенной зоны.

3)Несимметричность зоны в различных направлениях => зависимость подвижности от направления в кристаллической решетке.