Свойства обратной матрицы

1. Определитель обратной матрицы A^-1 равен обратной величине определителя матицы A: det(A^-1) = 1/detA

2. Обратная матрица произведения двух матриц равна произведению их обратных матриц: (A×B)^-1 = B^-1×A^-1

3. При перестановке операций транспонирования и нахождения обратной матрицы результат не изменяется: (A^-1)^T = (A^T)^-1.

Буква T означает операция транспонирования – операция замены строк столбцами и наоборот. В частности, при транспонировании вектор-столбец превращается в вектор-строку.

§1.5. Векторы

Понятие вектора

Отрезок на прямой определяется двумя равноправными точками – его концами. Различают также направленный отрезок, т.е. отрезок, относительно концов которого известно какой из них первый (начало), а какой – второй (конец).

Определение: Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек) называется вектором.

Вектор обычно обозначается символом , где А – начало, а В – конец направленного отрезка, либо одной буквой (в некоторых учебниках буква выделяется полужирным шрифтом; при этом стрелка опускается a). На чертеже вектор изображается стрелкой. Начало вектора называют точкой его приложения.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля. Так и обозначают длины соответствующих векторов.

Вектор единичной длины называют ортом.

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Считается, что нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину равную нулю. Это позволяет обозначать нулевой вектор вещественным числом 0 (нуль).

Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Среди коллениарных векторов различают одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы.

Векторы называются компланарными, если они лежат, либо на одной плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.

Определение: Два вектора называются равными, если они: 1) коллинеарны; 2) равны по длине; 3) одинаково направлены.

Следствие: Для любого вектора и для любой точки А, существует, и притом единственная, точка B такая, что .

Мы не будем различать двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. Такие векторы называются свободными (в отличие от скользящих и связанных векторов, встречающихся в других науках).

Понятие равенства векторов обладает следующими свойствами:

1. (рефлексивность).

2. Из того, что , следует (симметричность).

3. Из того, что и , следует (транзитивность).

Операции над векторами

Определение: Суммой двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора , а конец – в конце вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .

В соответствии с определением слагаемые и и их сумма образуют треугольник (рис.3). Поэтому данное правило сложения двух векторов называют «правилом треугольника».

Операция сложения векторов обладает свойствами:

1. (коммутативность);

2. , (ассоциативность);

3. для любого вектора (особая роль нулевого вектора);

4. для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что (для получения достаточно поменять местами начало и конец вектора ).

Вектор противоположный вектору обозначают .

Определение: Разностью векторов и называется сумма вектора и вектора противоположного вектору , т.е. .

Разность получается из вектора сдвигом его начала в конец вектора , при условии, что векторы и имеют общее начало (рис.3). Очевидно, что для любого вектора .

Замечание: Существует еще одно правило сложения векторов, называемое «правилом параллелограмма»: векторы и прикладываются к общему началу О, и на них строится параллелограмм. Суммой будет вектор , расположенный на диагонали параллелограмма. Разностью здесь будет вектор , расположенный на второй диагонали.

Векторная алгебра имеет дело с двумя типами величин: векторами и числами. Числа обычно называют скалярными величинами или скалярами.

Определение: Произведением вектора на вещественное число λ (скаляр) называется вектор , такой, что 1) ; 2) вектор коллинеарен вектору ; 3) векторы и имеют одинаковое (противоположное) направление, если λ > 0 (λ < 0).

Замечание: В случае, когда λ = 0 или произведение является нулевым вектором.

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативное свойство сомножителей);

Действительно, заметим, что векторы, стоящие обеих частях равенства, имеют одну и ту же длину . Кроме того, они коллинеарны и одинаково направлены, так как их направление совпадает с направлением , если λ и μ одного знака, и противоположно направлению , если λ и μ имеют разные знаки. Если же λ или μ равны нулю, то обе части равенства равны нулю. Свойство доказано.

2. (свойства дистрибутивности).

Построим треугольник OAB где и . Построим далее треугольник SPQ, где и . Так как стороны SP, PQ треугольника SPQ параллельны и пропорциональны сторонам OA, AB треугольника OAB, то эти треугольники подобны. Поэтому сторона SQ также параллельна стороне OB и отношение их длин также равно |λ|. Ясно, далее, что и одинаково направлены, если λ > 0. Отсюда следует, что . Но и , а отсюда вытекает первое свойство дистрибутивности.

Очевидно, что векторы стоящие в обеих частях второго свойства дистрибутивности коллинеарны. Допустим сначала, что знаки λ и μ одинаковы. Тогда векторы и направлены одинаково и длина их суммы равна сумме их длин, т. е. . Но и следовательно, в этом случае векторы и равны по длине. Направление их совпадает с направлением вектора , если общий знак λ и μ положителен, и противоположно ему, если отрицателен. Допустим теперь, что знаки λ и μ различны, и для определенности будем считать |λ| > |μ|. В этом случае длина суммы равна разности длин, точнее . Но . Следовательно, и в этом случае длина вектора равна длине вектора . Очевидно, что оба эти вектора направлены так же, как . Если же |λ| = |μ| и знаки λ и μ противоположны, то обе части равенства равны нулю. То же обстоятельство имеет место, если равен нулю вектор или оба скаляра одновременно.

Теорема: Если вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует вещественное число λ такое, что = λ .

Проекция вектора

Под углом между векторами понимается угол между векторами равными данным и имеющими общее начало. Если направление отсчета угла не указано, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит π. Если один из векторов нулевой то угол считается равным нулю. Если угол между векторами прямой то векторы называются ортогональными.

Определение: Ортогональной проекцией вектора на направление вектора называется скалярная величина , φ – угол между векторами.

Модуль этой скалярной величины равен длине отрезка OA₀.

Если угол φ острый проекция является положительной величиной, если угол φ тупой – проекция отрицательна, если угол φ прямой – проекция равна нулю.

При ортогональной проекции угол между отрезками OA₀ и AA₀ прямой. Существуют проекции, у которых этот угол отличен от прямого.

Проекции векторов обладают следующими свойствами:

1. (проекция суммы равна сумме проекций);

2. (проекция произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на число).

Базис называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны.

Ортогональный базис называется ортонормированным, если его векторы по длине равны единице. Для ортонормированного базиса в пространстве часто используют обозначения .

Теорема: В ортонормированном базисе координаты векторов есть соответствующие ортогональные проекции этого вектора на направления координатных векторов.

Пример: Пусть вектор единичной длины образует с вектором ортонормированного базиса на плоскости угол φ, тогда .

Пример: Пусть вектор единичной длины образует с векторами , и ортонормированного базиса в пространстве углы α, β, γ, соответственно (рис. 5), тогда . Причем . Величины cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора

Скалярное произведение
Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю.

Скалярное произведение векторов и обозначается через [или ; или ]. Если φ - угол между векторами и , то .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. (коммутативность).

2. (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).

3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них нулевой.

4. .

5. .

6. .