Закон сохранения импульса и механической энергии

Е_полн =Е_кин + U

Е_кин = mv²/2 + Jw²/2 – кинетическая энергия поступательного и вращательного движения,

U = mgh – потенциальная энергия тела массы m на высоте h над поверхностью Земли.

F_тр = кN – сила трения скольжения, N – сила нормального давления, к – коэффициент трения.

В случае нецентрального удара закон сохранения импульса

Sр_i= constзаписывается в проекциях на оси координат.

Закон сохранения момента импульса и закон динамики вращательного движения

SL_i= const– закон сохранения момента импульса,

L_ос = Jw - осевой момент импульса,

L_орб = [rp] –орбитальный момент импульса,

dL/dt=SM_внеш – закон динамики вращательного движения,

М= [rF] = rFsina – момент силы, F – сила, a - угол между радиусом – вектором и силой.

А = òМdj - работа при вращательном движении.

Раздел механика

Кинематика

Задача

Задача. Зависимость пройденного телом пути от времени даётся уравнением s = A–Bt+Ct². Найти скорость и ускорение тела в момент времени t.

Пример решения

v = ds/dt = -B + 2Ct , a = dv/dt =ds²/dt² = 2C.

Варианты

1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени дается

уравнением s = A + Bt + Ct² , где А = 3м, В = 2 м/с, С = 1 м/с² .

Найти скорость за третью секунду.

2.1. Зависимость пройденного телом пути от времени дается

уравнением s= A+Bt+Ct² +Dt³ , где С = 0,14м/с² и D = 0,01 v/c³.

Через сколько времени после начала движения ускорение тела

будет равно 1 м/с².

3.1.Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости

20 рад/c через N = 10 оборотов после начала движения. Найти

угловое ускорение колеса.

4.1.Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависимость угла

поворота радиуса колеса от времени дается уравнением

j =А +Bt +Ct³ , где В=2 рад/с и С = 1рад/с³ . Для точек, лежащих

на ободе колеса, найти через 2 с после начала движения:

1) угловую скорость, 2) линейную скорость, 3) угловое

ускорение, 4) тангенциальное ускорение.

5.1.Колесо радиусом 5 см вращается так, что зависимость угла

поворота радиуса колеса от времени дается уравнением

j =А +Bt +Ct² +Dt³ , где D = 1 рад/с³ . Найти для точек, лежащих

на ободе колеса изменение тангенциального ускорения за

каждую секунду движения.

6.1.Колесо радиусом 10 см вращается так, что зависимость

линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от

времени дается уравнением v = At +Bt² , где А = 3 см/с² и

В = 1 см/с³ . Найти угол, составляемый вектором полного

ускорения с радиусом колеса в момент времени t = 5с после

начала движения.

7.1.Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса

колеса от времени дается уравнением j =А +Bt +Ct² +Dt³ , где

В = 1 рад/с, С =1 рад/с² ,D = 1 рад/с³ . Найти радиус колеса,

если известно, что к концу второй секунды движения

нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса равно

а_n = 346 м/с² .

8.1.Радиус вектор материальной точки изменяется со временем по

закону R=t³ I + t² j. Определите для момента времени t = 1 с:

модуль скорости и модуль ускорения.

9.1.Радиус вектор материальной точки изменяется со временем по

закону R=4t² I + 3t j+2к. Запишите выражение для вектора

скорости и ускорения. Определите для момента времени t = 2 с

модуль скорости.

10.1.Точка движется в плоскости ху из положения с координатами

х₁ = у₁ = 0 со скоростью v= Ai+Bxj. Определить уравнение

траектории точки у(х) и форму траектории.

Момент инерции

Задача .Рассчитать момент инерции стержня длиной L и массой m, на конце которого расположена точечная масса 2m. Ось проходит на

расстоянии L/3 от начала стержня.

Пример решения.

.

о 2m

m - масса стержня J = J_ст + J_гр

L – длина стержня J_ст1 = mL²/12 – момент инерции стержня

2m – масса грузика относительно его центра. По теореме

Штайнера находим момент инерции

J = ? стержня относительно оси о, отстоящей от центра на расстояние а = L/2 – L/3 = L/6.

J_ст = mL²/12 + m(L/6)² = mL²/9.

Согласно принципу суперпозиции

J = mL²/9 + 2m(2L/3)² = mL² .

Варианты

1.2. Определить момент инерции стержня массой 2m относительно оси, отстоящей от начала стержня на расстояние L/4. На конце стержня сосредоточенная масса m.

2.2.Определить момент инерции стержня массой m относительно

оси, отстоящей от начала стержня на расстояние L/5. На конце

стержня сосредоточенная масса 2m.

3.2. Определить момент инерции стержня массой 2m относительно оси, отстоящей от начала стержня на расстояние L/6. На конце стержня сосредоточенная масса m.

4.2. Определить момент инерции стержня массой 3m относительно оси, отстоящей от начала стержня на расстояние L/8. На конце стержня сосредоточенная масса 2m.

5.2. Определить момент инерции стержня массой 2m относительно оси, проходящей через начало стержня. К концу и середине стержня прикреплены сосредоточенные массы m.

6.2. Определить момент инерции стержня массой 2m относительно оси, проходящей через начало стержня. К концу стержня прикреплена сосредоточенная масса 2m, а к середине прикреплена сосредоточенная масса 2m.

7.2. Определить момент инерции стержня массой m относительно оси, отстоящей от начала стержня на L/4. К концу и середине стержня прикреплены сосредоточенные массы m.

8.2. Найти момент инерции тонкого однородного кольца массы m и радиусом r относительно оси, лежащей в плоскости кольца и отстоящей от его центра на r/2.

9.2. Найти момент инерции тонкого однородного диска массы m и радиусом r относительно оси, лежащей в плоскости диска и отстоящей от его центра на r/2.

10.2. Найти момент инерции однородного шара массы m и радиусом

r относительно оси, отстоящей от его центра на r/2.