М о д е л и р о в а н и е в р е м е н н ы х р я д о в
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЗОННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Расчетные формулы
4.1.1.1. Модель с аддитивной сезонной составляющей
,
где 
– тренд; 
– сезонная составляющая; 
– случайная компонента.
4.1.1.2. Модель с мультипликативной сезонной составляющей:
.
4.1.1.3. Модель временного ряда с циклическими колебаниями периодичностью k:
,
где 
.
Решение типовых задач
Задание 4.2.2.1.Некий предприниматель, оптовый поставщик фруктов на рынки г. Воронежа, желает спланировать свою деятельность на 2004г. таким образом, чтобы получить максимум прибыли. Большую часть в общем объеме его продаж занимают груши. Данные по этому виду фруктов представлены в табл. 4.2.2.1. Для того чтобы получить прогнозные оценки объема продаж груш на требуемый период, ему посоветовали построить модель с аддитивной сезонной компонентой.
Решение с помощью Excel
1. Ввод исходных данных и оформление их в виде таблицы, удобной для расчета оценок сезонной компоненты.
Т а б л и ц а 4.2.2.1
| Год | Сезон | Объем продаж, т. | Год | Сезон | Объем продаж, т. |
| зима | зима | ||||
| весна | весна | ||||
| лето | лето | ||||
| осень | осень | ||||
| зима | зима | ||||
| весна | весна | ||||
| лето | лето | ||||
| осень | осень |
2. Расчет оценок сезонной компоненты для аддитивной модели.
2.1. Расчет скользящих средних с периодом усреднения, равным четырем.
2.2. Расчет центрированных скользящих средних, определяемых как полусумма двух соседних сглаженных наблюдений с целью приведения сглаженных значений в соответствии с фактическими моментами времени.
2.3. Вычисление сезонной компоненты в виде разницы фактических значений и центрированных скользящих средних.
2.4. Оформление результатов расчетов в виде табл. 4.2.2.2.
Т а б л и ц а 4.2.2.2
| Год | Сезон | Объем продаж | Скользящее среднее за 4 периода | Центрированное скользящее среднее | Оценка сезонной компоненты | |
| зима | - | - | - | |||
| весна | 12050,22 | - | - | |||
| лето | 12202,94 | 12126,58 | -538,48 | |||
| осень | 12261,76 | 12232,35 | 18713,00 | |||
| зима | 12599,16 | 12430,46 | -7983,58 | |||
| весна | 13585,73 | 13092,45 | -11025,72 | |||
| лето | 13725,87 | 13655,80 | -718,14 | |||
| осень | 13733,26 | 13729,57 | 21162,10 | |||
| зима | 14184,86 | 13959,06 | -8951,61 | |||
| весна | 15293,95 | 14739,40 | -12643,15 | |||
| лето | 15401,30 | 15347,62 | -603,56 | |||
| осень | 15466,75 | 15434,03 | 23894,00 | |||
| зима | 15941,81 | 15704,28 | -10267,41 | |||
| весна | 17205,05 | 16573,43 | -14215,40 | |||
| лето | - | - | - | |||
| осень | - | - | - |
3. Расчет средних значений сезонной компоненты аддитивной модели.
3.1. Формирование из оценок сезонной компоненты, полученных в предыдущем пункте, табл. 4.2.2.3, удобной для расчета средних значений этой же компоненты.
3.2. Расчет итоговых значений сезонной компоненты.
3.3. Определение средних значений итоговой компоненты.
Т а б л и ц а 4.2.2.3
| Показатели | Год | Сезон | |||
| Зима | Весна | Лето | Осень | ||
| - | - | -538,48 | 18713,00 | ||
| -7983,58 | -11025,72 | -718,14 | 21162,10 | ||
| -8951,61 | -12643,15 | -603,56 | 23894,00 | ||
| -10267,41 | -14215,40 | - | - | ||
| Итого за сезон | -27202,59 | -37884,28 | -1321,69 | 45056,09 | |
| Средняя оценка сезонной компоненты | -9067,53 | -12628,09 | -440,56 | 15018,70 | |
| Скорректированная сезонная компонента | -7288,16 | -10848,72 | 1338,81 | 16798,07 |
3.4. Определение корректирующего коэффициента
.
3.5. Расчет скорректированных значений сезонной компоненты путем вычитания корректирующего коэффициента из средних оценок сезонной компоненты (сумма скорректированных значений равна 0).
4. Вычисление основных составляющих сезонной модели ( 
).
4.1. Элиминирование влияния сезонной компоненты путем вычитания ее значения из каждого уровня исходного временного ряда.
4.2. Построение по данным элиминированного временного ряда трендовой модели с помощью МНК. Оформление результатов моделирования в виде табл. 4.2.2.4.
Т а б л и ц а 4.2.2.4
| Результаты моделирования | |
| Коэффициент регрессии | 554,41 |
| Стандартная ошибка | 209,77 |
| Множественный R | 0,58 |
| Константа | 9821,28 |
| Число наблюдений | |
| Число степеней свободы | |
| F - критерий | 6,99 |
4.3. Получение расчетных значений по трендовой модели.
4.4. Расчет значений уровня ряда по аддитивной модели.
4.5. Вычисление отклонений расчетных значений от фактических.
4.6. Оформление результатов расчетов в виде табл. 4.2.2.5.
Т а б л и ц а 4.2.2.5
| Год | Сезон |  |  |  |  |  |  |
| зима | 3835,98 | -7288,16 | 11124,14 | 10375,68 | 3087,53 | 748,46 | |
| весна | 1831,44 | -10848,72 | 12680,16 | 10930,09 | 81,37 | 1750,07 | |
| лето | 11588,10 | 1338,81 | 10249,29 | 11484,50 | 12823,31 | -1235,21 | |
| осень | 30945,35 | 16798,07 | 14147,28 | 12038,91 | 28836,98 | 2108,38 | |
| зима | 4446,88 | -7288,16 | 11735,04 | 12593,31 | 5305,15 | -858,27 | |
| весна | 2066,72 | -10848,72 | 12915,44 | 13147,72 | 2299,00 | -232,28 | |
| лето | 12937,67 | 1338,81 | 11598,86 | 13702,13 | 15040,94 | -2103,27 | |
| осень | 34891,66 | 16798,07 | 18093,59 | 14256,53 | 31054,60 | 3837,06 | |
| зима | 5007,45 | -7288,16 | 12295,60 | 14810,94 | 7522,78 | -2515,34 | |
| весна | 2096,25 | -10848,72 | 12944,97 | 15365,35 | 4516,63 | -2420,38 | |
| лето | 14744,07 | 1338,81 | 13405,26 | 15919,76 | 17258,57 | -2514,50 | |
| осень | 39328,02 | 16798,07 | 22529,95 | 16474,16 | 33272,23 | 6055,79 | |
| зима | 5436,87 | -7288,16 | 12725,03 | 17028,57 | 9740,41 | -4303,54 | |
| весна | 2358,03 | -10848,72 | 13206,75 | 17582,98 | 6734,26 | -4376,23 | |
| лето | 16644,32 | 1338,81 | 15305,51 | 18137,39 | 19476,19 | -2831,87 | |
| осень | 44380,99 | 16798,07 | 27582,92 | 18691,79 | 35489,86 | 8891,13 |
5. Построение с помощью «Мастера диаграмм» графика (рис. 4.2.2.1), отражающего динамику объема продаж груш на рынках г. Воронежа (фактических, рассчитанных по трендовой и аддитивной моделям).
6. Расчет прогнозных значений для каждого сезонного периода 2004г.
;
;
;
.
Р и с.4.2.2.1. Динамика фактического и расчетных объемов продаж груш, т.
Задание 4.2.2.2. Известно, что стоимость репетиторских услуг зависит от спроса на такие услуги, который распределен по периодам подготовки к вступительным экзаменам. Условно можно выделить четыре периода: 1) август –октябрь (низкая стоимость); 2) ноябрь – декабрь (средняя стоимость); 3) январь – март (стоимость выше средней); апрель – июль (высокая стоимость). Усредненные значения стоимости репетиторских услуг в г. Воронеже за четыре года с разбивкой по периодам приведены в табл. 4.2.2.6. Абитуриенты решили построить модель сезонных колебаний для расчета ожидаемой стоимости репетиторских услуг в 2004 г.
Таблица 4.2.2.6
| Год | Период | Цена занятие, руб. | Год | Период | Цена занятия, руб. |
Решение с помощью Excel
1. Ввод исходных данных и оформление их в виде таблицы, удобной для расчета оценок сезонной компоненты.
2. Построение графика временного ряда, характеризующего стоимость репетиторских услуг (см. рис. 4.2.2.2).
Р и с. 4.2.2.2. Динамика стоимости репетиторских услуг
Построенный график свидетельствует о наличии сезонных колебаний с периодом, равным четырем, с общей тенденцией роста стоимости репетиторских услуг и увеличением амплитуды колебаний. Поскольку амплитуда сезонных колебаний увеличивается, то целесообразно для данного ряда строить мультипликативную модель.
3. Расчет оценок сезонной компоненты для мультипликативной модели.
3.1. Расчет скользящих средних с периодом усреднения, равным четырем.
3.2. Расчет центрированных скользящих средних, определяемых как полусумма двух соседних сглаженных наблюдений с целью приведения сглаженных значений в соответствие с фактическими моментами времени.
3.3. Вычисление сезонной компоненты в виде частного от деления фактических уровней временного ряда на значения центрированных скользящих средних.
3.4. Оформление результатов расчетов в виде табл. 4.2.2.7.
4. Расчет средних значений сезонной компоненты мультипликативной модели.
4.1. Формирование из оценок сезонной компоненты, полученных в предыдущем пункте, табл. 4.2.2.8, удобной для расчета средних значений этой же компоненты.
4.2. Расчет итоговых значений сезонной компоненты.
4.3. Определение средних значений итоговой компоненты.
Т а б л и ц а 4.2.2.7
| Год | Период | Цена занятия, руб. | Скользящее среднее за 4 периода | Центрированное скользящее среднее | Оценка сезонной компоненты | |
| - | - | - | ||||
| 122,50 | - | - | ||||
| 133,75 | 128,13 | 1,09 | ||||
| 148,75 | 141,25 | 1,35 | ||||
| 160,00 | 154,38 | 0,71 | ||||
| 175,00 | 167,50 | 0,93 | ||||
| 183,75 | 179,38 | 1,03 | ||||
| 192,50 | 188,13 | 1,33 | ||||
| 208,75 | 200,63 | 0,72 | ||||
| 223,75 | 216,25 | 0,88 | ||||
| 231,25 | 227,50 | 1,10 | ||||
| 243,75 | 237,50 | 1,31 | ||||
| 258,75 | 251,25 | 0,70 | ||||
| 275,00 | 266,88 | 0,90 | ||||
| - | - | - | ||||
| - | - | - |
Т а б л и ц а 4.2.2.8
| Показатели | Год | Период | |||
| - | - | 1,09 | 1,35 | ||
| 0,71 | 0,93 | 1,03 | 1,33 | ||
| 0,72 | 0,88 | 1,10 | 1,31 | ||
| 0,70 | 0,90 | - | - | ||
| Итого за период | 2,13 | 2,70 | 3,22 | 3,98 | |
| Средняя оценка сезонной компоненты | 0,710 | 0,901 | 1,074 | 1,326 | |
| Скорректированная сезонная компонента | 0,708 | 0,898 | 1,070 | 1,322 |
4.4. Определение корректирующего коэффициента.
.
4.5. Расчет скорректированных значений сезонной компоненты путем умножения корректирующего коэффициента из средних оценок сезонной компоненты (сумма скорректированных значений равна четырем).
5. Вычисление основных составляющих сезонной модели ( ).
5.1. Элиминирование влияния сезонной компоненты путем деления каждого уровня исходного временного ряда на соответствующие значения сезонной составляющей.
5.2. Построение по данным элиминированного временного ряда трендовой модели с помощью МНК. Оформление результатов моделирования в виде табл. 4.2.2.9.
Т а б л и ц а 4.2.2.9
| Результаты моделирования | |
| Константа | 87,21 |
| Коэффициент регрессии | 12,78 |
| Стандартная ошибка | 0,35 |
| Множественный R | 0,99 |
| Число наблюдений | |
| Число степеней свободы | |
| F - критерий | 1326,21 |
5.3. Получение расчетных значений по трендовой модели.
5.4. Расчет значений уровня ряда по мультипликативной модели.
5.5. Вычисление отклонений расчетных значений от фактических.
5.6. Оформление результатов расчетов в виде табл. 4.2.2.10.
Т а б л и ц а 4.2.2.10
| Год | Период | | |  | |  |  |  |
| 0,71 | 91,76 | 99,99 | 70,83 | 0,92 | -5,83 | |||
| 0,90 | 105,76 | 112,77 | 101,30 | 0,94 | -6,30 | |||
| 1,07 | 130,72 | 125,54 | 134,45 | 1,04 | 5,55 | |||
| 1,32 | 143,69 | 138,32 | 182,90 | 1,04 | 7,10 | |||
| 0,71 | 155,28 | 151,09 | 107,03 | 1,03 | 2,97 | |||
| 0,90 | 172,55 | 163,87 | 147,20 | 1,05 | 7,80 | |||
| 1,07 | 172,74 | 176,64 | 189,18 | 0,98 | -4,18 | |||
| 1,32 | 189,06 | 189,42 | 250,47 | 1,00 | -0,47 | |||
| 0,71 | 204,69 | 202,19 | 143,23 | 1,01 | 1,77 | |||
| 0,90 | 211,51 | 214,97 | 193,10 | 0,98 | -3,10 | |||
| 1,07 | 233,43 | 227,74 | 243,91 | 1,02 | 6,09 | |||
| 1,32 | 234,44 | 240,52 | 318,04 | 0,97 | -8,04 | |||
| 0,71 | 247,04 | 253,29 | 179,43 | 0,98 | -4,43 | |||
| 0,90 | 267,17 | 266,07 | 239,01 | 1,00 | 0,99 | |||
| 1,07 | 289,45 | 278,84 | 298,64 | 1,04 | 11,36 | |||
| 1,32 | 283,59 | 291,62 | 385,61 | 0,97 | -10,61 |
6. Построение графика (см. рис. 4.2.2.3) стоимости репетиторских услуг в г. Воронеже (фактических, рассчитанных по трендовой и мультипликативной моделям).
7. Расчет прогнозных значений для каждого сезонного периода 2004г.:
; 
;
; 
.
Задание 4.2.2.3. Аграрный комитет администрации Воронежской области, зная среднегодовой спрос на молоко населения области, заинтересован в получении прогнозных оценок производства этого продукта хозяйствами всех категорий на следующий год. Такая информация ему необходима для того, чтобы иметь представление о степени обеспеченности населения молочной продукцией, и в случае существенного превышения спроса над предложением молока ориентировать торговые организации на заключение договоров поставки молока с производителями из других регионов. Построение прогнозной модели решено осуществить по данным табл. 4.2.2.11.
Р и с. 4.2.2.3. Динамика фактической и расчетной стоимости репетиторских услуг
Т а б л и ц а 4.2.2.11
| Год | Производство молока в хозяйствах всех категорий Воронежской обл., т. | |||
| 1-й квартал | 2-й квартал | 3-й квартал | 4-й квартал | |
Решение с помощью Excel
1. Ввод исходных данных и оформление их в удобном для проведения расчетов виде.
2. Формирование фиктивных переменных 
:
;
;
.
и оформление полученных результатов в виде табл. 4.2.2.12.
3. Оценка параметров модели
,
обычным МНК с помощью «Пакета анализа» (см. Вывод итогов 4.2.2.1).
Т а б л и ц а 4.2.2.12
 |  |  |  |  | | | | | |
| ВЫВОД ИТОГОВ 4.2.2.1 | ||||||
| Регрессионная статистика | ||||||
| Множественный R | 0,996532 | |||||
| R-квадрат | 0,993076 | |||||
| Нормированный R-квадрат | 0,991618 | |||||
| Стандартная ошибка | 238,7258 | |||||
| Наблюдения | ||||||
| Дисперсионный анализ | ||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | ||
| Регрессия | 1,55E+08 | 681,225 | 3,18E-20 | |||
| Остаток | 56990,02 | |||||
| Итого | 1,56E+08 | |||||
| Коэффи-циенты | Стандартная ошибка | t-статис-тика | P-Значе-ние | Нижние 95% | Верхние 95% | |
| Y-пересечение | 5576,383 | 139,5406 | 39,96243 | 8,46E-20 | 5284,321 | 5868,445 |
| Переменная X 1 | -7,50357 | 7,133298 | -1,05191 | 0,306037 | -22,4337 | 7,426598 |
| Переменная X 2 | 497,9893 | 139,4798 | 3,570331 | 0,002042 | 206,0545 | 789,9241 |
| Переменная X 3 | 5498,493 | 138,5648 | 39,68174 | 9,65E-20 | 5208,473 | 5788,512 |
| Переменная X 4 | 5131,83 | 138,0129 | 37,1837 | 3,27E-19 | 4842,965 | 5420,694 |
Таким образом, построенная модель имеет вид
.
Коэффициент корреляции достаточно высокий, что свидетельствует о существовании тесной взаимосвязи объема молока от соответствующих факторов.
Сравнение 
с табличным значением дисперсионного отношения Фишера 
позволяет сделать вывод об адекватности построенной модели.
Сравнение расчетных значений -статистик с табличным значением 
говорит о том, что включенные в модель факторы значимы, кроме фактора времени. Таким образом, тенденция уменьшения объема молока существует, но она статистически незначима на 95%-ом уровне значимости. Поэтому необходимо перестроить модель, исключив из нее незначимый фактор.
4. Оценка параметров модели
,
обычным МНК с помощью «Пакета анализа» (см. Вывод итогов 4.2.2.2)
| ВЫВОД ИТОГОВ 4.2.2.2 | |||||||||||||
| Регрессионная статистика | |||||||||||||
| Множественный R | 0,996329 | ||||||||||||
| R-квадрат | 0,992672 | ||||||||||||
| Нормированный R-квадрат | 0,991573 | ||||||||||||
| Стандартная ошибка | 239,3606 | ||||||||||||
| Наблюдения | |||||||||||||
| Дисперсионный анализ | |||||||||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |||||||||
| Регрессия | 1,55E+08 | 903,1216 | 1,65E-21 | ||||||||||
| Остаток | 57293,52 | ||||||||||||
| Итого | 1,56E+08 | ||||||||||||
| Коэффи-циенты | Стандартная ошибка | t-статис-тика | P-Зна-чение | Нижние 95% | Верхние 95% | ||||||||
| Y-пересечение | 5471,333 | 97,71857 | 55,99072 | 1,85E-23 | 5267,496 | 5675,171 | |||||||
| Переменная X 1 | 520,5 | 138,1949 | 3,766419 | 0,001214 | 232,2306 | 808,7694 | |||||||
| Переменная X 2 | 5513,5 | 138,1949 | 39,89654 | 1,53E-20 | 5225,231 | 5801,769 | |||||||
| Переменная X 3 | 5139,333 | 138,1949 | 37,18901 | 6,14E-20 | 4851,064 | 5427,603 | |||||||
Следовательно, построенная модель имеет вид
.
Анализ этой модели позволяет сделать вывод о ее пригодности для целей прогнозирования.
5. Получение с помощью построенной модели прогнозных оценок производства молока на 2004 год и оформление результатов в виде табл. 4.2.2.13.
Т а б л и ц а 4.2.2.13