Сущность и значение дисперсионного анализа. Оценка существенности влияния группировочного признака на уровень рентабельности

Аналитическая группировка предприятий Бутурлиновского, Калачеевского и Семилукского районов показала наличие связи между урожайностью зерновых культур и уровнем рентабельности производства зерна, определила направление связи, а именно связь прямая. Однако она не дает ответа, на сколько эта связь существенна. Для оценки существенности влияния урожайности зерновых культур на уровень рентабельности производства зерна строится однофакторный дисперсионный анализ.

Дисперсионный анализ - математический метод оценки существенности влияния различных факторов одновременно действующих на результат.

Основной характеристикой сущности влияния фактора на результат является показатель, который называется критерием Фишера(F) или дисперсионным отношением. Этот критерий представляет собой отношение двух дисперсий:

F=σ²_{фактор.}/ σ²_ост.

При вычислении дисперсионного отношения в числителе берется большая из оценок σ²_{фактор.} и σ²_ост, поэтому величина дисперсионного отношения может быть равна или больше единицы. Если F-критерий равен 1, то это указывает на равенство дисперсий, и вопрос об оценке существенности их расхождения снимается. Если же величина дисперсионного отношения больше единицы, то возникает необходимость оценить случайно ли расхождение между дисперсиями. При этом очевидно, что чем больше величина дисперсионного отношения, тем значительнее расхождение между дисперсиями. Для определения границ случайных колебаний отношения дисперсий Фишером разработаны специальные таблицы F-распределения с уровнем значимости 5%. Это значит, что в пяти случаях из ста фактическое значение критерия Фишера равно теоретическому, а в остальных случаях они не совпадают./7 с.199/

Гипотеза, которая проверяется с помощью этих таблиц, состоит в том, что сравниваемые дисперсии характеризуют вариацию признака в совокупностях, отобранных из одной и той же нормально распределенной совокупности, или же отобранных из нормально распределенных совокупностей с одинаковой дисперсией.

Если фактическое дисперсионное отношение(F_факт.) будет больше табличного(F_табл.), то лишь с вероятностью 0,05 можно утверждать, что различие между дисперсиями определяется случайными факторами. Если же фактическое значение дисперсионного отношения будет меньше соответствующего табличного значения, то с вероятностью 95% можно утверждать, что расхождение между дисперсиями несущественно.

В основе дисперсионного анализа лежит правило сложения дисперсий:

σ²_общ.= σ²_{фактор.}+ σ²_ост, где

σ²_общ.-общая дисперсия, которая измеряет влияние на результат всех факторов;

σ²_{фактор.}-измеряет влияние на результат только изучаемого фактора;

σ²_ост-измеряет влияние на результат всех остальных факторов, кроме изучаемого.

При определении каждой дисперсии важное значение имеет расчет числа степеней свободы, т.е. числа независимых отклонений от средней величины.

Для σ²_общ. число степеней свободы определяется как N-1, где N- число единиц изучаемой совокупности(число предприятий района).

Для σ²_{фактор.} Число степеней свободы определяется как n-1, где n-число групп.

Для σ²_ост число степеней свободы определяется как (N-1)-(n-1)./7 с.200/

Дисперсионный анализ приобретает самостоятельное значение при оценке существенности расхождения нескольких средних, что позволяет проверить гипотезу о наличии связи между признаком, положенным в основу группировки, и результативным признаком. Для оценки существенности влияния урожайности зерновых культур на уровень окупаемости зерна по предприятиям Петропавловского, Семилукского и Павловского районов построим однофакторный дисперсионный комплекс в следующей последовательности:

-пределяется общая вариация, которая измеряет влияние на результат(уровень окупаемости зерна) всех факторов по следующей формуле:

W_общ.= ∑(x-x)², где

x- уровень рентабельности зерна по каждому предприятию;

x- средний уровень рентабельности зерна по районам.

Расчеты представлены в следующей таблице

Таблица 10 - Расчет общей вариации уровня рентабельности по предприятиям Калачеевского, Семилукского и Бутурлиновского районов

№ п/п	Уровень рентабельности, % x
	36,7	-1,8	3,24
	29,2	-9,3	86,49
	28,2	-10,3	106,09
	25,8	-12,7	161,29
	27,5	-11,0	121,00
	38,4	-0,1	0,01
	7,8	-30,7	942,49
	12,2	-26,3	691,69
	105,0	66,5	4422,25
	25,6	-12,9	166,41
	81,2	42,7	1823,29
	31,3	-7,2	51,84
	61,3	22,8	519,84
	151,3	112,8	12723,84
	42,2	3,7	13,69
	4,8	-33,7	1135,69
	115,5	77,0	5929,00
	25,2	-13,3	176,89
	34,4	-4,1	16,81
	179,4	140,9	19852,81
	20,7	-17,8	316,84
	34,4	-4,1	16,81
	46,9	8,4	70,56
	18,7	-19,8	392,04
	3,6	-34,9	1218,01
Итого	38,5	-	50958,92

W_общ.=50958,92

- определяется факторная вариация, коротая измеряет влияние на результат(уровень окупаемости зерна) изучаемого фактора(урожайность зерновых культур):

W_{фактор.}=∑[(x_гр.-x)²*f], где

x_гр.- средний уровень окупаемости зерна по районам;

x- средний уровень окупаемости зерна в целом по районам;

f- число предприятий в группе.

W_{фактор.}= (67,8-38,5)²*5+(29,4-38,5)²*3+(37,7-38,5)²*15+(59,7-38,5)²*2=

5449,36

-определяется остаточная вариация, которая измеряет влияние на уровень окупаемости зерна всех остальных факторов кроме изучаемого(урожайность зерновых культур):

W_ост.= W_общ.- W_фактор

W_ост.=50958,92-5449,36=45509,56

определяется общая дисперсия:

σ²_общ.= W_общ./(N-1), где

N-1-число степеней свободы для общей дисперсии;

N- число предприятий в районах

σ²_общ.=50958,92/(25-1)=2123,3

определяется факторная дисперсия:

σ²_{фактор.}= W_фактор/(n-1), где

n-1- число степеней свободы для факторной дисперсии;

n- число групп

σ²_фактор=5449,36/(4-1)=1816,45

определяется остаточная дисперсия:

σ²_ост= W_ост./[(N-1)-(n-1)], где

_.(N-1)-(n-1)- число степеней свободы для остаточной дисперсии

σ²_ост=45509,56/[(25-1)-(4-1)]=2167,12

определяется фактическое значение критерия Фишера:

F_факт. =σ²_{фактор.}/ σ²_ост

F_факт. =1816,45/2167,12=0,84

определяется табличное или теоретическое значение критерия Фишера:

F_табл.= 3,01

Т.к. фактическое значение критерия Фишера меньше табличного (теоретического), то влияние изучаемого фактора(урожайности зерновых культур) на уровень окупаемости зерна несущественно, но этот фактор нельзя исключать из модели. А при дальнейшем изучении уровня рентабельности зерна помимо этого фактора (урожайности зерновых культур) надо учитывать и другие (цену реализации 1ц зерна, количество реализованного зерна, себестоимость 1ц зерна).

Выполненные расчеты и сделанные выводы дают основание использовать

цену реализации 1 ц зерна и другие факторы, влияющие на уровень рентабельности зерна при построении экономико-математической модели уровня рентабельности зерна по предприятиям Бутурлиновского, Калачеевского и Семилукского районов.

Проектная часть.