Эконометрический анализ взаимосвязанных временных рядов

Коинтеграция и мнимая регрессия.

Рассмотрим два временных ряда y_t и x_t. Предположим, что оба ряда имеют единичные корни, то есть являются нестационарными. Предположим далее, что исследователь не знает механизмов, порождающих y_t и x_t, и оценивает регрессию:

y_t =bx_t + e_t, t=1,…,n. (5.12)

Если e_t = y_t – bx_t, t=1,…,n является стационарным временным рядом, то временные ряды y_t и x_t называются коинтегрированными, а вектор (1 –b) называется коинтегрирующим вектором.

Примеры.

1. Длинная ставка процента R, короткая ставка процента r: e_t=R_t – r_t, вектор коинтеграции (1 –1).

2. Логарифм потребления C_t, логарифм дохода y_t: e_t=С_t – y_t, вектор коинтеграции (1 –1).

3. Логарифм обменного курса D_t, логарифм внутренней цены P_t, логарифм цен мирового рынка P_t^*: e_t=D_t –P_t+P_t^*, вектор коинтеграции (1 –1 1). Ñ

В случае коинтегрируемости временных рядов говорят о долгосрочном динамическом равновесии. Если y_t и x_t коинтегрированы, то y_t и bx_t содержат общую нестационарную компоненту – долговременную тенденцию, а разность y_t – bx_t стационарна и совершает флуктуации около нуля.

Таким образом, коинтеграция временных рядов – причинно-следственная зависимость в уровнях временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположной направленности их тенденций и случайной колеблемости.

Возможен случай, когда ошибка e_t = y_t – bx_t, t=1,…,n в регрессии (5.12) является нестационарным временным рядом. Тогда условия классической регрессионной модели (п. 3) не выполняются, в частности дисперсия e_t не является постоянной. Кроме того, МНК оценка параметра b не состоятельна, поэтому с ростом объема выборки увеличиваются шансы получения ложных выводов о взаимосвязи y_t и x_t. Такая ситуация называется ложной (мнимой) регрессией. На практике признаками мнимой регрессии являются высокое значение R² и малое значение статистики Дарбина-Уотсона.

Для проверки рядов на коинтеграцию используются тесты Энгеля-Гранжера или Йохансена.

Пример. Рассмотрим временные ряды логарифмов доходов и расходов на потребление с августа 1990 г. по январь 1992 г. в России. Графический анализ – рис. 5.1 показывает, что тенденции этих рядов совпадают.

Расчет параметров уравнения регрессии логарифма расходов y_t на логарифм доходов x_t обычным МНК дает следующие результаты:

=0,9x_t + e_t,

n=25, R²=0,80, критерий Дарбина-Уотсона 1,85, стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,009.

Для тестирования рядов на коинтеграцию определим оценки остатков = - 0,9x_t и построим регрессию первых разностей D на :

D = - 0,95 .

Фактическое значение t-критерия для коэффициента последней регрессии равно –4,46, что превышает по абсолютной величине критическое значение 1,94, рассчитанное Энгелем и Гранжером, при уровне значимости 5%, т.е. с вероятностью 0,95 можно утверждать, что временные ряды логарифмов доходов и расходов на потребление коинтегрированы. Ñ

При изучении двух взаимосвязанных временных рядов на предварительной стадии регрессионного анализа рекомендуется устранить сезонные или циклические колебания, если они имеются в исследуемых временных рядах, в соответствии с принятой аддитивной или мультипликативной моделями рядов.

Если рассматриваемые временные ряды y_t и x_t содержат тенденцию, то коэффициент корреляции, характеризующий степень зависимости между y_t и x_t будет иметь высокое значение. Такая же ситуация будет иметь место тогда, когда y_t и x_t зависят от переменной времени t. Как в первом, так и во втором случае имеет место ложная корреляция, которая приводит при построении регрессии y_t на x_t вида (5.12) к автокорреляции в остатках и нестационарности ряда остатков регрессии (ложная регрессия), то есть к нарушению предпосылок МНК.

Рис. 5.13.

Для получения регрессии со стационарным временным рядом остатков e_t, как уже указывалось ранее, может быть использован метод последовательных разностей, когда переход к некоторым k-м разностям уровней ряда позволяет получить стационарный ряд остатков.

Другими методами исключения тренда из анализируемой модели (5.12) являются методы включения фактора времени и отклонений от тренда.

Метод включения фактора времени.

Для устранения влияния времени на результат и факторы при изучении взаимосвязанных рядов динамики используется прием включения времени t в качестве независимой переменной в модель регрессии, что позволяет зафиксировать воздействие фактора t. Достоинством такого подхода является использование всей имеющейся выборки в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере некоторого числа наблюдений.

Рассмотрим, например, модель вида:

y_t = a + b₁x_t + b₂t + e_t,

которая относится к моделям c включенным фактором времени. Параметры модели определяются обычным МНК.

Пример. Потребительские расходы и доходы населения (тыс. у. е.) за ряд лет характеризуются следующими данными (табл. 5.13).

Таблица 5.13

Показатель	Год
Потребительские расходы
Доходы

Оценим уравнение регрессии потребительских расходов y_t на доходы x_t вида:

y_t = a + bx_t + e_t.

Получим, применяя МНК:

y_t = -5,38 + 0,92x_t + e_t,

причем R²=0,98, стандартная ошибка коэффициента b₁ при x_t 0,04, статистика Дарбина-Уотсона 0,86. Т.е. имеем случай мнимой регрессии, когда статистика Дарбина-Уотсона показывает наличие положительной автокорреляции остатков e_t, а коэффициент детерминации близок к единице.

Применяя метод включения фактора времени, оценим регрессию вида:

y_t = a + b₁x_t + b₂t + e_t.

Получим, применяя МНК:

y_t = 3,88 + 0,69x_t + 1,65t + e_t,

причем R²=0,99, стандартная ошибка коэффициента b₁ при x_t 0,11, статистика Дарбина-Уотсона 1,3.

Полученное уравнение имеет следующую интерпретацию. Значение параметра b₁=0,69, говорит о том, что при увеличении дохода на 1 тыс. у.е., потребительские расходы возрастут в среднем на 0,69 тыс. у.е., если существующая тенденция будет неизменна. Значение b₂=1,65 свидетельствует о том, что без учета роста доходов населения ежегодный средний абсолютный прирост потребительских расходов составит 1,65 тыс. у.е. Ñ

Метод отклонения уровней ряда от основной тенденции.

Если каждый из рядов y_t и x_t содержит тренд, то аналитическим выравниванием по каждому из рядов можно найти параметры тренда и определить расчетные по тренду уровни рядов и . Влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений тренда из фактических. Дальнейший регрессионный анализ проводят с отклонениями от тренда и .

Пример. Потребительские расходы и доходы населения (тыс. у.е.) за ряд лет характеризуются данными табл. 5.13.

Рассчитаем линейные тренды по каждому из временных рядов методом МНК:

=35,39+6,23t , R²=0,93 стандартная ошибка коэффициента при t 0,63,

=45,33+6,60t , R²=0,89 стандартная ошибка коэффициента при t 0,85.

По трендам определим расчетные значения и и отклонения от трендов и .

Таблица 5.14

Тренды и отклонения от трендов для временных рядов доходов и потребительских расходов

Время, t	yt	xt
			41,62	51,93	4,38	7,07
			47,86	58,53	2,14	4,47
			54,09	65,13	-0,09	-1,13
			60,32	71,73	-1,32	-5,73
			66,56	78,33	-4,56	-7,33
			72,79	84,93	-5,79	-6,93
			79,02	91,53	-4,02	-2,53
			85,26	98,13	0,74	2,87
			91,49	104,73	8,51	9,27

Проверим полученные отклонения от трендов на автокорреляцию. Коэффициенты автокорреляции первого порядка составляют:

=0,56, =0,67,

в то время как для исходных рядов =0,99, =0,99.

Таким образом, полученные ряды отклонений от трендов можно использовать для получения количественной характеристики связи исходных временных рядов потребительских расходов и доходов населения. Коэффициент корреляции по отклонениям от трендов равен 0,93, тогда как этот же показатель по начальным уровням ряда был равен 0,99. Связь между потребительскими расходами и доходами населения прямая и сильная.

Результаты построения модели регрессии по отклонениям от трендов следующие:

Константа	0,00
Коэффициент регрессии	0,69
Стандартная ошибка коэффициента регрессии	0,09
R2	0,88
Статистика Дарбина-Уотсона	1,30

Содержательная интерпретация модели в отклонениях от трендов затруднительна, но она может быть использована для прогнозирования. Ñ