Двумерная случайная величина

Пусть на вероятностном пространстве заданы две случайные величины: . Каждому элементарному событию ставится в соответствие упорядоченная пара значений случайных величин .

Упорядоченную пару двух одномерных случайных величин называютдвумерной случайной величиной.

Двумерную случайную величину называют также случайным двумерным вектором, случайной двумерной точкой, системой двух случайных величин. Одномерные случайные величины называются компонентами двумерной случайной величины .

Функцией распределения двумерной случайной величины называется вероятность произведения событий и , определенная для любых вещественных : . (1)

Функция для краткости называется двумерной функцией распределения.

Геометрический смысл равенства (1): функция есть вероятность того, что случайная точка попадет в бесконечный квадрат с вершиной в точке ; точка будет левее и ниже этой вершины.

Свойства двумерной функции распределения

1. .

2. , .

3. .

4. ;

. (2)

5. неубывающая функция по каждому из своих аргументов при фиксированном другом аргументе.

Формулы (2) означают, что из функции распределения двумерной случайной величины можно получить функции распределения ее одномерных компонент.

Используя функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник :

.

31.Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины

Условным законом распределениядискретной случайной величины при называется множество значений ( ) и условных вероятностей , , …, , вычисленных по формулам

, .

Аналогично строится условный закон распределения дискретной случайной величины при , где условные вероятности ( ) вычисляются по формулам

, .

Сумма вероятностей условного распределения равна единице.

Сходимость по вероятности

Пусть - вероятностное пространство с определёнными на нём случайными величинами .

Говорят, что сходится по вероятности к , если :

.

Обозначение: .

Предельные теоремы

Предельные теоремы теории вероятностей делятся на две группы, одна из которых получила названиезакона больших чисел, а другая — центральной предельной теоремы.Рассмотрим теоремы, относящих к закону больших чисел: неравенство Чебышева, теоремы Чебышева и Бернулли.

Закон больших чисел состоит из нескольких теорем, в которых доказывается приближение средних характеристик при соблюдении определённых условий к некоторым постоянным значениям.

Неравенство Чебышева

Если случайная величина имеет конечное математическое ожидание и дисперсию, то для любого положительного числа справедливо неравенство

то есть вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превосходит и больше разности между единицей и отношением дисперсии этой случайной величины к квадрату .
Запишем вероятность события , то есть события, противоположного событию . Очевидно, что

Теорема Чебышева

При достаточно большом числе независимых испытаний с вероятностью, близкой к единицы, можно утверждать, что разность между средним арифметическим наблюдавшихся значений случайной величины и математическим ожиданием этой величины по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа при условии, что случайная величина имеет конечную дисперсию, то есть

где — положительное число, близкое к единице.
Переходя в фигурных скобках к противоположному событию, получаем

Теорема Бернулли

Теорема Бернулли устанавливает связь между относительной частотой появления события и его вероятностью.

При достаточно большом числе независимых испытаний с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что разность между относительной частой появления события в этих испытаниях е го вероятностью в отдельном испытании по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа , если вероятность наступления этого события в каждом испытании постоянна и равна .

Утверждение теоремы Бернулли можно записать в виде неравенства

где — любые сколь угодно малые положительные числа.
Теорема Ляпунова

Рассмотренные теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определённым предельным значениям независимо от их закона распределения. В теории вероятностей существует другая группа теорем, касающихся предельных законов распределения суммы случайных величин. Общее название этой группы теорем — центральная предельная теорема. Различными её формы различаются условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин.

Закон распределения суммы независимых случайных величин приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении , если выполняются следующие условия:

1) все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии:

где .

2) ни одна из величин по значению резко не отличается от остальных.