Тема 3. Статистическое изучение вариации
Вопросы
1. Понятие вариации. Задачи исследования вариации.
2. Показатели вариации и способы их расчета.
3. Расчет дисперсии сокращенными способами.
[1, с. 71–85; 2, с. 120–150; 3, с. 72–76; 5, с. 181–200, 6]
Методические указания к изучению темы
Для измерения степени колеблемости отдельных значений признака от средней исчисляются основные показатели вариации: дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Дисперсия (s2) – это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической.
В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется:
– невзвешанная; (7)
– взвешенная. (8)
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:
– невзвешенное; (9)
– взвешенное. (10)
Коэффициент вариации (γ) является относительным показателем вариации и представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:
. (11)
При этом совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33–35 %.
Расчёт дисперсии можно упростить, используя «метод моментов». Дисперсия в этом случае определяется по формуле:
s2 = k2 ´ (m2 – m12), (12)
где 
– начальный момент первого порядка; (13)
– начальный момент второго порядка, (14)
где k – величина интервала;
А – условное число, в качестве которого удобно использовать середину интервала с наибольшей частотой.
Рассмотрим пример расчёта показателей вариации. Имеются выборочные данные о стаже работников коммерческого банка (табл. 3.1).
Определить средний стаж работы, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Таблица 3.1
Распределение работников банка по стажу работы
| Стаж работы, лет | Среднемесячная численность работников, чел |
| До 3 3 – 5 5 – 7 7 – 9 Свыше 9 | |
| Итого |
Для расчёта показателей сначала определим середины интервалов (табл. 3.2).
Таблица 3.2
Расчёт дисперсии
| Стаж работы, лет, хинт | Среднесписочная численность работников, чел. fi | Середина интервала, хi |  |  |  |  |
| До 3 3 – 5 5 – 7 7 – 9 Свыше 9 | -3 -1 | |||||
| Итого | – | – | – |
Решение:
1) средний стаж работы сотрудников определяется по формуле средней арифметической взвешенной и составляет:
(лет);
2) дисперсия стажа:
;
3) среднее квадратическое отклонение:
(года);
4) коэффициент вариации:
%.
Таким образом, средний стаж работы сотрудников коммерческого банка составляет 5 лет при среднем квадратическом отклонении 1,9 года. Поскольку коэффициент вариации – более 37 %, можно сделать вывод о том, что данная совокупность неоднородна, а средняя в ней нетипична.
Воспользуемся данными примера 4 и рассчитаем средний стаж и дисперсию по способу «моментов». Результаты расчётов содержаться в табл. 3.3.
Таблица 3.3
Расчёт показателей способом отсчёта от условного нуля
| Стаж работы, лет | Численность работников, чел. fi | Середина интервала, xi | xi – A (A=6) | xi – A к (к=2) | (xi– A)fi к | (xi–A)2 к | (xi–A)2fi к |
| До 3 3-5 5-7 7-9 свыше 9 | -4 -2 | -2 -1 | -20 -48 | ||||
| Итого | – | – | – | -50 | – |
1. Средний стаж работы:
(лет).
2. Дисперсия по способу "моментов" получаем:
.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение вариации.
2. В чем заключается сущность показателей вариации?
3. Какие показатели вариации вы знаете?
4. По каким формулам можно рассчитать дисперсию?
5. Как исчисляется среднее квадратическое отклонение?
6. Чем оценивается однородность статистической совокупности?