Метод приращения функции

Если в расчетную формулу подставить не , а значение, измененное на величину абсолютной погрешности , оставляя прежними остальные величины , то мы получим новое значение величины А, отличающееся от на величину DА_а:

. (10)

Видно, что DА_а, представляет собой приращение функции при приращении аргумента а на величину Da.

Аналогично можно вычислить DА_b иDA_c:

,

.

Полученные значения подставляются в формулу (9).

Этот метод расчета особенно удобен при проведении расчета на компьютере с помощью программ типа Excel.

Пример

Лабораторная работа “Определение момента инерции маховика динамическим методом”

Расчетная формула в этой лабораторной работе имеет вид

.

Измеряемыми величинами являются диаметр вала d, время опускания груза t и высота h. Погрешности в измерении диаметра вала и высоты определяются погрешностями средств измерения. Dd = Dd_п , Dh = Dh_п. Время опускания груза имеет статистический разброс, поэтому измерения обрабатываются по методу Стьюдента, т.е. находятся среднее значение и случайная погрешность Dt_сл. Как правило, , поэтому полная погрешность прямых измерений времени .

Прежде всего находится среднее значение момента инерции; в расчетную формулу подставляется среднее значение времени:

.

Затем по той же формуле проводятся вычисления момента инерции со значениями аргументов, измененными на величину погрешности, т.е.

,

,

.

Нахождение вкладов в абсолютную погрешность момента инерции за счет неточности определения диаметра вала, времени падения груза и высоты проводится по формулам

,

,

.

Полная погрешность косвенных измерений

.

Метод частных производных

Приращение функции всегда можно выразить через приращение аргумента, используя определение частной производной. Частной производной функции называют производную этой функции по соответствующему аргументу, когда остальные аргументы считаются фиксированными. В данном случае под функцией понимается рассчитываемая величина А, а под независимыми переменными - измеряемые величины a, b, c. Тогда, ограничиваясь членами первого порядка малости, выражение (10) можно переписать так:

; ; . (11)

Отметим, что производные , , рассчитываются при средних значениях .

Полная погрешность DА получается путем подстановки выражений (11) в формулу (9):

. (12)

Этот метод расчета применяется, если выражения производных значительно проще, чем сама функция (например, если расчетная формула представляет сумму слагаемых, являющихся громоздкими выражениями).

Пример

Лабораторная работа “Определение ускорения свободного падения методом катающегося шарика”

Расчетная формула в этой лабораторной работе имеет вид:

.

Измеряемыми величинами являются время t числа N колебаний, высота h сферического сегмента, измеренная сферометром, расстояние l между ножками сферометра и диаметр шарика d, измеренный штангенциркулем или микрометром. Погрешности в измерении расстояния l и диаметра d определяются погрешностями средств измерения. Dl = Dl_си и Dd = Dd_си. Время колебаний шарика t и высота h имеют статистический разброс, поэтому измерения обрабатываются по методу Стьюдента, т.е. находятся средние значения и , а также их случайные погрешности Dt_сл и Dh_сл Как правило, и , поэтому полные погрешности прямых измерений определяются случайными погрешностями: и .

После обработки результатов прямых измерений рассчитывается наилучшее значение ускорения свободного падения; для этого в расчетную формулу подставляются средние значения времени и высоты:

.

Абсолютная погрешность в определении ускорения свободного падения рассчитывается по формуле

,

в которой вклады в полную погрешность находятся через частные производные:

,

,

,

.