Предпосылки метода наименьших квадратов (условия Гаусса-Маркова)

1. Математическое ожидание случайного отклонения равно нулю для всех наблюдений. E(ε₁) = E(ε₂) = … = E(ε_n) = 0 Данное условие означает, что случайное отклонение в среднем не оказывает влияния на зависимую переменную. В каждом конкретном наблюдении случайный член может быть либо положительным, либо отрицательным, но он не должен иметь систематического смещения.

2. Дисперсия случайных отклонений постоянна для любых наблюдений. Это условие подразумевает, что несмотря на то, что при каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может быть либо большим, либо меньшим, не должно быть некой априорной причины, вызывающей большую ошибку (отклонение). σ²(u) = σ²_u

Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью (постоянством дисперсии отклонений). Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью (непостоянством дисперсии отклонений).

3. Случайные отклонения u_i и u_j являются независимыми друг от друга для i¹j. Выполнимость данной предпосылки предполагает, что отсутствует систематическая связь между любыми случайными отклонениями. Другими словами, величина и определенный знак любого случайного отклонения не должны быть причинами величины и знака любого другого отклонения. Выполнимость данной предпосылки влечет следующее соотношение:

Поэтому, если данное условие выполняется, то говорят об отсутствии автокорреляции.

4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных. Обычно это условие выполняется автоматически, если объясняющие переменные не являются случайными в данной модели. Данное условие предполагает выполнимость следующего соотношения:

5. Модель является линейной относительно параметров.

Свойства оценок МНК.

В тех случаях, когда предпосылки выполняются, оценки, полученные по МНК, будут обладать свойствами несмещенности, состоятель­ности и эффективности.

Несмещенность оценкиозначает, что математическое ожидание остатков равно нулю. Если оценки обладают свойством несме­щенности, то их можно сравнивать по разным исследованиям.

Для практических целей важна не только несмещенность, но и эффективность оценок. Оценки считаются эффективными, ес­ли они характеризуются наименьшей дисперсией. Поэтому не­смещенность оценки должна дополняться минимальной диспер­сией.

Степень достоверности доверительных интервалов парамет­ров регрессии обеспечивается, если оценки будут не только не­смещенными и эффективными, но исостоятельными. Состоя­тельность оценок характеризует увеличение их точности с увели­чением объема выборки.