Построение, расчет и анализ среднего арифметического взвешенного и среднего гармонического взвешенного индексов

Методические рекомендации

По выполнению статистических расчетов по теме

«Индексный метод в анализе статистических данных»

Курсовые и контрольные работы по статистике включают следующие основные типовые расчетные задания по теме «Индексный метод в анализе статистических данных».

Задание 1. Построение, расчет и анализ индивидуальных и агрегатных индексов.

Задание 2. Построение, расчет и анализ среднего арифметического взвешенного и среднего гармонического взвешенного индексов.

Задание 3. Оценка роли отдельных факторов в изменении сложных экономических явлений путем построения системы взаимосвязанных индексов.

Задание 4. Построение, расчет и анализ индексов переменного, постоянного состава, индекса структурных сдвигов.

Методика комплексного применения индексного метода при выполнении расчетных заданий излагается на демонстрационном примере. Практические расчеты сопровождены конспективным изложением теоретического материала в объеме, необходимом для выполнения расчетных заданий.

Демонстрационный пример

Для проведения индексного анализа получены статистические данные об уровне цен и количестве реализованного условного товара «А» и «Б» двумя торговыми организациями за два периода, представленные в табл. 1.

Таблица 1

Уровень цен и объем реализованного товара торговыми организациями

За два периода

Торговая организация, №п/п	Вид товара	Ед. измере ния	Количество реализованного товара, тыс.	Цена товара, руб.
Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
	А	шт.
	Б	м.
	А	шт.

Задание 1

Построение, расчет и анализ индивидуальных и агрегатных индексов

По исходным данным табл. 1 сформируем информацию по торговой организации 1для расчета индивидуальных и общих агрегатных индексов цен и индексов количества (физического объема) реализованного (разнородного) товара и представим ее в табл. 2.

Таблица 2

Исходные данные

Вид товара	Ед. измере ния	Количество реализованного товара, тыс.	Цена товара, руб.
Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
q0	q1	p0	p1
А	шт.
Б	м.

По данным об уровне цен и количестве реализованного товара торговой организацией за два периода (см. табл. 2) необходимо выполнить следующее.

1.Рассчитать по каждому виду товара индивидуальный индекс:

- цен ;

- физического объема .

2. По двум товарам (совокупности в целом) рассчитать агрегатный индекс:

- цен;

- физического объема товарной массы (товарооборота).

Выполнение задания 1

Целью выполнения задания 1 является анализ относительного изменения цен и количества (физического объема) товара каждого вида (расчет индивидуальных индексов) и всей совокупности товаров (расчет агрегатных индексов) в отчетном периоде по сравнению с базисным.

1.1. Расчет индивидуальных индексов цен и физического объема

В зависимости от степени охвата элементов совокупности индексы подразделяются на индивидуальные и общие (групповые). Индивидуальные индексы характеризуют относительное изменение значений признака у отдельных элементов (единиц) совокупности в сравниваемых периодах.

Для определения относительного изменения цен (p) по каждому товару необходимо рассчитать индивидуальные индексы цен (i_p) по формуле

, (1)

где p₀ и p₁ – цена товара в базисном и отчетном периодах.

Расчет индивидуальных индексов цен по формуле (1)

по товару «А»

по товару «Б»

(индивидуальные индексы цен представлены в гр. 7 расчетной табл.3).

Цена на товар «А» в отчетном периоде по сравнению с базисным выросла на 10% (110-100), что в абсолютном выражении составляет 20 руб.(220-200), на товар «Б» - на 33,3% или на 100 руб. (400-300).

Для определения относительного изменения количества продажи каждого вида товара (q) необходимо рассчитать индивидуальные индексы физического объема(i_q) по формуле

, (2)

где q₀ и q₁ – количество (физический объем) товара, реализованного в базисном и отчетном периодах.

Расчет индивидуальных индексов физического объема по формуле (2)

по товару «А» ,

по товару «Б»

(индивидуальные индексы физического объема представлены в гр. 8 расчетной табл.3).

Количество реализованного товара «А» в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилось на 66,7% (166,7-100), что в абсолютном выражении составляет 200 тыс. шт. (500-300), товара «Б» сократилось на 37,5% (62,5-100) или на 150 тыс. м (250-400).

1.2. Построение, расчет и анализ агрегатного индекса физического объема товарооборота

Для определения относительного изменения количества реализованных товаров по совокупности (двум разнородным товарам) рассчитывают агрегатный индекс физического объема товарооборота.

В статистическом анализе часто приходится сталкиваться с изучением изменения объемов произведенной, проданной или потребленной продукции в ее натурально-вещественной форме. Объемы этой разнородной продукции непосредственно суммировать нельзя. Для характеристики относительного изменения общего объема такой продукции строят специальные показатели – агрегатные индексы физического объема, т.е. агрегатныеиндексы объемных показателей. Таким образом, с помощью агрегатных индексов сравнивают совокупности (социально-экономические явления), состоящие из элементов, не поддающихся непосредственному суммированию.

Преодоление несуммарности отдельных элементов изучаемой совокупности, состоящей из разнородных товаров, достигают путем введения в индекс дополнительного показателя, экономически тесно связанного с индексируемым показателем. Этот дополнительный показатель называют весом агрегатного индекса. Таким образом, агрегатный индекс состоит из двух элементов – индексируемого (изменяемого) показателя и веса индекса (неизменяемого показателя).

Относительное изменение физического объема товарооборота по всей совокупности товаров (по двум товарам вместе) определяют путем расчета агрегатного индекса физического объема.

В агрегатном индексе физического объема индексируемым (изменяемым) показателемявляется количество проданного товара (q), а весом индекса (неизменяемым показателем) – цена товара (p).

Агрегатный индекс физического объема рассчитывают по формуле:

, (3)

где – стоимость реализованных товаров (товарооборот) в отчетном периоде по ценам базисного периода,

– стоимость реализованных товаров (товарооборот) в базисном периоде.

Агрегатный индекс физического объема показывает, как в среднем изменился физический объем товарной массы, измеренный в ценах базисного периода, в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом по всей совокупности разнородных товаров.

Расчет агрегатного индекса физического объема по формуле (3) :

(данные для расчета агрегатного индекса физического объема по формуле (3) взяты из расчетной табл. 3, гр. 9 и 11).

Таблица 3

Таблица для расчета индексов цен и физического объема товарооборота

Вид товара	Ед. измере ния	Количество реализованного товара, тыс.	Цена товара, руб.	Индекс цен	Индекс физии ческого объема	Товарооборот, млн. руб.
Базис ный период	Отчет ный период	Базис ный период	Отчет ный период	Базис ный период	Отчет ный период	Отчет ный период по ценам базис ного	Базис ный период по ценам отчет ного
q0	q1	p0	p1			p0q0	p1q1	p0q1	p1q0
						7=6:5	8=4:3	9=3*5	10=4*6	11=4*5	12=3*6
А	шт.					1,100	1,667	6,0	11,0	10,0	6,6
Б	м.					1,333	0,625	12,0	10,0	7,5	16,0
Итого	-	-	-	-	1,200	0,972	18,0	21,0	17,5	22,6

Физический объем всей товарной массы в ценах базисного периода в отчетном периоде по сравнению с базисным сократился в среднем на 2,8 % (97,2 - 100).

Агрегатный индекс физического объема может быть рассчитан и по весам отчетного периода, т.е. как отношение товарооборота отчетного периода к товарообороту базисного периода, выраженного в ценах отчетного периода, по формуле:

(4).

1.3 . Построение, расчет и анализ агрегатного индекса цен

С совокупностями, состоящими из непосредственно несуммируемых элементов, приходится сталкиваться и тогда, когда необходимо получить сводную характеристику относительного изменения общего уровня цен, т.к. уровни цен отдельных (разнородных) товаров суммировать нельзя.

Относительное изменение цен по совокупности в целом (в нашем примере по двум разнородным товарам вместе) определяют путем расчета агрегатного индекса цен, т.е. агрегатного индекса качественного показателя.

В агрегатном индексе цен индексируемым(изменяемым) показателемявляется цена товара (р), а весом индекса (неизменяемым показателем) – количество (физический объем) товара (q).

Агрегатный индекс цен рассчитывают двумя методами.

Первый метод – Агрегатный индекс цен строят по весам отчетного периода (q₁). Такой индекс называют агрегатным индексом цен Пааше:

, (5)

где –стоимость реализованных товаров (товарооборот) в отчетном периоде,

– стоимость реализованных товаров (товарооборот) в отчетном периоде по ценам базисного периода.

Расчет агрегатного индекса цен Пааше по формуле (5):

(данные для расчета агрегатного индекса цен Пааше представлены в расчетной табл. 3, гр. 10 и 11).

Уровень цен по совокупности разнородных товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом повысился в среднем на 20,0% (120,0 - 100).

Разность между числителем и знаменателем агрегатного индекса цен характеризует абсолютную сумму экономии (переплаты) в результате снижения (повышения) цен, т.е.

- (6)

Расчет абсолютной суммы переплаты от повышения цен на товары по формуле (6):

21,0 – 17,5 = 3,5 млн. руб.

Второй метод – в расчет агрегатного индекса цен берут веса базисного периода, т.е. q₀:

, (7)

где – стоимость реализованных товаров (товарооборот) в базисном периоде по ценам отчетного периода,

– стоимость реализованных товаров (товарооборот) в базисном периоде по ценам отчетного периода.

Общий индекс цен, рассчитанный по формуле (7), называют индексом Ласпейреса.

Расчет агрегатного индекса цен Ласпейреса по формуле (7):

(данные для расчета агрегатного индекса цен Ласпейреса взяты из расчетной табл.3. гр. 11 и 12).

Уровень цен на все товары в отчетного периоде по сравнению с базисного периодом вырос в среднем на 25,6% (125,6 - 100), что в абсолютном выражении составило переплату, равную 4,6 млн. руб. (22,6 – 18,0).

Агрегатные индексы цен, рассчитанные разными методами, дают и разные результаты. Это объясняется тем, что индекс цен Пааше рассчитывается исходя из объема и структуры товаров, реализованных в отчетном периоде, а индекс цен Ласпейреса определяется по объему и структуре товаров, реализованных в базисном периоде.

Задание 2

Построение, расчет и анализ среднего арифметического взвешенного и среднего гармонического взвешенного индексов

Выполнение задания 2

Целью выполнения данного задания является анализ относительного изменения объемного (количество реализованного товара) и качественного (уровень цен) показателей по всей совокупности разнородных товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом путем построения среднего арифметического взвешенного и среднего гармонического взвешенного индексов.

Для расчета агрегатного индекса физического объема товарооборота и агрегатного индекса цен необходимы данные о количестве реализованных товаров в натуральном измерении. В случае отсутствия таких данных для расчета сводных обобщающих относительных показателей изменения объемного и качественного признаков используют среднюю арифметическую и среднюю гармоническую форму общих индексов. Формулы таких индексов получают путем преобразования агрегатных индексов в средние через индивидуальные индексы.

2.1. Построение, расчет и анализ среднего арифметического взвешенного индекса физического объема товарооборота

Исходная информация для расчета среднего арифметического взвешенного индекса физического объема представлена в табл.4.

Таблица 4

Исходные данные

Вид товара	Единица измерения	Товарооборот базисного периода, млн. руб.	Относительное изменение количества реализованного товара в отчетном периоде по сравнению с базисным (+,-), %
А	шт.	6,0	+66,7
Б	м	12,0	-37,5

Для определения относительного изменения физического объема товарооборота обычно рассчитывают агрегатный индекс физического объема товарооборота . Однако, по приведенной в табл. 4 исходной информации этого сделать нельзя, так как неизвестен товарооборот отчетного периода в базисных ценах (числитель индекса). Он может быть рассчитан на основе данных об относительном изменении количества товара каждого вида.

Для преобразования агрегатного индекса физического объема в средний арифметический взвешенный используют формулу индивидуального индекса физического объема , из которой следует, что q₁=i_q*q₀. Далее в числителе агрегатного индекса заменяют q₁ на выражение i_q*q₀. Тогда формула индекса физического объема принимает следующий вид:

, (8)

где i_q – индивидуальный индекс физического объема;

– стоимость реализованных товаров (товарооборот) в базисном периоде.

В таком виде агрегатный индекс физического объема выступает как средняя арифметическая величина из индивидуальных индексов физического объема , взвешенных по стоимости товаров базисного периода (товарообороту базисного периода) – q₀p₀.

По исходной информации необходимо вначале определить индивидуальные индексы физического объема (количества) реализованного товара:

Товар А: i_q= 166,7 % (100 + 66,7);

Товар В: i_q= 62,5% (100 –37,5).

(результаты расчетов представлены в расчетной табл.5, гр.4, 5).

Таблица 5.

Расчетная таблица

Товар	Единица измерения	Товарооборот базисного периода, млн. руб.	Индекс физического объема	Товарооборот отчетного периода в ценах базисного периода, млн. руб.
q0p0	iq	q1p0= iq*q0p0
				5=3*4
А Б	шт. м	6,0 12,0	1,667 0,625	10,0 7,5
Итого	18,0	0,972	17,5

Расчет среднего арифметического индекса физического объема по формуле (8):

(данные для расчета среднего арифметического взвешенного индекса физического объема представлены в табл.4).

Индекс показывает, что объем продажи разнородных товаров (физический объем товарооборота) сократился в отчетном периоде по сравнению с базисным в среднем на 2,8% (97,2 - 100).

2.2. Построение, расчет и анализ среднего гармонического взвешенного индекса цен

Таблица 6

Исходные данные

Вид товара	Единица измерения	Товарооборот отчетного периода, млн. руб.	Относительное изменение цен (+,-), %
А Б	шт м	11,0 10,0	+10,0 +33,3

Для изучения относительного изменения уровня цен на разнородные товары в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом обычно рассчитывают агрегатный индекс цен по формуле (5), т.е.:

Однако, по исходным данным, приведенным в табл.6, такой индекс рассчитан быть не может, так как отсутствуют данные о товарообороте отчетного периода в ценах базисного периода. Для его определения используют формулу индивидуального индекса цен , из которой следует, что . Далее в знаменателе агрегатного индекса цен заменяют p₀ на выражение . Тогда формула индекса цен принимает следующий вид:

(9)

В таком виде индекс цен выступает как средняя гармоническая величина из индивидуальных индексов цен, взвешенных по товарообороту отчетного периода ( ).

Вначале необходимо определить индивидуальные индексы цен по каждому виду товара:

Товар А: i_p= 110.0% (100 + 10);

Товар Б: i_p= 133,3% (100 + 33,3).

(результаты расчетов представлены в гр.4, табл.7).

Таблица 7.

Таблица для расчета среднего гармонического индекса цен

Товар	Единица измерения	Товарооборот отчетного периода, млн. руб.	Индекс цен	Товарооборот отчетного периода в ценах базисного периода, млн. руб.
p1q1	ip	p0q1=
				5=3/4
А Б	шт. м.	11,0 10,0	1,1 1,333	10,0 7,5
Итого	21,0	1,2	17,5

Расчет среднего гармонического индекса цен по формуле (9):

(данные для определения среднего гармонического индекса цен взяты из табл.7, гр.3 и 5).

Рассчитанный индекс показывает, что цены по группе разнородных товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом повысились в среднем на 20,0% (120,0 - 100).

Разность между числителем и знаменателем индекса цен характеризует сумму переплаты, полученную в результате повышения цен:

Задание 3

Оценка роли отдельных факторов в изменении сложного явления путем построения системы взаимосвязанных индексов

Одним из направлений применения индексного метода является оценка роли отдельных факторов в изменении сложного явления. Под сложным явлением, в данном случае, понимают явление, изменение которого обусловлено действием нескольких факторов, выступающих как множители совокупного результата. К таким сложным явлениям может быть отнесена, например, стоимость реализованных товаров (товарооборот), изменение которой обусловлено изменением уровня цен и количества товаров (физического объема товарооборота).

Исходная информация для расчета системы взаимосвязанных индексов представлена в табл.8.

Таблица 8

Исходные данные

Вид товара	Ед.измерения	Количество реализованного товара, тыс.	Цена товара, руб.
Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
q0	q1	p0	p1
А	шт.
Б	м.

По исходным данным (табл. 8) необходимо выполнить следующее.

1. Рассчитать общие индексы товарооборота, цен и физического объема товарооборота и показать их взаимосвязь.

2. Определить абсолютное изменение товарооборота - общее и в результате влияния отдельных факторов (изменения цен и изменения физического объема товарооборота).

Выполнение задания 3

Целью выполнения данного задания является определение влияния отдельных факторов на изменение товарооборота.