Структурная и приведенная формы модели

Экономические процессы и явления, как правило, представляют собой сложные системы, характеризующиеся большим количеством параметров и сложными взаимосвязями. Использование отдельных изолированных урав-нений регрессии для исследования экономических процессов является сильным упрощением. Оно предполагает, что факторы можно изменять независимо друг от друга и что изменение зависимой переменной (результативного признака) никак ни влияет на поведение изучаемой системы. В случае сложных экономи-ческих систем такое предположение, как правило, не может быть выполнено , так как изменение какого- либо признака повлечет за собой изменения во всей сис-теме взаимосвязанных признаков. В таких ситуациях эконометрические модели строятся в виде систем эконометрических уравнений. Наиболее широко этот подход применяется в макроэкономических исследованиях, а также в ис-следованиях спроса и предложения.

Например, в рыночной экономике равновесные цены рассматриваются как результат взаимодействия спроса и предложения. При этом предложение товара в существенной степени зависит от сложившейся цены, а цена, в свою очередь, определяется величиной среднего дохода потребителя и имеющимся на рынке предложением товара. Соответствующая модель определяется системой из двух уравнений

Qt= a10	+ b11·Pt + ε1t,	(4.1)
Pt= a20+ b21·Qt+ a11·It+ε2t,

где P_t– средняя цена за единицу товара,Q_t– объем предложения товара,I_t– средний уровень дохода,t– означает текущий период времени,a₁₀,a₂₀,b₁₁,b₂₁– постоянные параметры,ε_1t,ε_2t– ошибки уравнений.

В качестве другого примера рассмотрим макроэкономическую модель

Клейна [2]:
CNt=α0+α1(W1t+ W2t) +α2Рt+α3Рt-1+ε1t,	(4.2)
It=β0+β1Рt+β2Рt-1+β3Kt-1+ε2t,	(4.3)
W1t=γ0+γ1Et+γ2Et-1+γ3T +ε3t,	(4.4)
Yt+ТХt≡ CNt+ It+ Gt,	(4.5)
Yt≡Рt + Wt,	(4.6)
Kt≡ It + Kt-1,	(4.7)
Wt= W1t+ W2t,	(4.8)
Et≡ Yt+ TXt– W2t.	(4.9)

Первое уравнение называется функций потребления. Оно соотносит по-требление CN и совокупный фонд заработной платы W, равный сумме заработ-ных плат работников занятых в частном секторе W₁, и государственном секторе W₂,а также текущий и лаговый незарплатный доход(прибыль)Р.

Второе уравнение называется функций инвестиций. Оно соотносит чистые инвестиции I с текущими и лаговыми прибылями Р и запасом капитала K в на-чале года:

Третье уравнение носит название уравнение спроса на труд. Оно соотносит фонд заработной платы в частном секторе W₁ с текущими и лаговыми перемен-ными, измеряющими частный продукт Е(определяемый как национальный до-ход Y плюс косвенные налоги на бизнес ТХ минус фонд оплаты труда в госу-дарственном секторе W₂), и временем Т, где Т измеряется как текущий год

(YEAR) минус 1931:

Случайные остатки ε_1t,ε_2t,ε_3t предполагаются сериально некоррелирован-ными (т. е. некоррелированными во времени).

Последние пять соотношений (4.4)–(4.8) представляют собой тождества. Первое тождество устанавливает, что совокупный национальный продукт есть сумма товаров и услуг, необходимых потребителям, плюс инвестиции и плюс чистый спрос правительства. Второе тождество постулирует, что совокупный доход – это сумма прибылей и заработных плат, а третье (не учитываемое в оценивании, но используемое в динамических «симуляционных» расчетах) оп-ределяет запас капитала на конец года как остаток капитала на конец года плюс чистые инвестиции за год. Последние два тождества определяют совокупный фонд заработной платы, как сумму фондов заработной платы частного и госу-дарственного секторов, и частный продукт, как совокупный продукт за вычетом фонда заработной платы в государственном секторе.

Переменные в системах эконометрических уравнений подразделяются на эндогенные и экзогенные.

Эндогенными переменными называются взаимозависимые переменные,которые определяются внутри модели (системы). Число эндогенных перемен-ных, обозначаемых обычно буквой y, равно числу уравнений системы.

Экзогенными (предопределенные)переменными называются переменные,которые определяются вне системы. Это независимые переменные, обозначае-мые буквой x. К предопределенным переменным относятся и лаговые (значения переменных за предыдущие моменты времени) переменные системы.

Разделение переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретиче-ских рассуждений, лежащих в основе модели. Чтобы отразить влияние эндо-генных переменных за предшествующие периоды у_t–1 на уровень эндогенных переменных в текущем периоде у_t, они вводятся в уравнения в качестве экзоген-

ных переменных.	Например, уровень ВВП текущего года (уt) не может счи-
таться независимым от уровня ВВП в предыдущем году (уt–1).
В рассмотренной выше модели Клейна:
CNt, It, W1t,	Yt, Рt, Кt, Wt, Et–эндогенные переменные;
Gt, W2t, ТХtи(YEAR – 1931) –экзогенные переменные;
Кt-1, Р t-1иEt-1	– лаговые переменные.
В общем случае система эконометрических уравнений с n зависимыми пе-
ременными yi имеет вид
y1	b12 y2	b13	y3	... b1nyna11x1	... a1mxm1;
y2	b21	y1	b23	y3	... b2nyna21x1	... a2mxm2 ;	(4.10)
.......................................................................................................
yn	bn1	y1	bn2	y2	... bnn1yn1an1	x1... anm xm n;

или в матричной форме

BY + AX = ε,

(4.11)

где

b12

...

b1n

a11

a12...

a1m

B

...

b

A

a

a

...

a

b

,

2m

,

(4.12)

2n

b

...

a

a

...

a

b

n1

n2

nm

n1

n2

y1

x1

Y

y

X

x

,

,

y

yx

n

m

n

Система (4.10) называется системой взаимозависимых,одновременных

уравнений, а также структурной формой модели, так как она показывает вза-имное влияние между всеми переменными модели.

Частными случаями системы (4.10) являются система независимых урав-нений, в которой каждая зависимая переменная y_i является функцией только предопределенных переменных х_i

y₁ a₁₁ x₁... a_1m x_m1; y₂ a₂₁ x₁... a_2m x_m2;

.........................................................

y_n a_n1 x₁... a_nm x_m;

и система рекурсивных уравнений

y₁ a₁₁ x₁... a_1m x_m1;

y2	b21 y1 a21 x1... a2m xm2;
y3	b31 y1 b32 y2 a31 x1... a3m xm3;

......................................................................

(4.13)

(4.14)

y_n b_n1 y₁ b_n2 y₂... b_nn1 y_n1 a_n1 x₁... a_nm x_{m n},

когда каждая зависимая переменная y_i является функцией только предопреде-ленных переменных х_i и зависимых переменных y_i, определенных в предыду-щих уравнениях системы.

В системах независимых и рекурсивных уравнений отсутствует взаимное влияние зависимых переменных, предпосылки регрессионного анализа не на-рушаются и поэтому для нахождения параметров а_ij и b_ij, называемых струк-турными коэффициентами,можно применять обычный МНК.

В моделях 4.10, 4.13, 4.14 отсутствуют свободные члены в каждом уравне-нии системы, так как предполагается, что значения переменных предваритель-но центрированы (выражены в отклонениях от среднего уровня).

Следует отметить, что структурная форма модели может включать не только уравнения, содержащие параметры (константы, подлежащие определению) и на-зываемые поведенческими уравнениями, но и тождества, т. е. уравнения, не со-

держащие параметров и определяющие фиксированные отношения между пере-менными, например, соотношения (4.4) – (4.9).

Наличие взаимозависимости между эндогенными переменными в системе одновременных уравнений (4.10) приводит к нарушению предпосылки о неза-висимости объясняющих переменных и случайных членов, в результате чего обычный метод наименьших квадратов будет давать несостоятельные и сме-щенные оценки параметров.

Если с помощью преобразований исключить зависимые переменные из правых частей уравнений (4.10), то полученная система уравнений называется

приведенной формой модели (ПФМ)

yˆ1 11 x1 12 x2...1m xm;
yˆ2 21 x1 22 x2...2m xm	;	(4.15)
.........................................................

yˆ_{n n1} x_1n2 x₂..._nm x_m,

параметры которой _ij являются алгебраическими функциями от структурных параметров и называются приведенными коэффициентами.

Например, для конъюнктурной модели, определяемой соотношениями:

Ct	a1	b11	Yt	b12	Ct1 u1	(функция потребления);
It	a2	b21	rt b22	It 1	u2	(функция инвестиций);	(4.16)
r	a		b	Y b	M	t	u		(функция денежного рынка);
t			t
Yt	Ct	It Gt						( тождество дохода),

где С– расходы на потребление,Y– ВВП,I– инвестиции ,r– процентная став-ка,М– денежная масса,G– государственные расходы,t и t–1 обозначают те-кущий и предыдущий периоды,u₁,u₂,u₃– случайные ошибки, приведенная форма модели будет иметь следующий вид:

Ct11 M t12 Gt13 Ct1 14 It1 1
It21 M t22 Gt23 Ct1 24 It1 2	(4.17)
rt31 M t32 Gt33 Ct1 34 It1 3
Yt41 M t42 Gt43 Ct1 44 It1 4

По своей структуре приведенная форма модели представляет собой систе-му независимых уравнений, поэтому ее параметры _ij можно оценивать с по-мощью обычного метода наименьших квадратов. Полученные численные зна-чения параметров _ij позволяют вычислять модельные значения эндогенных пе-ременных через предопределенные переменные. На этом процесс построения модели не заканчивается, так как для исследователя наибольший интерес пред-ставляют значения именно структурных коэффициентов а_ij и b_ij, характеризую-щих внутренние взаимосвязи в системе и допускающих экономическую интер-претацию.