Схема дисперсионного анализа

Вид дисперсии Сумма квадратов Число степеней свободы Средние квадраты (дисперсии)
Регрессия QR = å ( Схема дисперсионного анализа - student2.ru - Схема дисперсионного анализа - student2.ru 2 m-1 Схема дисперсионного анализа - student2.ru = QR / (m-1)
Остаточная Qe = å ( Схема дисперсионного анализа - student2.ru - Схема дисперсионного анализа - student2.ru )2 n-m s2 = Qe / (n-m)
Общая Q = å ( Схема дисперсионного анализа - student2.ru - Схема дисперсионного анализа - student2.ru )2 n-1  

Примечание: в графе 4 средние квадраты являются несмещенными оценками соответствующих дисперсиий.

Из схемы дисперсионного анализа: уравнение регрессии будет значимо на уровне a, если фактическое значение статистики F больше его табличного значения (отвергаем нулевую гипотезу Но о незначимости регрессии и принимаем конкурирующую с ней гипотезу Н1 о значимости):

Схема дисперсионного анализа - student2.ru , (2.33)

где Fa,k1,k2 - табличное (критическое) значение F-критерия Фишера-Снедекора для уровня значимости a, степеней свободы k1 = m-1, k2 = n-m.

Смысл статистики F прозрачен: его значение показывает, во сколько раз объясненная регрессией дисперсия Схема дисперсионного анализа - student2.ru СВ Схема дисперсионного анализа - student2.ru больше остаточной (необъясненной) дисперсии s2 СВ е. Чем больше это отношение, тем более значимо уравнение регрессии.

Для парной регрессии m=2 и критерий Фишера-Снедекора формулируется так:

уравнение значимо, если Схема дисперсионного анализа - student2.ru . (2.34)

Значимость уравнения парной регрессии можно равносильно оценить и иначе, по коэффициенту регрессии b1. Действительно, если нулевая гипотеза Но состоит в том, что b1 незначимо отличается от 0, и она подтверждается, то прямая регрессии расположена параллельно оси ОХ: объясняющая переменная Х ничего не объясняет. И наоборот: если b1 значимо отличается от 0, значит и все уравнение парной регрессии значимо.

Соответствующий критерий на основе статистики Стьюдента:

Но: b1=0 отвергается, если çt ç = ç Схема дисперсионного анализа - student2.ru Схема дисперсионного анализа - student2.ru ç > t1-a,n-2. (2.35)

Равносильность критериев для парной регрессии вытекает из их функциональной связи: F=t2.

Иногда эконометристу требуется оценить значимость коэффициента корреляции. Соответствующий критерий:

Но: r=0 отвергается, если çt ç =çr ç Схема дисперсионного анализа - student2.ru > t1-a,n-2. (2.36)

В теории и практике эконометрики используется еще один критерий качества регрессионной модели - коэффициент детерминации:



R2 = QR/Q = 1 - Qe/Q. (2.37)

Очевидно, что 0£QR£Q. Отсюда свойство коэффициента детерминации: 0 £ R2 £ 1. Значение R2 показывает, какую долю составляет вариация регрессионной переменной по отношению к общей вариации объясняемой переменной. Ясно, что чем ближе R2 к 1, тем регрессионная модель более адекватна, имеет большую прогностическую силу, лучше подходит к наблюденным данным.

Критерий значимости уравнения регрессии (2.33) можно эквивалентно записать с помощью коэффициента детерминации:

F = Схема дисперсионного анализа - student2.ru > Fa,k1,k2. (2.38)

Для парной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции: R2 = r2.

Вопросы для самоконтроля

1. В чем суть метода наименьших квадратов, наименьших модулей, в чем преимущество первого перед вторым?

2. В чем различия между параметрами bо, b1 и bo, b1?

3. Что общего и в чем отличие коэффициента r и ковариации Cov(Х, Y)?

4. Какой вывод следует из того, что r=0?

5. Приведите числовой пример выборки (хii) из 6 пар.

6. Назовите пять предпосылок, которым должна отвечать нормальная классическая линейная регрессионная модель.

7. Дайте определения типам оценок: несмещенная, состоятельная, эффективная. Являются ли эти оценки независимыми?

8. Какими свойствами обладают оценки bo и b1 по теореме Маркова?

9. В чем смысл метода максимального правдоподобия?

10. Определите понятия: доверительная вероятность, доверительный интервал.

11. Раскройте смысл понятия доверительного интервала для среднего Схема дисперсионного анализа - student2.ru (х).

12. Раскройте смысл понятия доверительного интервала для индивидуального значения Схема дисперсионного анализа - student2.ru (х).

13. Для оценки точности прогноза какой из двух типов доверительных интервалов вы выберете?

14. Верно ли суждение: чем больше уровень значимости, тем больше доверительный интервал?

15. Раскройте смыcл понятия: оценка значимости регрессии.

16. Проверьте истинность равенства (2.32) Q = QR + Qe для выборок Х=(2, 4, 6, 9) и Y=(1, 5, 6, 12).

17. Раскройте смысл выражения: Но: b1=0.

18. Каким образом коэффициент детерминации R2 характеризует значимость регрессии?

Наши рекомендации