На гетерокедастичность остатков

Практические рекомендации по выполнению расчетов

с помощью табличного редактора MS Excel

Представлены данные о доходах по акциям x и балансовой прибыли y по 11 предприятиям одной отрасли, ден. ед.

x
y

Необходимо:

1. Проверить гипотезу о наличии гетерокедастичности в линейной регрессии с помощью теста ранговой корреляции Спирмена при доверительной вероятности 0,95.

2. Проверить гипотезу о гетерокедастичности с помощью теста Гольфельда-Квандта.

3. Дайте график зависимости остатков регрессии от фактора x.

4. При положительных тестах на гетерокедастичность оцените ее количественно с помощью теста Уайта.

5. Попытаться сгладить гетерокедастичность с помощью обобщенного метода наименьших квадратов.

Решение.

1) Суть проверки заключается в том, что в случае гетерокедастичности абсолютные остатки коррелированны со значениями фактора . Эту корреляцию можно измерить с помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмена:

,

где d – абсолютная разность между рангами и . Статистическая значимость коэффициента оценивается по критерию Стьюдента. Расчетное значение t-критерия вычисляется по формуле:

.

Данная величина сравнивается с критической величиной при и числе степеней свободы . Если , то корреляция между и статистически значима, т.е. имеет место гетерокедастичность остатков. В противном случае принимается гипотеза об отсутствии гетерокедастичности остатков.

Прежде всего найдем уравнение линейной регрессии.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,970082893
R-квадрат	0,941060819
Нормированный R-квадрат	0,934512021
Стандартная ошибка	6,777232983
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия		6600,258	6600,258	143,6998
Остаток		413,378	45,93089
Итого		7013,636
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-0,525438344	3,681329	-0,14273	0,889647
x	3,230238574	0,269468	11,98748	7,77E-07

Уравнение регрессии .

Чтобы рассчитать параметр , составим вспомогательную таблицу. Рангом величин, выстроенных в упорядоченный ряд, называется их порядковый номер по возрастанию. Переменная x в условиях уже упорядочена. Ранги остатков предстоит найти либо вручную, либо с помощью функции Ранг.

	x	y		Остатки		Ранг x	Ранг	d	d2
			9,165277	2,834723	2,834723
			12,39552	0,604484	0,604484
			15,62576	4,374245	4,374245
			22,08623	-3,086233	3,086233
			25,31647	5,683528	5,683528
			31,77695	-7,77695	7,77695
			35,00719	5,992811	5,992811
			38,23743	-10,237428	10,237428
			47,92815	4,071855	4,071855
			64,07934	-9,07934	9,07934
			96,38173	6,61827	6,61827
Среднее				-3,18182E-06
Сумма

Тогда коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен . Для оценки его статистической значимости найдем расчетное значение критерия Стъюдента . По функции СТЬЮДРАСПОБР (вероятность0,05, степеней свободы ) находим соответствующее критическое значение Стьюдента . Делаем вывод о наличии гетерокедастичности в остатках регрессии.

2) Применим тест Гольдфельда-Квандта для подтверждения гетерокедастичности остатков.

В расчетной таблице разделим исходные данные на две примерно равные группы (верхнюю и нижнюю).

x	y		Остатки
		9,165277	2,834723
		12,39552	0,604484
		15,62576	4,374245
		22,08623	-3,086233
		25,31647	5,683528
		31,77695	-7,77695
		35,00719	5,992811
		38,23743	-10,237428
		47,92815	4,071855
		64,07934	-9,07934
		96,38173	6,61827

Построим линейную регрессию по каждой группе.

Для верхней группы

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,890348
R-квадрат	0,79272
Нормированный R-квадрат	0,723627
Стандартная ошибка	3,986411
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия		182,3256	182,3256	11,47317
Остаток		47,67442	15,89147
Итого
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	1,418605	5,488159	0,258485	0,812752
Переменная X 1	3,255814	0,961209	3,387207	0,042863

Из всего объема данных нам необходима только остаточная дисперсия , которая в протоколе регрессии обозначена как остаток SS. .

Для нижней группы

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,964861689
R-квадрат	0,930958079
Нормированный R-квадрат	0,913697599
Стандартная ошибка	8,389255527
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		3795,982	3795,982	53,93582	0,00183
Остаток		281,5184	70,37961
Итого		4077,5
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%
Y-пересечение	-8,661290323	8,753454	-0,98947	0,378445	-32,9648
Переменная X 1	3,622119816	0,493201	7,344101	0,00183	2,252774

.

Расчетное значение теста получается как отношение большей остаточной дисперсии к меньшей. . Критической значение теста получаем по функции FРАСПОБР, в которой число степеней свободы равно

, в данном случае оно равно 6,59. Поскольку расчетное значение больше критического, остатки признаются гетерокедастичными.

3) Применим тест Уайта, чтобы количественно оценить зависимость дисперсии остатков от значений фактора x.

В эконометрических исследованиях достаточно часто выдвигается гипотезы о том, что

· остатки пропорциональны значениям фактора x: ;

· дисперсия остатков прямопропорциональна самим значениям x, т.е. ;

· зависимость между дисперсией остатков и значениями фактора x квадратичная .

Параметры этих регрессии можно найти МНК. Составим расчетную таблицу.

x	y		Остатки
		9,165277	2,834723	8,035654487
		12,39552	0,604484	0,365400906
		15,62576	4,374245	19,13401932
		22,08623	-3,086233	9,52483413
		25,31647	5,683528	32,30249053
		31,77695	-7,77695	60,4809513
		35,00719	5,992811	35,91378368
		38,23743	-10,237428	104,8049321
		47,92815	4,071855	16,58000314
		64,07934	-9,07934	82,43441484
		96,38173	6,61827	43,80149779

Для регрессии пользуемся Сервис/Анализ данных/Регрессия/…Поставить флажок «Константа-нуль».

Получаем протокол

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,304158793
R-квадрат	0,092512571
Нормированный R-квадрат	-0,01859854
Стандартная ошибка	6,104515756
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		34,19047	34,19047084	0,917493	0,366182
Остаток		335,386	37,26511262
Итого		369,5765
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение		#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
Переменная X	-0,172201879	0,179778	-0,957858421	0,363156

Результат неудовлетворительный, коэффициент детерминации всего 0,09.

Аналогично строим регрессию , взяв в качестве входного интервала Y столбец . Получаем протокол

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,864535947
R-квадрат	0,747422404
Нормированный R-квадрат	0,636311293
Стандартная ошибка	26,25750385
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		18362,0291	18362,0291	26,632614	0,000862939
Остаток		6205,108576	689,4565085
Итого		24567,13768
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение		#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
Переменная X 1	3,990668767	0,773283573	5,160679613	0,0005945

В данном уравнении достаточная степень детерминации – 0,74, кроме того значимость по критерию Фишера не превосходит допустимые 5% ошибки в расчетах. Принимаем гипотезу о том, что дисперсия остатков прямопропорциональна самим значениям x.

Для проверки гипотезы о квадратичной зависимости решают методом определителей систему уравнений (см. ЛР Нелинейная регрессия):

Определяют индекс корреляции . О наличии или отсутствии гетерокедастичности судят по величине F-критерия Фишера для функции , . При выполнении условия имеет место гетерокедастичность остатков и количественно она выражена значением . По данному расчету предположение о квадратичной зависимости дисперсии остатков от значений x не проверяем (поскольку принята гипотеза ).

5) Улучшим модель, смягчив гетерокедастичность, пользуясь обобщенным методом наименьших квадратов. Если , тогда сами остатки пропорциональны .

Чтобы избавиться от этого, разделим уравнение линейной регрессии на . Получим преобразованное уравнение регрессии, в котором можно сделать замену переменной:

. Пусть , , . Тогда .

Построим вспомогательную таблицу

x	y	X	z	Y
		1,732051	0,577350269	6,92820323
			0,5	6,5
		2,236068	0,447213595	8,94427191
		2,645751	0,377964473	7,181324987
		2,828427	0,353553391	10,96015511
		3,162278	0,316227766	7,589466384
		3,316625	0,301511345	12,36196513
		3,464102	0,288675135	8,082903769
		3,872983	0,25819889	13,42634227
		4,472136	0,223606798	12,29837388
		5,477226	0,182574186	18,80514114

Протокол регрессионного анализа имеет вид:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,986894
R-квадрат	0,9739597
Нормированный R-квадрат	0,8599553
Стандартная ошибка	1,9415488
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия		1268,921	634,4607182	168,3092927
Остаток		33,92651	3,769611932
Итого		1302,848
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение		#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
X	3,02343	0,296117	10,21024561	3,00843E-06
z	1,8246585	2,72558	0,669456856	0,520006975

Получаем уравнение регрессии . Или .

Показатели статистической значимости уравнения регрессии улучшены. Увеличился коэффициент детерминации с 94% до 97%. Существенно уменьшилась остаточная дисперсия с 413 ед. до 33 ед.

Задание для самостоятельной работы

По своим данным лабораторной работы №1 выполнить анализ гетерокедастичности остатков. А именно:

1. Проверить гипотезу о наличии гетерокедастичности в линейной регрессии с помощью теста ранговой корреляции Спирмена при доверительной вероятности 0,95.

2. Проверить гипотезу о гетерокедастичности с помощью теста Гольфельда-Квандта.

3. Оцените количественно гетерокедастичность остатков, если она присутствует.

4. При наличии гетерокедастичности, применить обобщенный МНК для ее сглаживания.