Стохастические объясняющие переменные. Последствия ошибок измерения

Основные идеи экономики — взаимосвязь между экономическими переменными. Спрос на товар на рынке рассматривается как функция его вены. Затраты на изготовление какого-либо продукта — функция от объе­ма производства. Потребительские расходы — функция дохода и т.п. Это примеры взаимосвязей между двумя переменными, одна из которых (спрос на товар, производственные затраты, потребительские расходы) является объясняемой переменной (результирующим показателем),а другие — объясняющими переменными (факторы-аргументами).

Как правило, в каждое такое соотношение приходится вводить несколько объясняющих переменных и остаточную случайную составляющую, отражающую влияние на результирующий показатель всех неучтенных факторов. Например, спрос на товар можно рассматривать как функцию его цены, потребительского дохода и цен на конкурирующие и дополняющие товары. Производственные затраты зависят от объема производства, его динамики, цен на основные производственные ресурсы. Потребительские расходы — функция дохода, ликвидных активов и предыдущего уровня потребления.

Участвующая в каждом из этих соотношений случайная состав­ляющая, отражающая влияние на результирующий показатель всех неуч­тенных факторов, обусловливает стохастический характерзависимости: даже зафиксировав значения объясняющих переменных (например, цена на сам товар и на конкурирующие с ним или дополняющие товары, а также потребительский доход), мы не можем ожидать однозначно,каким будет спрос на данный товар. Иначе говоря, переходя в своих наблюдениях спроса от одного временного (илипространственного) промежутка к дру­гому, мы увидим случайное варьированиеспроса около некоторого оп­ределенного уровня даже при фиксировании всех объясняющих перемен­ных.

Ошибки

Допустим, переменная у зависит от переменной z, что задано следующим соотношением:

где v — случайный член с нулевым средним и дисперсией σ_v².

Предположим, что z невозможно измерить абсолютно точно, и мы будем использовать х для обозначения его измеренного значения. В i-м наблюдении x_i равно истинному значению z_i, плюс ошибка измерения w_i:

x_i = z_i + w_i

Допустим, что w имеет нулевое среднее и дисперсию σ _i², что D (z) в 6oльших выборках стремится к конечному пределу σ_z² и что z и v распределены независимо.

Тогда получим:

Это уравнение имеет две случайные составляющие — первоначальный случай­ный член v и ошибку измерения w (умноженную на —β). Вместе они образуют составную случайную переменную, которую мы назовем e:

Соотношение можно теперь записать как

Имея значения переменных у (временно будем предполагать, что они изме­рены точно) и х, мы, несомненно, можем оценить регрессионную зависи­мость у от х.

Анализируя ошибку, можно заметить, что она, вероятно, поведет себя не так, как требуется. Переменная х зависит от w, от этой величины зависит также и e. Когда ошибка измерения в наблюдении оказывается положительной, происходят две вещи: х, имеет положительную составляющую w_i, a e_j имеет отрицательную составляющую —βw_i.. Аналогично, если ошибка измерения отри­цательна, она вносит отрицательный вклад в величину х_i и положительный вклад в величину e_г Следовательно, корреляция между х и e отрицательна. Величина cov (х, и) не равна нулю, а b является несостоятельной оценкой β.

Даже если бы у нас была очень большая выборка, оценка оказалась бы не­точной. Она бы занижала β на величину

.

Таким образом, оценки МНК будут смещенными и несосстоятельными.

В то же время при ощибках измерения зависимой переменной лишь возрастает дисперся регрессии, а оценки параметров остаются несмещенными и состоятельными.