Задача потребительского выбора и ее графическая интерпретация

Потребитель на рынке совершенной конкуренции осуществляет выбор между двумя взаимозаменяемыми благами и , цены которых равны и соответственно. Бюджет потребителя равен M денежных единиц.

Определение 2.4. Бюджетной линией или изокостой бюджетного множества потребителя называется геометрическое место точек, включающих следующие комбинации благ в пространстве :

(2.9)

Условие (2.9) задает прямую, ограничивающую (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Бюджетное множество наборов потребительских благ для случая двух благ.

Преобразовав (2.9), получим:

(2.10)

(предполагая ).

Соотношение (2.10) показывает, что изокосты обладают следующими свойствами:

­ параллельны и характеризуются отрицательным угловым коэффициентом, равным обратному отношению цен благ;

­ при неизменных ценах включенных в потребительский набор благ большему значению бюджета соответствует более высокая бюджетная линия.

Таким образом, бюджетная линия ограничивает область возможного выбора потребителя, а ее наклон характеризует соотношение цен приобретаемых благ.

Задача потребительского выбора связана с выбором набора благ , обладающего для потребителя максимальной порядковой полезностью, определяемой значением .

Графическая иллюстрация задачи потребительского выбора приведена на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Графическая иллюстрация задачи потребительского выбора для случая набора из двух благ.

Принадлежность неоклассической СФПП s New Roman"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>X</m:t></m:r></m:e></m:acc></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> классу дважды непрерывно дифференцируемых функций позволяет рассматривать формализованную постановку задачи потребительского выбора.

Содержание модели потребительского выбора состоит в определении наборов потребительских благ из бюджетного множества потребителя, обладающих наибольшей порядковой полезностью с позиции его предпочтений:

(2.11)

(2.12)

. (2.13)

В отличие от модели минимизации производственных издержек с нелинейной системой ограничений и линейным функционалом, модель потребительского выбора, задаваемая системой соотношений (2.11)-(2.13), является диаметрально противоположной: целевая функция нелинейна, а система ограничений – линейная. При этом систему ограничений модели потребительского выбора составляют бюджетное ограничение потребителя и условия неотрицательности объемов потребляемых благ, а в качестве функционала используется СФПП s New Roman"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>X</m:t></m:r></m:e></m:acc></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

В силу выпуклости отношения предпочтения « » и ограниченности экономической области потребителя Ω, можно утверждать, что оптимизационная задача (2.11)-(2.13) имеет и притом единственное решение , задающее функцию спроса потребителя на приобретаемые блага при заданном уровне цен и бюджете.

Рассмотрим ограничение (2.12). Поскольку является неиспользованным остатком бюджета M, то, увеличивая потребление любого (например, i - го) блага на величину , можно сформировать новый набор благ , который в силу свойства ненасыщаемости отношения потребительского предпочтения строго доминирует исходный, т.е. , а, следовательно, для него справедливо: .

Последнее противоречит оптимальности набора , доставляющего максимум СФПП s New Roman"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>X</m:t></m:r></m:e></m:acc></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

С учетом сделанного замечания ограничение (2.12) может быть заменено на следующее:

(2.12’)

Для решения задачи потребительского выбора (2.11), (2.12’), (2.13), являющейся задачей на условный экстремум с ограничениями в виде равенств, следует использовать необходимые и достаточные условия оптимальности решения, вытекающие из теоремы Куна-Таккера и составить функцию Лагранжа, которая для случая с критерием на максимум записывается следующим образом:

. (2.14)

Оптимальное решение задачи (2.11), (2.12’), (2.13) найдем, решая следующую систему уравнений, отражающую необходимые условия экстремума функции Лагранжа:

; (2.15)

; (2.16)

, (2.13’)

Преобразуя соотношения (2.15), (2.16), получим:

; (2.15’)

(2.12’’)

Непосредственным следствием уравнений (2.15’) являются следующие соотношения, составляющие выводы неокейнсианской теории предельной полезности благ:

­ в точке оптимума предельные полезности благ прямо пропорциональны их рыночным ценам ^[2], :

; (2.17)

­ в точке оптимума предельная полезность блага, приходящаяся на ед. его рыночной стоимости, одинакова для всех благ набора и совпадает с множителем Лагранжа :

. (2.18)

Воспользовавшись результатом (2.18), являющимся следствием математической модели потребительской изокванты, и соотношением (2.17), можно заключить, что в точке предельная норма замены потребительских благ обратно пропорциональна их рыночным ценам:

. (2.19)

Экономическая интерпретация множителя Лагранжа в модели потребительского выбора связана с ограничением (2.12’): совпадает с предельной полезностью бюджетных средств потребителя.