Распространение выборочных результатов на генеральную совокупность

Конечной целью выборочного наблюдения является характеристика генеральной совокупности на основе выборочных результатов. Выборочные средние и относительные величины распространяют на генеральную совокупность с учетом предела их возможной ошибки.

В каждой конкретной выборке расхождение между выборочной средней и генеральной, т.е может быть меньше средней ошибки выборки m, равно ей или больше ее.

Причем каждое из этих расхождений имеет различную вероятность (объективную возможность появления события). Поэтому фактические расхождения между выборочной средней и генеральной можно рассматривать как некую предельную ошибку, связанную со средней ошибкой и гарантируемую с определенной вероятностью (Р).

Предельную ошибку выборки для средней () при повторном отборе можно рассчитать по формуле:

(7.20)

где t _ нормированное отклонение _ «коэффициент доверия», зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки;

_ средняя ошибка выборки.

Аналогичным образом может быть записана формула предельной ошибки выборки для доли , при повторном отборе:

(7.21)

При случайном бесповторном отборе в формулах расчета предельных ошибок выборки (7.20) и (7.21) необходимо умножить подкоренное выражение на .

Формула предельной ошибки выборки вытекает из основных положений теории выборочного метода, сформулированных в ряде теорем теории вероятностей, отражающих закон больших чисел.

На основании теоремы П.Л.Чебышева (с уточнениями A.M.Ляпунова) с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной генеральной дисперсии выборочные обобщающие показатели (средняя, доля) будут сколь угодно мало отличаться от соответствующих генеральных показателей.

Применительно к нахождению среднего значения признака эта теорема может быть записана так:

(7.22)

а для доли признака:

(7.23)

где

(7.24)

Таким образом, величина предельной ошибки выборки может быть установлена с определенной вероятностью.

Значения функции при различных значениях t как коэффициента кратности средней ошибки выборки, определяются на основе специально составленных таблиц. Приведем некоторые значения, применяемые наиболее часто для выборок достаточно большого объема (n ³ 30):

Предельная ошибка выборки отвечает на вопрос о точности выборки с определенной вероятностью, значение которой определяется коэффициентом t (в практических расчетах, как правило, заданная вероятность не должна быть менее 0,95). Так, при t = 1 предельная ошибка составит D = m.

Следовательно, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что разность между выборочными и генеральными показателями не превысит одной средней ошибки выборки. Другими словами, в 68,3% случаев ошибка репрезентативности не выйдет за пределы ±1m.

При t = 2 с вероятностью 0,954 она не выйдет за пределы ±2m, при t = 3 с вероятностью 0,997 _ за пределы ±3m и т.д.

Как видно из приведённых выше значений функции (см. последнее значение) вероятность появления ошибки, равной или большей утроенной средней ошибки выборки, т.е. D ³ 3m, крайне мала и равна 0,003, т.е. 1_0,997. Такие маловероятные события считаются практически невозможными, а поэтому величину Д = 3m можно принять за предел возможной ошибки выборки.

Выборочное наблюдение проводится в целях распространения выводов, полученных по данным выборки, на генеральную совокупность. Одной из основных задач является оценка по данным выборки исследуемых характеристик (параметров) генеральной совокупности.

Предельная ошибка выборки позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы:

а) для средней: (7.25)

б) для доли: (7.26)

Это означает, что с заданной вероятностью можно утверждать, что значение генеральной средней следует ожидать в пределах от до .

Аналогичным образом может быть записан доверительный интервал генеральной доли: ; .

Рассмотрим нахождение средних и предельных ошибок выборки, определение доверительных пределов средней и доли на конкретных примерах.