Показатели относительного рассеивания

Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляется как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.

1. коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.

3. Коэффициент вариации.

Учитывая, что среднеквадратическое отклонение дает обобщающую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.

Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий в данной совокупности. Исчисляется общая дисперсия по формуле

где х₀ – общая для всей изучаемой совокупности.

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых (частных) средних х_i около общей средней х₀. Межгрупповая дисперсия вычисляется по формуле:

где х_i – средняя по отдельным группам;

х₀ – средняя общая;

f_i – численность отдельных групп.

Средняя внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе. Эта вариация возникает под влиянием других, не учитываемых факторов и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки:

Определяется по формуле:

Дисперсия альтернативного (качественного) признака. В статистике наряду с показателями вариации количественного признака определяются показатели вариации альтернативного признака. Альтернативными являются признаки, которыми обладают одни единицы изучаемой совокупности и не обладают другие. При статистическом выражении колеблемости альтернативных признаков наличие изучаемого признака обозначается 1. А его отсутствие – 0. Доля вариантов, обладающих изучаемым признаком, обозначается р, а доля вариантов, не обладающих признаком, обозначается q. Следовательно,

Р + q = 1

Значение показателей вариации заключается в следующем:

1. Показатели вариации дополняют средние величины, за которыми скрываются индивидуальные различия.

2. Показатели вариации характеризуют степень однородности статистической совокупности по данному признаку.

3. Показатели вариации характеризуют границы вариации признака.

4. Соотношение показателей вариации характеризует взаимосвязь между признаками.

Пример решение задачи

Задача 3.1. Имеется статистическая информация о фондоотдаче тридцати организаций, руб.:

1,05; 0,96; 1,12; 1,19; 1,08; 1,98; 1,3; 1,16; 1,065; 1,0; 1,1; 1,23; 1,13; 1,03; 0,9; 1,06; 1,15; 1,07; 1,17; 0,94; 1,02; 1,06; 1,18; 0,99; 1,1; 1,28; 1,09; 1,25; 1,04; 1,12.

1. Постройте статистический ряд распределения организаций по фондоотдаче, образовав пять групп с равными интервалами.

2. Рассчитайте характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, моду и медиану, квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

3. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3. Объясните причину их расхождения.

Решение:

Необходимо построить ряд распределения организаций по признаку «фондоотдача», образовав пять групп с равными интервалами. Величину интервала группировки организаций по фондоотдаче определяем по формуле:

руб.

Таким образом, интервалы получились: 0,9 – 0,98; 0,98 – 1,06; 1,06 – 1,14; 1,14 – 1,22; 1,22 – 1,3.

Подсчитаем частоты, частости и накопленные частоты и представим результаты в таблице 3.1:

Таблица 3.1

Ряд распределения организаций по фондоотдаче

Группы организаций по фондоотдаче, руб.	Число организаций, f	Число организаций в % к итогу	Накопленные частоты, F	Х
А
0,9 – 0,98 0,98 – 1,06 1,06 – 1,14 1,14 – 1,22 1,22 – 1,3		23,333 36,667 26,667 13,333		0,94 1,02 1,1 1,18 1,26

2. Чтобы найти моду, первоначально определим модальный интервал данного ряда. Из таблицы 3.1 видно, что наибольшая частота соответствует интервалу, где значение варианты лежит в пределах от 1,06 до 1,14. Это и есть модальный интервал. Для расчета определенного значения модальной величины признака, заключенного в этом интервале, применяют такую формулу:

.

где х₀ – нижняя граница модального интервала, в нашем случае 1,06;

i - величина интервала группировки, в нашем примере 0,08;

f₁ - частота интервала, предшествующему модальному (7);

f₂ - частота модального интервала (11);

f₃ - частота интервала следующего за модальным (5).

Подставляя числовые значения из нашего задания в эту формулу, получим:

руб.

Исчислим теперь медиану. Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряде определим сначала интервал, в котором она находится (медианный интервал).

Половина суммы частот у нас равна 15. Следовательно, согласно табл. 3.1 медианным интервалом у нас будет интервал со значением фондоотдачи от 1,06 до 1,14.

Формула для исчисления медианы в вариационном интервальном ряде будет иметь такой вид:

,

где х₀ – нижняя граница медианного интервала;

N_Ме – номер медианы;

F_Ме-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

f_Ме – частота медианного интервала.

Подставляя в эту формулу значения, получим:

руб.

Средняя арифметическая для ряда распределения определяется по формуле средней арифметической взвешенной ( см. табл. 3.2, гр.3):

руб.

Следовательно, средняя арифметическая равна 1,1; мода-1,092 и медиана- 1,096. Соотношение этих трех величин указывает на направление и степень асимметрии распределения. Так как значение средней арифметической больше значения медианы и моды, то есть 1,1 >1,096>1,092, то это правосторонняя асимметрия (положительная). Правосторонняя асимметрия свидетельствует о прогрессивном развитии отрасли, о том, что оно идет в сторону увеличения эффективности использования основных производственных фондов (увеличения фондоотдачи) организаций.

Чтобы вычислить среднее квадратическое отклонение, нужно определить дисперсию признака. Формула этого показателя такая:

Корень квадратный из дисперсии и будет средним квадратическим отклонением:

Проделаем в таблице 3.2 необходимые расчеты для нахождения дисперсии, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации.

Таблица 3.2

Вычисление дисперсии, среднего квадратического отклонения

и коэффициента вариации

Группы организаций по фондоотдаче, руб.	Число организаций, f	X	Xf
А
0,9 – 0,98 0,98 – 1,06 1,06-1,14 1,14 – 1,22 1,22 – 1.3		0,94 1,02 1,1 1,18 1,26	2,82 7,14 12,1 5,9 5,04	0,026 0,006 0,006 0,026	0,078 0,042 0,036 0,104
Итого:				0,064	0,26

руб.

Анализ полученных данных говорит о том, что фондоотдача организаций отличается от средней фондоотдачи на 0,94 руб., или на 8,55%. Значение коэффициента вариации v не превышает 40 %. Отсюда следует, что вариация фондоотдачи не высокая и средняя фондоотдача, рассчитанная по средней арифметической взвешенной, является типичной, надежной величиной, свидетельствующей об однородности совокупности.

3. Вычислим среднюю арифметическую по исходным данным и сравним ее с аналогичным показателем, рассчитанным по таблице 3.4. Средняя арифметическая для первичных данных вычисляется по формуле простой средней арифметической:

, руб.

Данный результат, полученный на основе средней арифметической простой, отличается от средней арифметической взвешенной. Это объясняется тем, что в расчете на основе ряда распределения мы уже не располагаем исходными индивидуальными данными, а вынуждены ограничиваться сведениями о величине середины интервала.