Методы Бокса-Дженкинса (ARIMA)

Введение

Методы прогнозирования, основанные на сглаживании, экспоненциальном сглаживании и скользящем среднем

· "Наивные" модели прогнозирования

· Средние и скользящие средние

· Методы Хольта и Брауна

· Метод Винтерса

Регрессионные методы прогнозирования

Декомпозиция временных рядов

Методы Бокса-Дженкинса (ARIMA)

• Авторегрессионные модели AR(p)
• Модели скользящего среднего MA(q)
• Метод с авторегрессией и скользящим средним ARMA(p,q)
• Метод ARIMA(p,r,q)
• Сезонное расширение ARIMA(p,r,q)(P,R,Q)
• 5..Нейросетевые модели бизнес-прогнозирования
• Использование многослойных персептронов
• Использование нейронных сетей с общей регрессией GRNN и GRNN-GA

Введение

До недавнего времени (середины 80-х годов прошлого века) существовало несколько общепризнанных методов прогнозирования временных рядов:

• Эконометрические
• Регрессионные
• Методы Бокса-Дженкинса (ARIMA, ARMA)

Однако, начиная с конца 80-х годов, в научной литературе был опубликован ряд статей по нейросетевой тематике, в которых был приведен эффективный алгоритм обучения нейронных сетей и доказана возможность их использования для самого широкого круга задач.

Эти статьи возродили интерес к нейросетям в научном сообществе и последние очень скоро стали широко использоваться при исследованиях в самых разных областях науки от экспериментальной физики и химии до экономики.

Кстати, некоторые сотрудники компании "Нейропроект" начали заниматься нейронными сетями именно в то время, используя их для обработки результатов физических экспериментов.

Отчасти из-за относительной сложности и недетерминированности нейронных сетей и генетических алгоритмов, эти технологии не сразу вышли за рамки чисто научного применения. Тем не менее, с течением времени уровень доверия к новым технологиям повышался и со стороны бизнеса. С начала 90-х годов начали регулярно появляться сообщения об установках нейросетевых систем в разных компаниях, банках, корпоративных институтах. Причем сфера использования новых технологий была очень многогранной - оценка рисков, контроль технологических процессов, управление роботами и многое другое.

Одним из самых успешных приложений нейронных сетей было прогнозирование временных рядов. Причем самым массовым было

• Прогнозирование на финансовых рынках
• Прогнозирование продаж

В настоящее время можно с уверенностью сказать, что использование нейронных сетей при прогнозировании дает ощутимое преимущество по сравнению с более простыми статистическими методами.

Методы прогнозирования, основанные на сглаживании, экспоненциальном сглаживании и скользящем среднем

"Наивные" модели прогнозирования

При создании "наивных" моделей предполагается, что некоторый последний период прогнозируемого временного ряда лучше всего описывает будущее этого прогнозируемого ряда, поэтому в этих моделях прогноз, как правило, является очень простой функцией от значений прогнозируемой переменной в недалеком прошлом.

Самой простой моделью является

Y(t+1)=Y(t),

что соответствует предположению, что "завтра будет как сегодня".

Вне всякого сомнения, от такой примитивной модели не стоит ждать большой точности. Она не только не учитывает механизмы, определяющие прогнозируемые данные (этот серьезный недостаток вообще свойственен многим статистическим методам прогнозирования), но и не защищена от случайных флуктуаций, она не учитывает сезонные колебания и тренды. Впрочем, можно строить "наивные" модели несколько по-другому

Y(t+1)=Y(t)+[Y(t)-Y(t-1)],

Y(t+1)=Y(t)*[Y(t)/Y(t-1)],

такими способами мы пытаемся приспособить модель к возможным трендам

Y(t+1)=Y(t-s),

это попытка учесть сезонные колебания

Средние и скользящие средние

Самой простой моделью, основанной на простом усреднении является

Y(t+1)=(1/(t))*[Y(t)+Y(t-1)+...+Y(1)],

и в отличии от самой простой "наивной" модели, которой соответствовал принцип "завтра будет как сегодня", этой модели соответствует принцип "завтра будет как было в среднем за последнее время". Такая модель, конечно более устойчива к флуктуациям, поскольку в ней сглаживаются случайные выбросы относительно среднего. Несмотря на это, этот метод идеологически настолько же примитивен как и "наивные" модели и ему свойственны почти те же самые недостатки.

В приведенной выше формуле предполагалось, что ряд усредняется по достаточно длительному интервалу времени. Однако как правило, значения временного ряда из недалекого прошлого лучше описывают прогноз, чем более старые значения этого же ряда. Тогда можно использовать для прогнозирования скользящее среднее

Y(t+1)=(1/(T+1))*[Y(t)+Y(t-1)+...+Y(t-T)],

Смысл его заключается в том, что модель видит только ближайшее прошлое (на T отсчетов по времени в глубину) и основываясь только на этих данных строит прогноз.

При прогнозировании довольно часто используется метод экспоненциальных средних, который постоянно адаптируется к данным за счет новых значений. Формула, описывающая эту модель записывается как

Y(t+1)=a*Y(t)+(1-a)*^Y(t),

где Y(t+1) – прогноз на следующий период времени

Y(t) – реальное значение в момент времени t

^Y(t) – прошлый прогноз на момент времени t

a – постоянная сглаживания (0<=a<=1))

В этом методе есть внутренний параметр a, который определяет зависимость прогноза от более старых данных, причем влияние данных на прогноз экспоненциально убывает с "возрастом" данных. Зависимость влияния данных на прогноз при разных коэффициентах a приведена на графике.

Видно, что при a->1, экспоненциальная модель стремится к самой простой "наивной" модели. При a->0, прогнозируемая величина становится равной предыдущему прогнозу.

Если производится прогнозирование с использованием модели экспоненциального сглаживания, обычно на некотором тестовом наборе строятся прогнозы при a=[0.01, 0.02, ..., 0.98, 0.99] и отслеживается, при каком a точность прогнозирования выше. Это значение a затем используется при прогнозировании в дальнейшем.

Хотя описанные выше модели ("наивные" алгоритмы, методы, основанные на средних, скользящих средних и экспоненциального сглаживания) используются при бизнес-прогнозировании в не очень сложных ситуациях, например, при прогнозировании продаж на спокойных и устоявшихся западных рынках, мы не рекомендуем использовать эти методы в задачах прогнозирования в виду явной примитивности и неадекватности моделей.

Вместе с этим хотелось бы отметить, что описанные алгоритмы вполне успешно можно использовать как сопутствующие и вспомогательные для предобработки данных в задачах прогнозирования. Например, для прогнозирования продаж в большинстве случаев необходимо проводить декомпозицию временных рядов (т.е. выделять отдельно тренд, сезонную и нерегулярную составляющие). Одним из методов выделения трендовых составляющих является использование экспоненциального сглаживания.