Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости

Всякая прямая линия определяется в заданной прямоугольной декартовой системе координат Оху уравнением первой степени относительно переменных х и у.

Ах + Ву + С=0(6.2.1)

общее уравнение прямой, гдеАи В - координаты одного из нормальных векторов этой прямой.

(6.2.2)

каноническое уравнение прямой, где (х₀,у₀) -координаты точки, черезкоторую проходит прямая, lи т-координаты направляющего вектора .

M0(x0,y0)

xCosa+yCosβ-p = 0 (6.2.3)

нормированное уравнение прямой, где Cosa,Cosβ - координаты единичного вектора нормали прямой (он направлен из начала координат к прямой), р- расстояние прямой от начала координат .

y

X

O

p

Из уравнений (1)-(3) могут быть получены удобные в геометрическом смыслеуравнения:

у = кх + b (6.2.4)

уравнение с угловым коэффициентом к = tga, α - угол наклона прямой к осиОх, b - величина отрезка, отсекаемого на оси Оу.

у

х

b

a

(6.2.5)

уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х₁ ,у₁) и (х₂ ,у₂).

(6.2.6)

параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (х_о,у_о) в направлении вектора = {1,т).

(6.2.7)

уравнение прямой «в отрезках», где а и bвеличины отрезков отсекаемых прямой на осях охи оу соответственно.

Взаимное расположение двух прямых, заданных уравнениями (1),(2),(3), вполне определяется взаимным расположением векторов с ними связанных, поэтому условия параллельности, ортогональности и угол между прямыми получены из соответствующих условий для векторов. Для прямых, заданных уравнениями вида (4), выпишем эти условия. Если y=k₁х + b₁и у = к₂х + Ь₂уравнения этих прямых, то

k₁ =k₂–условие параллельности, (6.2.8)

k₁×k₂=-1 –условие перпендикулярности, (6.2.9)

-тангенс угла между прямыми (6.2.10)

Если дана прямая общим уравнением Aх + Ву + С=О, то его можно нормировать умножением на нормирующий множитель

, (6.2.11)

где знак выбирается противоположным знаку свободного члена С из общего уравнения

μАх + μBу + μC = 0

Нормированное уравнение позволяет получить отклонение δ и расстояние dдля данной точки М₀(х₀,у₀) от прямой по формуле δ = х₀cosα + у₀cosβ - ρ,

. (6.2.12)

Пример6.2.1. Найти угол между прямыми

.

Решение.

,

тогда другой угол между прямыми 135°.

Пример 6.2.2. Найти проекцию точки М_о(4,9) на прямую, проходящую через точки М₁(3,1) и М₂(5,2).

Решение. Найдем уравнение прямой М₁М₂ по формуле (5)

,

откуда . Ищем уравнение перпендикуляра к этой прямой, проходящего через точку М_ов виде (4). Пользуясь условиемперпендикулярности к_гк₁=-1, найдем . Так как координаты М_одолжны удовлетворять искомому уравнению, то в уравнение у=-2x+bподставим координаты М_о: 9 =-2×4+b.

Получим b= 17. Точка пересечения заданной прямой и этого перпендикулярадаст проекцию М_она данную прямую.

Решим систему:

.

Получим х= 7,у = 3.

Пример 6.2.3. Найти расстояние между параллельными прямыми

у=2х-З и у=2х + 5.

Решение. На первой прямой найдем какую-нибудь точку. Пусть х =1, тогда у=-1. Получим точку М_о(1,-1).

Приведем уравнение второй прямой к нормированному виду:

2x-y+5=0, ,

- нормированное уравнение. Тогда по формуле (6.2.12) получим

(лин.ед.)

Плоскость

Уравнение плоскости с нормальным вектором = {А,В,С} и проходящей через точку M₀(x₀,y₀,z_o) имеет вид

А(х -х₀) + В(у - у₀) + C(z - z₀) = 0. (6.2.13)

Из этого уравнения получается общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz+D=0, (6.2.14)

представляющее собой уравнение первой степени относительно переменных x,y и z.

Геометрически удобное уравнение в отрезках

, (6.2.15)

где а,b,с - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координатсоответственно.

Нормированное уравнение плоскости

xcosα + ycosβ + zcosg-ρ = 0, (6.2.16)

где ρ - расстояние плоскости от начала координат; a,β,g - углы образованные единичным вектором нормали к плоскости (он направлен от начала координат к плоскости) с соответствующими осями координат.

Если дана плоскость общим уравнением (6.2.14), то

μАх + μDy + μСz+ μD= О

будет нормированным уравнением той же плоскости, если

,

где знак выбирается противоположным знаку D - свободного члена в общем уравнении.

Нормированное уравнение (6.2.16) позволяет получить отклонение δ и

расстояние d от заданной точки М_о(х₀, у₀,z₀) до плоскости

δ = x₀cosα + y₀cosβ + z₀cosγ -ρ, (6.2.17)

d = \ δ \. (6.2.18)

Условия перпендикулярности, параллельности и угол между плоскостями совпадают с аналогичными условиями для векторов, нормальных к этим плоскостям.

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей

(6.2.19)

причем должно нарушаться хотя бы одно из равенств

,

чтобы эти плоскости пересекались.

Другой способ задания прямой:

(6.2.20)

каноническими уравнениями, где М₀(x₀,у₀,z₀) - точка, через которую проходит прямая в направлении вектора = {1,т,п}. Тогда условия параллельности, перпендикулярности и угол междупрямыми могут быть получены как соответствующие условия для направляющих векторов этих прямых.

Из (6.2.20) могут быть получены уравнения прямой, проходящей через две точки М₁{x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂)

(6.2.21)

и параметрические уравнения прямой:

.(6.2.22)

Если прямая задана уравнениями (6.2.19), то можно получить канонические уравнения этой прямой, если взять какую-нибудь точку, задавая, например, х₀и отыскивая соответствующие у₀и z₀из системы (6.2.19), и получить направляющий вектор прямой

Если прямая задана уравнениями (6.2.20), а плоскость общим уравнением (6.2.14), то условие параллельности прямой и плоскости

Аl + Вт+Сп = 0, (6.2.23)

а условие перпендикулярности

.

Пример 6.2.4. Привести уравнение прямой

к каноническому виду.

Решение. Найдем какую-нибудь точку на этой прямой. Пусть х = 0, тогда система примет вид

.

Отсюда y=-2, . Получим точку М_о(0;-2; )Найдем направляющий вектор

Канонические уравнения прямой

Пример 6.2.5. Составить уравнения движения точки M(x,y,z), которая имеет начальное положение М_о(1;-2;4), движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора = {2; 3; 6} со скоростью , .

Решение. Тогда . Искомые уравнения будут

Пример 6.2.5. Найти расстояние точки М₀(1;2;0) от прямой

Решение. Проведем через точку М_оплоскость α, перпендикулярную данной прямой и найдем М₁ - точку пересечения плоскости α с данной прямой. Тогда искомое расстояние будет расстоянием от М_о до М₁. Для плоскости α воспользуемся уравнением вида (13), так как известна точка М₀(1;2;0) на ней лежащая и нормальным вектором может служитьнаправляющий вектор прямой а= {2,5,1}. Получим

2(х -1) + 5(у - 2) + 1(z- 0) = 0 ,

или

2x + 5y + z-12 = 0.

Найдем точку пересечения плоскости α и данной прямой, решив систему из уравнений плоскости α и параметрических уравнений данной прямой:

Исключая x,y,z, найдем t=-0,5. Тогда х=1,y=1,5,z=2,5. Точка М₁(1;1,5;2,5). Расстояние М₀М₁:

(лин.ед.).

Пример 6.2.6. Найти угол между прямой

и плоскостью

х + 2у - 3z - 1 = 0.

Решение. Рассмотрим нормальный вектор плоскости = {1;2;-3} и направляющий вектор прямой = {2;3;5}. Косинус угла между этимивекторами равен синусу угла между прямой и плоскостью:

,

.