Многомерные случайные величины и условные законы распределения

Упорядоченный набор Х= (X₁, X₂, ... , X_n ) случайных величин называется n-мерной СВ.

Функцией распределения n-мерной СВ (X₁, X₂, ... , X_n ) называется функция F(x₁, x₂, ... , x_n), являющаяся вероятностью совместного выполнения n неравенств:

F(x1, x2, ... , xn) = Р(Х1< х1, Х2< х2, ... , Хn< xn).

(1.23)

Двумерная функция распределения:

F(x, y) = Р(Х< х, Y< y).

(1.24)

Свойства ФР F(x, y):

1. 0 £ F(x, y) £ 1.

2. Если x₁ < x₂, то F(x₁, y) £ F(x₂, y), аналогично и для y₁ < y₂ .

3. F(x, -¥) = F(-¥, y) = F(-¥,-¥) = 0.

4. F(x, ¥) = F₁(x), F(¥, y) = F₂(y), где F₁(x) и F₂(y) - функции распределения СВ Х и Y соответственно.

5. F(¥,¥) = 1.

Плотностью вероятности (совместной плотностью) непрерывной двумерной СВ (Х, Y) называется вторая смешанная частная производная ее ФР:

j(x, y) = Fxy”(x, y) =

(1.25)

Свойства плотности вероятности двумерной СВ j(x, y):

1. j(x, y) ³ 0.

2. P((x, y) Î D) = .

3. F(x, y) = .

4. .

Условным ЗР СВ Х, взятой из двумерной СВ(Х, Y), называется закон распределения СВ Х, полученный при условии, что другая СВ Y приняла определенное значение. Условная плотность вероятности j_y(x) двумерной СВ (Х, Y) определяется формулой:

j_y(x) = .

Числовые характеристики условного распределения: условное МО а(у)=М_у(Х) и условная дисперсия s²(у)=D_y(X). Другие их обозначения: М(Хêу) и D(Хêу).

Условное МО СВ Y при Х=х, т.е. М_х(Y), есть функция от х, называемая функцией регрессии (регрессией) Y по Х.

Пример. Пусть двумерная СВ (Х, Y) и ее ЗР j(x, y) являются некоторой моделью железной дороги, причем СВ Х - количество порожних вагонов в суточной заявке порта, СВ Y - количество поставленных порожних вагонов за сутки в порт. Тогда регрессия М_х(Y) показывает соотношение между заявкой и поставкой вагонов в среднем (рис. 1.3).

Мх(Y) (шт.)
							X (шт.)

Рис. 1. 3

Свойства условного МО:

1. Если Z = z(X), где z - неслучайная функция от Х, то M_z(M_x(Y)) = =M_z(Y), в частности, М(М_х(Y)) = М(У).

2. Если Z = z(X), то M_z(Z×Y) - Z×М_х(Y).

3. Если СВ Х и Y независимы, то М_х(Y) = М(Y) (на рис. 1.3 это была бы горизонтальная прямая).

Для независимых СВ j(x, y) = j₁(x)∙j₂(y), или j_у(x) = j₁(x) и j_х(y) = j₂(y), где j₁ и j₂ - плотности одномерных СВ Х и Y, j_у(x) и j_х(y) - плотности условных распределений Х по Y и Y по Х.

Зависимость между двумя СВ называется статистической, если каждому значению одной из них соответствует определенное (условное) распределение другой.

Ковариацией (корреляционным моментом) Cov(Х, Y) СВ Х и Y называется МО произведения отклонений этих величин от своих МО:

Cov(Х, Y) = М((Х-ах)( Y-ау)).

(1.26)

Другие обозначения ковариации: К_{ху, .}

Ковариация двух СВ характеризует, во-первых, степень их взаимозависимости, во-вторых, их рассеяние вокруг точки (а_х, а_у).

Для измерения только тесноты связи двух СВ применяют безразмерный коэффициент корреляции r:

r = Cov(Х, Y) / (sхsу).

(1.27)

Свойства ковариации:

1. Cov(Х, Y) = 0, если Х и Y независимы.

2. Cov(Х, Y) = М(Х, Y) - а_х а_у.

3. êCov(Х, Y)ê £ s_хs_у.

Свойства коэффициента корреляции r:

1. -1 £ r £ 1.

2. r = 0, если СВ Х и Y независимы. Обратное утверждение неверно.

3. если êr ê = 1, то СВ Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью.