Зависимость подвижности от температуры

Изменение состояния свободных носителей заряда вследствие их взаимодействия с отклонениями от периодичности поля кристаллической решетки называют рассеянием носителей заряда.

В классической физике изменение состояния можно трактовать как искривление траектории движущегося электрона. В квантовой – переход из одного места в зоне Бриллюэна в другое.

В идеальном кристалле электроны движутся как свободные частицы с эффективной массой m*, которая учитывает влияние периодического поля решетки. В реальном кристалле всегда имеются дефекты кристаллического строения, что приводит к искажениям периодичности решетки. Дефекты являются центрами рассеяния. Наиболее эффективными рассеивающими центрами в полупроводниках являются следующие дефекты (в подядке уменьшения важности): (1) фононы; (2) ионизованные атомы примеси; (3) нейтральные атомы примеси в междоузлиях или вакансии; (4) дислокации; (5) границы двойников (зерен); (6) преципитаты, выделения примеси, поры и др. крупные нерегулярности структуры. Противоречивость порядка расположения дефектов в этом списке заключается в том, что более крупные дефекты структуры, несмотря на их большее индивидуальное сечение рассеяния, оказываются менее эффективными, если рассматривать рассеяние в среднем по кристаллу. Такая кажущаяся противоречивость объясняется тем, что современные технологии выращивания полупроводников позволяет получать кристаллы высокого качества, практически не содержащие линейных (и тем более объемных) дефектов структуры.

σ– эффективное сечение рассеяния на одном рассеивающем центре; n1 – количество электронов, рассеянных в единицу времени; n0– количество свободных электронов; N – количество центров рассеяния; V0– средняя тепловая скорость эл-нов; P – вероятность рассеяния одного электрона в единицу времени; τ– время свободного пробега (время жизни); Ln– длина свободного пробега электрона.

n1 σ   n0, V0 N     Рис. 3.4. Схема рассеяния носителей

Предположим исходный пучок электронов состоял из n₀ частиц, имеющих среднюю тепловую скорость V₀. Количество электронов n_1,, рассеянных в единицу времени на N центрах рассеяния сэффективным сечением рассеяния σ, составит:

n₁ = σ N n₀ V₀. С другой стороны, n₁ = P n₀ , где P - вероятность рассеяния одного электрона в единицу времени. Тогда:

	Эффективное сечение рассеяния есть отношение числа электронов, удаленных из пучка в результате рассеяния на одном центре в единицу времени к плотности падающего пучка	(3.23)
	(3.24)
P = σ N V0	Вероятность рассеяния или вероятность столкновений определяется эффективным сечением, количеством центров рассеяния, и скоростью движения носителей заряда	(3.25)

С другой стороны, по определению, P = 1/τ (τ – время свободного пробега). Тогда:

или: , L_n – длина свободного пробега. (3.26)

Различные дефекты характеризуются разными значениями σ, τ и L_n!

A. Вакансии (V), междоузельные атомы (I)
Эффективность рассеяния на таких дефектах, как вакансии, междоузельные атомы определяется сечением места. которое они занимают. Т.е. за σ можно принять площадь квадрата со стороной, равной постоянной решетки а. Типичное значение а для полупроводников – а = 5Ả = 5∙10-8 см. Тогда: σI = (5∙10-8)2 ≈ 3∙10-15см2. Термодинамически равновесная концентрация точечных дефектов (I, V) при Ткомн составляет: NI~1016 см-3. Тогда LnI = 3∙10-15 ∙ 1016 = 3∙10-2 см = 300 мкм.	а   Рис. 3.5. Схема рассеяния на I или V
Б. Ионы примеси (q)
Для ионов примеси можно считать, что диаметр кулоновского взаимодействия распространяется на расстояние в 10 раз больше диаметра нейтрального атома, т.е. σq = (10∙5∙10-8)2 ≈ 3∙10-13 см2. Если Nq=1016cм-3, тогда Lnq = 3∙10-4 см = 3 мкм.	dq   Рис.3.6. Схема рассеяния на ионах примеси
В. Дислокации (d)
Дислокации – линейные дефекты, распространяющиеся в кристалле на большие расстояния (типично – диапазон мм–см). Предположим, дислокация имеет длину 0.1см, а диаметр – сотня периодов решетки. В этом случае площадь ее сечения - σd = 0.1∙100∙5∙10-8 ≈ 3∙10-7 см2. НО! Плотность дислокаций как правило низка!!! Коллектор бип. тр-ра: Nd=104 см-3 à Ld ~ 200 см; База бип. тр-ра: Nd=106 см-3 à Ld ~ 2 см; Эмиттер бип. тр-ра: Nd=108 см-3 à Ld ~ 200 мкм	Рис.3.7. Дислокация
Г. Фононы (ph)
Эффективное сечение рассеяния на тепловых колебаниях решетки определяется площадью сечения области, которую занимает колеблющийся атом за вычетом площади сечения самого атома (заштрихована). Диаметр атома – d = 10-8 см; типичная амплитуда колебаний – r = 0.05 нм = 5∙10-9 см; тогда σph = (d+r)2-d2 ≈ 2rd ~ 10-16 см-2. Это значительно меньше, чем у других видов рассеяния!!! НО! Число фононов (≡ атомов решетки) велико (Nph~ 5∙1022 см-3)! Откуда следует: Lph = (10-16 ∙ 5∙1022)-1 ~ 2∙10-7 см = 0.002 мкм = 20Ả	d r   Рис.3.8. Схема рассеяния на фононах
Вывод Существует много видов рассеяния носителей заряда в полупроводниках. Но в большинстве реальных случаев (полупроводниковых приборах) наиболее весомый вклад вносят рассеяние на фононах и на ионизованной примеси. При наличии нескольких независимых видов рассеяния: Вероятность рассеяния – P=∑Pi, а полная длина пробега – всегда меньше самой малой парциальной длины пробега (L-1 = ∑(Li-1).

Рассмотрим влияние двух наиболее весомых механизмов рассеяния на подвижность носителей и удельную проводимость полупроводника.

Рассеяние на тепловых колебаниях решеткидолжно быть прямо пропорционально количеству квантов колебания решетки – фононов. Фононы являются квазичастицами, которые подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна:

; (3.27)

При высоких температурах , откуда: N_ph ~ F_Б(E)~ ~T

Поскольку длина свободного пробега L_n обратно пропорциональна количеству рассеивающих центров (в данном случае фононов – N_ph) , поэтому .

При термодинамическом равновесии 3/2kT~mV²/2; т.е.средняя скорость теплового движения носителей заряда – .

Подвижность, согласно формуле (3.2), можно выразить в следующем виде:

, откуда следует (3.28)

т.е. с ростом температуры подвижность, обусловленная рассеянием на тепловых колебаниях решетки, уменьшается. Это очевидно: чем выше температура, тем интенсивнее тепловые колебания ионов решетки, тем больше флуктуации периодического поля решетки, и, тем больше вероятность рассеяния носителей заряда, ограничивающих подвижность носителей заряда.