Третий случай соответствует эллипсоидальным изоэнергетическим поверхностям

Если изоэнергетические поверхности имеют вид эллипсоидов (рис.1.54, 1.55), тогда:

(2.16)

Где 1/m₁, 1/m₂ и 1/m₃ – диагональные компоненты тензора обратной эффективной массы. Уравнение эллипсоида в канонической форме:

(2.17)

где полуоси эллипсоида

(2.18)

Объем одного эллипсоида с полуосями а₁, a₂, a₃ равен

, (2.19)

а объем одного тонкого слоя между двумя эллипсоидальными изоэнергетическими поверхностями

(2.20)

Подставляя dГ в выражение для dN и учитывая, что минимумов энергии может быть М, получим

(2.21)

или

. (2.22)

Таким образом, плотность состояний пропорциональна (Е—Е_с)^1/2 и (m₁m₂m₃)^1/2, где m₁,m₂,m₃ — компоненты тензора эффективной массы (в главных осях). При малых m_i N(Е) будет малой величиной.

Если положить

, (2.23)

где — носит название эффективной массы плотности квантовых состояний для электронов, то в общем случае, с учетом двух ориентаций спина:

(2.24)

что совершенно аналогично (2.12) для случая изотропной массы с одним минимумом. То есть, эллипсоидальную поверхность равной энергии зоны проводимости можно заменить сферой, если ввести эффективную массу плотности состояний для электронов, которая вычисляется по формуле (2.23).

Выражение (2.24) является наиболее общим, поскольку из него вытекают (2.12), (2.15) как частные случаи. Необходимо только помнить, что зависимость N(Е) от энергии вида справедлива до тех пор, пока энергия являете квадратичной функ­цией квазиимпульса, другими словами, выражение (2.24) справедли­во только для состояний вблизи минимума энергии, т. е. у дна зоны проводимости.

Найдем выражение для плотности квантовых состояний у потолка валентной энергетической зоны, где энергия также является квадратичной функцией энергии. Если максимумы энергии находятся в точках k₀ зоны Бриллюэна, а их число равно М, то Е(k) (для каждого максимума) можно представить в общем виде:

(2.25)

Учитывая, что тензор эффективной массы электронов в максимуме энергии отрицателен, введем вместо него тензор эффективной массы дырок . Тогда следует

(2.26)

или

, (2.27)

где - в данном случае - энергия потолка валентной зоны. Опуская совершенно очевидные выкладки, найдем, что выражение для плотности квантовый состояний (с учетом ориентации спина) у потолка зоны имеет вид:

, (2.28)

где через , обозначена эффективная масса дырок для плотности. состояний:

, (2.29)

Таким образом, плотность состояний у дна и потолка зон имеет совершенно ана­логичный вид, поскольку найденные выражения для N(Е) являются следствием квадратичной зависимости энергии от квазиимпульса в окрестности экстремумов, различный знак подкоренного выражения - E-E_c и E_v-E — является следствием различия в знаках эффек­тивной массы в минимуме и максимуме энергии.

А где же сложность расчетов, о которой мы говорили в начале раздела? Основные трудности при расчете плотности состояний в зонах Бриллюэна реальных полупроводников возникает:

- при расчете плотности состояний в узкозонных полупроводниках, где требуется учет отклонения от параболической зависимости энергии от волнового вектора,

- при определении эффективных масс плотности состояний,

- при расчетах плотности состояний в зонах Бриллюэна со сложной поверхностью.

В качестве примера рассмотрим расчет эффективных масс плотности состояний для электронов и дырок в классических полупроводниковых материалах: кремнии и германии.

Для этого вспомним следующее (глава 1). Кремний и германий имеют кристаллическую решетку типа алмаза, представляющую собой две гранецентрированные кубические решетки, сдвинутые одна относительно другой на ¼ пространственной диагонали. Для них первая зона Бриллюэна имеет форму четырнадцатигранника, изображенного на рис. 1.43, шесть граней которого имеют форму квадрата, а восемь – шестиугольника. Первая зона Бриллюэна, вписанная в элементарную ячейку обратной решетки для Si и Ge показана на рис. 1.55. Внутри этого многогранника (зоны Бриллюэна) энергия является непрерывной (точнее непрерывной функцией волнового вектора к), а на границах зоны наблюдается разрыв энергии как функции к.

Кремний. Рассматривая зонную структуру кремния, мы отмечали, что всего в первой зоне Бриллюэна располагается шесть минимумов. Форма поверхностей постоянной энергии в зоне проводимости кремния представляют собой шесть эллипсоидов, вытянутых вдоль главных кристаллографических осей <100> (рис. 1.55). Значения компонент тензора эффективной массы электрона, определенные по циклотронному резонансу, составляют у кремния m₁=m₂=m_t = 0,19m₀, m₃=m_l=0,92m₀. Величина эффективной массы электронов для плотности состояний, рассчитанная на основании соотношения (2.23) с учетом значения числа эллипсоидов М=6, будет равна 1,08m₀.

Следовательно, у кремния все шесть эллипсоидов изоэнергетической поверхности зоны проводимости можно заменить одной сферической поверхностью с эффективной массой плотности состояний для электронов, равной 1,08m_0.

Сложнее обстоит дело с расчетом эффективной массы дырок для плотности состояний. В центре зоны Бриллюэна валентная зона дважды вырождена (рис.1.52). Поверхность равной энергии представляет собой гофрированные (то есть деформированные сферы) поверхности (см. рис.1.56). Для легких дырок поверхность незначительно отличается от сферы, а для тяжелых дырок она более деформирована. Однако и в том и другом случае приближенно их можно аппроксимировать двумя сферическими поверхностями, которым соответствуют эффективные массы тяжелых m_pт и легких m_pл дырок. В этом случае плотность состояний (с учетом спина) будет определяться суммой плотности состояний в зонах тяжелых и легких дырок:

(2.30)

Изоэнергетические поверхности обеих зон можно заменить одной приведенной сферой с плотностью состояний

(2.30А)

для которой эффективная масса плотности состояний для дырок равна

, (2.30Б)

так как из экспериментов по циклотронному резонансу найдены следующие значения эффективных масс тяжелых и легких дырок:

m_pт = 0,56 m₀ , m_pл = 0,16 m₀

Германий. В первой зоне Бриллюэна германия имеется восемь минимумов энергии, расположенных в точках [1/2, 1/2, 1/2]. Cоответствующие поверхности равной энергии изображены на рис. 1.55 и имеют, как и в кремнии, форму элипсоидов. Однако в отличие от кремния, эти восемь эллипсоидов рассечены пополам гранями зоны Бриллюэна (т.е. одна половина каждого эллипсоида принадлежит первой зоне Бриллюэна, а вторая половина – второй зоне Бриллюэна). Поэтому в основной (первой) зоне Бриллюэна германия расположены восемь половинок эллипсоидов или, что эквивалентно, четыре полных эллипсоида (т.е. M=4), для которых m₁=m₂=m_t = 0,082m₀, m₃=m_l=1,59m₀. Следовательно, плотность состояний для дна зоны проводимости германия будет определяться выражением (2.24) с эффективной массой плотности состояний для электронов, равной:

m_dn =(4² m₁²m₃)^1/3 = 0,56 m₀

Cтруктура валентной зоны германия подобна структуре зоны кремния (рис.1.52, 1.56). Эффективная масса плотности состояний для дырок, характеризующая плотность квантовых состояний у потолка валентной зоны германия, будет равна:

,

так как m_pт = 0,33m₀ , m_pл = 0,04m₀.

Арсенид галлия. Абсолютный минимум зоны проводимости лежит при k=0, а его поверхностями постоянной энергии являются сферы с центром в центре зоны Бриллюэна (рис.1.55). Поэтому эффективная масса электронов является скалярной величиной. Из экспериментов по циклотронному резонансу определена величина эффективной массы – 0,068m₀. Следовательно, плотность состояний вблизи дна зоны проводимости арсенида галлия будет определяться выражением (2.24) с эффективной массой плотности состояний для электронов, равной:

m_dn = 0,068 m₀

Валентная зона арсенида галлия сходна с валентной зоной кремния. Поэтому расчет плотности состояний в валентной зоне проводится аналогично. Величина : ,

где эффективные массы тяжелых и легких дырок равны: m_pт = 0,50m₀ , m_pл = 0,12m₀.

В заключение отметим следующее.

1. Выражения для плотности состояний в зоне проводимости и валентной зоне N(Е) справедливы до тех пор, пока применима квадратичная зависимость энергии от квазиимпульса. Для классических полупроводников (германий, кремний) основная часть носителей заряда располагается или вблизи зоны проводимости, или вблизи потолка валентной зоны, где такая зависимость энергии от квазиимпульса выполняется.

Вдали от границ зон выра­жение для N(E) не может быть записано в аналитическом виде, так как неизвестна зависимость E(к). Ход функции N(Е) в общем виде может быть весьма сложным. Для запре­щенных зон N(Е) = 0, если не считать локализованных состояний электрона.

Плотность состояния для дискретных уровней можно выразить с помощью d-функции:

Nд(E)=Nдd(E-Eд), Na(E)=Nad(E-Ea),

(2.31)

где через N_д(E), N_а(E) обозначена плотность состояний на донорном и акцепторном уровнях, характеризуемых энергией E_д и E_а соответственно. Если при возрастании концентра­ции примеси образуется примесная зона, то в этом случае выражения (2.31) не будут иметь места и должны быть заменены выражениями (2.24) или (2.28).

2. В случае параболического изотропного закона дисперсии эффективная масса, определяющая подвижность носителей заряда, и эффективная масса плотности состояний равны друг другу. В более общих случаях эти величины не совпадают. Результирующее значение эффективной масы, определяющее подвижность, получило названиеэффективной массы электропроводности, которую нужно отличать от эффективной массы плотности состояний. Так, например, в кремнии эффективная масса плотности состояний для электронов равна 1,08m₀, тогда как эффективной массы электропроводности для электронов равна 0,26m₀; результирующие эффективные массы для дырок соответственно равны 0,59m₀ и 0,38m₀.