Моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем

Под сложной технической системойбудем понимать систему, состоящую из элементов (два и более). Отказ одного из элементов системы приводит к отказу системы в целом.

Рассмотрим последовательность замен некоторого определенного элемента Z данного наименования. Эксплуатация каждого нового элемента начинается с момента окончания срока службы предыдущего. Первый элемент отрабатывает время , второй – , третий – и т.д.

Случайная ситуация, сложившаяся в k-мопыте (ситуации) для элемента Z, показана на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Временная эпюра случайной ситуации при k-м опыте в случае мгновенного восстановления отказавшей системы путем замены элемента

На рис. 2.3 видно, что система начинает свою работу в момент времени t = 0 и, отработав случайное время Δt_1k,выходит из строя в момент t_1k = Δt_1k.В этот момент система мгновенно восстанавливается (здесь можно считать, что восстановление происходит мгновенно) – элемент заменяется, и снова работает случайное время Δt_2k.По истечении некоторого времени система (элемент) вновь выходит из строя в момент и вновь мгновенно восстанавливается.

Считают, что интервалы времени между отказами Δt_ik,Δt_2k,..., Δt_pk представляют собой систему взаимно независимых случайных величин с плотностями распределения наработок между отказами

.

Моменты отказов или восстановлений образуют в каждом k-мопыте (испытании) ряд чисел по следующему правилу:

(2.16)

или

, (2.17)

где t_lk – время работы (наработка) элемента до i-го отказа в k-м опыте, ч, ; Δt_ik – время работы (наработка) элемента между (i-1)-м и i-м отказами в k-йреализации, ч, .

Числа t_1k, t_2k, ..., t_pk образуют случайный поток, который называется процессом восстановления.Этот процесс является различным для различных элементов и продолжается до окончания срока службы системы. Изучением таких процессов занимается теория восстановления.

Из большого количества различных процессов восстановления для исследования надежности элементов технической системы (как неремонтируемых, так и ремонтируемых) используют три типа процессов:

· простой, при котором все функции распределения наработок до первого и между последующими отказами F_i(t)равны;

· общий, при котором вид функции распределения наработки до первого отказа элемента, установленного в системе заводом-изготовителем, отличается от вида функций распределения наработок элементов при последующих заменах, т.е. , i = 2, 3, 4, ...;

· сложный, при котором все функции распределения различны.

Основной характеристикой процесса восстановления является функция восстановления Ω(t)и ее дифференциальная характеристика – плотность восстановления ω(t), определяемые по следующим формулам:

; (2.18)

, (2.19)

где f_n(t) и F_n(t) - соответственно плотность и функция распределения наработки до n-го отказа.

В случае независимости наработок между отказами функции распределения F_n(t)наработок до n-го отказа находятся путем последовательного применения правила свертки для суммы двух случайных величин:

(2.20)

Анализ и классификация методов расчета параметра и ведущей функции потока отказов приведены в книге [11]. Следует отметить, что сложность получения аналитических выражений для и по формулам (2.18), (2.19) состоит в том, что свертка (2.20) лишь для некоторых законов распределения вычисляется в конечном виде. Использование аналитических методов расчета плотности и функции восстановления ограничено из-за сложности математической формализации применяемых стратегий восстановления работоспособности технических систем и необходимости учета множества факторов, влияющих на замену элемента в системе. В этих условиях наиболее эффективным методом расчета и является метод Монте-Карло.

Расчет ведущей функции и параметра потока отказов этим методом в случае простого, общего или сложного процессов производится в следующем порядке.

По известным законам распределения наработок элементов с использованием формул преобразования (табл. 2.2) [5] моделируются массивы случайных величин Δt_jk между (i-1)-м и i-м отказами. Размерность каждого массива равна N.

Далее вычисляются значения наработок до i-го отказа t_ik по следующим формулам:

, (2.31)

, (2.32)

где i – номер отказа, ; k – номер реализации при моделировании, ; – максимальное число отказов элемента, получаемое в k-й реализации случайного процесса.

Таблица 2.2

Закон распределения случайной величины	Плотность распределения	Формула для моделирования случайной величины
Экспоненциальный
Вейбула
Гамма-распределение (η – целые числа)
Нормальное

Затем полученные случайные величины наработок t_ik группируются по интервалам времени.

Номера интервалов, в которые попадают моменты возникновения отказов , определяются по формуле:

, (2.23)

где – наименьшее целое число, не менее ; - величина интервала времени.

Параметр и ведущая функция потока отказов в j-м интервале времени определяются по следующим формулам:

; (2.24)

, (2.25)

где n_ij – число попаданий случайной наработки до i-го отказа t_ik в j-й интервал времени ( )за N реализаций.

; (2.26)

, (2.27)

где h – максимальное число интервалов времени.

Методика расчета параметра u>(t)и ведущей функции нестационарного потока отказов с использованием метода статистических испытаний подробно рассмотрена в работе [12].

Пример 6. Законы распределения наработок элемента систе­мы до первого и второго отказов и соответствующие параметры этих законов приведены в следующей таблице:

Номер отказа	Закон распределения	Параметры закона
	b
	Вейбулла	1,4	45,8
	Экспоненциальный	0,30	-

Определите номера временных интервалов, на которых произойдут первый и второй отказы в ходе первого опыта (испытания) (Δt = 1 ч).

Решение:

1. Выберем равномерно распределенное случайное число, допустим, = 0,725.

2. Вычислим случайные значения наработок на отказ элемента, используя формулы табл. 2.2.

ч.;

;

ч.;

ч.

3. Определим номер временного интервала, на котором произойдут отказы

первый отказ

;

второй отказ

.

В ходе первой реализации элемент системы первый раз откажет на 21-м временном интервале, а второй отказ произойдет на 22-м временном интервале.

Задачи для самостоятельного решения[11]

1. Периодичность поступления заявок на обслуживание подчинена показательному закону распределения. Средний интервал между поступлениями заявок в систему равен ч. Определите последовательность значений продолжительности интервалов между поступлениями заявок. Число реализаций равно 10.

2. Время обслуживания работника предприятия кассой бухгалтерии является случайной величиной, распределенной в соответствии с законом Вейбулла. Среднее время обслуживания мин, среднее квадратическое отклонение равно мин. Требуется смоделировать случайную величину, отвечающую этим условиям. Число реализаций принять равным 10.

3. При обработке экспериментальных данных было установлено, что время, расходуемое на станции технического обслуживания автомобилей для замены двигателя, распределено по нормальному закону, параметры которого = 2,8 ч на один двигатель и = 0,6 ч. Требуется смоделировать для отмеченных условий случайную величину – время X, расходуемое для замены двигателя. Число реализаций принять равным 5.

4. Время проверки приемки квартального отчета инспектором налоговой службы (t) - величина случайная, распределенная в соответствии с законом Вейбулла. Среднее время проверки и приемки равно = 20 мин. Коэффициент вариации величины t равен V_t = 0,52. Требуется смоделировать для заданных условий случайные числа t (число реализаций принять равным 10).

5. Среднее число исправных станков в токарном цехе на заводе равно = 6. Среднее квадратическое отклонение =2,2. Требуется смоделировать число исправных станков в цехе (число реализаций равно 5) при условии, что случайная величина X имеет гамма-распределение.

6. Вероятность замены неисправной детали на новую при ремонте автомобиля в каждом испытании = 0,63. Смоделировать пять (5) испытаний и определить последовательность замены детали на новую или восстановленную.

7. При испытании могут иметь место три зависимых и совместных события: работает только первый кассир по выдаче заработной платы, работает только второй кассир, работают оба кассира. При этом известно, что вероятность работы первого кассира равна 0,6; вероятность работы второго кассира равна 0,7; вероятность работы двух кассиров равна 0,4. Смоделировать возможность реализации двух событий: работает только первый кассир; работает только второй кассир в трех испытаниях.

8. Известны законы распределения наработок элемента системы до первого и второго отказов. Средние значения и средние квадратические отклонения наработок приведены в следующей таблице:

Номер отказа	Закон распределения	Среднее значение наработки, час.	Среднее квадратическое отклонение наработки, ч
	Вейбулла
	Гамма - распределение

Определите параметр и ведущую функцию потока отказов элемента по интервалам времени (Δt = 10 ч). Число реализаций N = 10.

9. Используя условия задачи 8, определите номер интервала, в который попадет максимальное количество отказов.

10. Система имеет два элемента. Средняя периодичность первого элемента = 60 ч, второго элемента – = 85 ч. Периодичности отказа первого и второго элементов – случайные величины, подчиненные экспоненциальному закону распределения. Определите параметр и функцию распределения потока отказов системы по интервалам времени Δt = 8 ч. Число реализаций N = 10.

11. Используя условия задачи 10, определите номера интервалов, в которые попадут максимальные количества отказов первого, второго элементов и в целом всей системы.

12. Пусть при испытании могут иметь место зависимые и совместные события А и D. Известно, что вероятности появления событий равны Р(А)= 0,6; P(D) = 0,3, а также вероятность совместного появления событий А и D: P(AD)= 0,4. Смоделируйте появление событий А и D в пяти испытаниях.

13. Периодичность проверки предприятий налоговой инспекции – величина случайная (Δt), подчиняющаяся закону гамма-распределения. Средний интервал проверки = 2,5 мес. Коэффициент вариации величины Δt равен V = 0,38. Требуется смоделировать для заданных условий возможные моменты проверок предприятия налоговой инспекцией (число реализаций принять равным 10).

14. Используя условия задачи 13, определите количество проверок налоговой инспекцией за первый год работы предприятия.

15. Среднее число работающих машин на заводе = 25. Коэффициент вариации числа работающих V=0,6. Требуется смоделировать число работающих машин на заводе (число реализаций равно 10). Случайная величина X имеет распределение Вейбулла.

16. После каждой проверки предприятия налоговой инспекцией вероятность появления необходимости аудиторской проверки данного предприятия Р = 0,72. Смоделируйте шесть испытаний. Определите последовательность проведения различных проверок предприятия.