Основные (типовые) распределения ДСВ
СВ называется распределенной по биномиальному закону, если её возможные значения , а соответствующие вероятности рассчитываются по формуле Бернулли (2.22)
- число появления события в независимых испытаниях.
Биномиальное распределение зависит от двух параметров и .
Ряд распределения имеет вид:
… | |||||
(3.7)
Пример.Проверить формулы (3.7) для примера рассмотренного выше.
Решение.
, ,
ДСВ называется распределенной по закону Пуассона,если её возможные значения , а соответствующие вероятности выражаются формулой Пуассона (2.24)
Распределение Пуассона зависит от одного параметра - среднее число появления событий при испытаниях.
Ряд распределения имеет вид:
… | |||||
(3.8)
Пуассоновское распределение является предельным для биномиального при , , если .
Пример:
1. Устройство имеет 1000 элементов, которые работают независимо один от другого. Вероятность того, что элемент выйдет из строя во время работы . Определить среднее количество элементов, которые могут выйти из строя.
Решение.
2. На АТС на протяжении часа поступает в среднем 30 вызовов. Найти вероятность того, что на протяжении минуты поступит не более 2-х вызовов.
Решение.
- среднее число
вызовов за одну минуту
ДСВ называется распределенной по гипергеометрическому закону,если её возможные значения , а соответствующие вероятности определяются гипергеометрической формулой (1.7).
,
Гипергеометрическое распределение зависит от трех параметров .
Ряд распределения имеет вид:
… | |||||
(3.9)
При гипергеометрическое распределение дает вероятности, близкие к вероятностям, найденным по биномиальному закону.
Пример.В ящике имеется 10 однотипных деталей, из них 7 стандартных. Из ящика берут 4 детали. Построить ряд распределения ДСВ – числа стандартных деталей среди отобранных.
Решение.
;
;
;
;
ДСВ называется распределенной по равномерному закону, если ее возможные значения , а соответствующие им вероятности можно рассчитать по формуле
, .
Равномерное распределение зависит от одного параметра .
Ряд распределения имеет вид:
… | ||||
… |
,
Пример.На связке 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Составить ряд распределения ДСВ числа ключей, которые пробуются для открытия замка.
ДСВ имеет геометрическое распределение, если ее возможные значения а вероятности этих значений .
Вероятности для ряда последовательных значений образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем .
Ряд распределения имеет вид:
… | … | |||||
… | … |
, (3.10)
Нередко рассматривают СВ , равную числу попыток до получения результата, включая удавшуюся попытку, т.н. геометрическое распределение начинающееся с «1», для которого
Ряд распределения СВ :
… | … | ||||
… | … |
, (3.11)
Геометрическое распределение зависит от одного параметра .
Пример. Из корзины, в котором 3 черных и два белых шара последовательно вынимают шары до появления белого. Перед очередным извлечением шара, вынутый ранее шар возвращается в корзину. Построить ряд распределения ДСВ - числа вынутых белых шаров до появления черного и ДСВ - количество попыток до появления черного шара.
Решение:
… | ||||
… |
… | ||||
… |
Непрерывные СВ
Непрерывной СВ в широком смысле называется СВ, которая может принимать все (бесконечно много) значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Если функция распределения везде непрерывна и имеет производную, СВ называется непрерывной в узком смысле.
Пример:
1. Координаты точки попадания при выстреле.
2. Время опоздания поезда.
3. Время безотказной работы лампы.
3.5.1. Формы представления закона распределения НСВ
Ряд распределения, многоугольник распределения и формула не используются в качестве закона распределения НСВ.
Функция распределения НСВ , есть непрерывная, кусочно-дифференцируема функция с непрерывной производной.
График функции распределения НСВ , которая принимает все возможные значения на интервале .
Из свойства 2 функции распределения вытекает важное следствие для НСВ: вероятность того, что НСВ примет одно определенное значение равна 0. И тогда
Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что НСВ примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малой.
При этом надо понимать, что не означает, что событие невозможно. В результате испытания НСВ обязательно примет одно из возможных значений, в том числе и .
Плотность вероятностей (плотность распределения вероятностей, плотность) НСВ - функция, определяемая как первая производная функции распределения
(3.12)
Из определения следует, что - есть первообразная и выражается через формулой.
(3.13)
Геометрически есть площадь кривой распределения, лежащая левее точки .
График называется кривой распределения.
Размерность обратна размерности СВ (это не вероятность).
Свойства :
1. неотрицательная функция, т.е.
2.Несобственный интеграл от на интервале равен 1.
(3.14)
Это так называемое условие нормировки плотности распределения.
Если все возможные значения НСВ принадлежат интервалу , то
(3.15)
3. Вероятность того, что НСВ примет значение из интервала равна определенному интегралу от , взятому на интервале
(3.16)
Геометрически это означает, что есть площадь под кривой распределения, ограниченная линиями и слева и справа соответственно и осью абсцисс внизу.
Величина для НСВ называется элементом вероятностии приближенно равна вероятности попадания СВ на элементарный отрезок , примыкающий к точке .
(3.17)
Пример.Для НСВ , плотность распределения которой имеет вид
1) Определить коэффициент ;
2) Построить кривую распределения;
3) Найти и построить её график;
4) Вычислить
Решение:
1. По (3.14)
2. Кривая распределения
3. По (3.13)
При
При
При
График функции
4. Согласно второго свойства