Площадь в полярных координатах

Пусть в полярной системе координат дана кривая, уравнение которой площадь в полярных координатах - student2.ru , где площадь в полярных координатах - student2.ru - непрерывная функция при площадь в полярных координатах - student2.ru . Требуется вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного радиусами – векторами ОА и ОВ (для которых соответственно

площадь в полярных координатах - student2.ru )

площадь в полярных координатах - student2.ru .

Если плоская фигура ограничена несколькими кривыми, уравнения которых заданы в полярных координатах, то вычисления площади такой фигуры стараются свести к вычисле площадь в полярных координатах - student2.ru нию алгебраической суммы площадей криволинейных секторов.

Следовательно, будем иметь

площадь в полярных координатах - student2.ru . (т.е. из площади криволинейного сектора, ограниченного площадь в полярных координатах - student2.ru , отнимаем площади криволинейных секторов, ограниченных линиями площадь в полярных координатах - student2.ru , площадь в полярных координатах - student2.ru )

Вычисление объемов тел

Вычисление объема тела по площади поперечногo сечения

Пусть дано тело произвольной формы, заключенное между плоскостями x=a и x=b. Кроме того, пусть известна площадь любого поперечного сечения (т.е. площадь сечения, образованного плоскостью перпендикулярной к оси ОХ - тела). Требуется вычислить объем этого тела.

площадь в полярных координатах - student2.ru , где S – площадь поперечного сечения.

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси ОХ вращается криволинейная трапеция, ограниченная осью ОX, прямыми x=a и x=b и кривой площадь в полярных координатах - student2.ru , где площадь в полярных координатах - student2.ru - непрерывная, неотрицательная на отрезке [a; b] функция. Тогда эта криволинейная трапеция опишет тело, являющееся телом вращения.

Пример 6. 7.7.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной двумя ветвями кривой площадь в полярных координатах - student2.ru и прямой х=1.

Решение:

искомый объем получается как разность двух объемов, получающихся при вращении вокруг оси ОХ двух криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно кривыми площадь в полярных координатах - student2.ru и площадь в полярных координатах - student2.ru . Область определения функции

площадь в полярных координатах - student2.ru площадь в полярных координатах - student2.ru

площадь в полярных координатах - student2.ru

площадь в полярных координатах - student2.ru

площадь в полярных координатах - student2.ru

площадь в полярных координатах - student2.ru

Вычисление длины дуги

Длина дуги в полярных координатах

Пусть на плоскости XOY дана кривая, уравнение которой y=f(x), где f(x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция.

Пусть производная площадь в полярных координатах - student2.ru этой функции также непрерывная функция на отрезке [a,b].

площадь в полярных координатах - student2.ru .

Пример 6.7.7..Вычислить длину дуги кривой площадь в полярных координатах - student2.ru между точками пересечения ее с осью ОХ.

Решение:

у=0, площадь в полярных координатах - student2.ru , площадь в полярных координатах - student2.ru .

Т.к. ув четной степени, то кривая симметрична относительно оси ОХ.

ОДЗ: площадь в полярных координатах - student2.ru .

площадь в полярных координатах - student2.ru , площадь в полярных координатах - student2.ru

площадь в полярных координатах - student2.ru : площадь в полярных координатах - student2.ru

площадь в полярных координатах - student2.ru площадь в полярных координатах - student2.ru

площадь в полярных координатах - student2.ru

Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями площадь в полярных координатах - student2.ru , площадь в полярных координатах - student2.ru , где площадь в полярных координатах - student2.ru

Пусть функции площадь в полярных координатах - student2.ru , площадь в полярных координатах - student2.ru - непрерывные на площадь в полярных координатах - student2.ru функции, с непрерывными производными площадь в полярных координатах - student2.ru ; площадь в полярных координатах - student2.ru , площадь в полярных координатах - student2.ru .

площадь в полярных координатах - student2.ru .

Пример 6.7.8. Вычислим длину траектории

площадь в полярных координатах - student2.ru , площадь в полярных координатах - student2.ru от площадь в полярных координатах - student2.ru до площадь в полярных координатах - student2.ru .

Решение:

площадь в полярных координатах - student2.ru ; площадь в полярных координатах - student2.ru

площадь в полярных координатах - student2.ru площадь в полярных координатах - student2.ru

Длина дуги в полярных координатах

Пусть в полярной системе координат дана кривая, уравнение которой площадь в полярных координатах - student2.ru , где площадь в полярных координатах - student2.ru . Функция площадь в полярных координатах - student2.ru имеет непрерывную производную на сегменте площадь в полярных координатах - student2.ru

площадь в полярных координатах - student2.ru .

Пример 6.7.9.Найти всю длину кривой площадь в полярных координатах - student2.ru .

Решение: площадь в полярных координатах - student2.ru

площадь в полярных координатах - student2.ru

площадь в полярных координатах - student2.ru .

Здесь имеем площадь в полярных координатах - student2.ru при площадь в полярных координатах - student2.ru и при площадь в полярных координатах - student2.ru .

Наши рекомендации