Тема 1 Матрицы. Действия с матрицами

Цель, форма работы:отработать навыки сложения, вычитания и умножения, закрепление и систематизация знаний по теме;

Краткое изложение теоретических вопросов: 1.Матрица. Элементы матрицы. Пусть дана таблица из 4 чисел

Матрицей называется множество чисел, образующих прямо­угольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используется следующее обозначение: Для любого элемента , первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j - номер столбца. Сокращенно прямо­угольную матрицу типа можно записать так: A =( ), где i =1, 2, ..., m; j =1, 2, ..., n. 2. Виды матриц. Векторы Если число строк матрицы не равно числу столбцов ( ), то матрица называется прямоугольной. Таковы, например, матрицы A = , B = Если число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называетсяквадратной. Например, квадратными являются матрицы A = , B =   Число строк или столбцов квадратной матрицы называется еепорядком. Так, в последнем примере порядок матрицы А равен 2, а порядок матрицы В равен 3. Рассмотрим квадратную матрицу порядка 4: Диагональ, содержащую элементы будем на­зыватьглавной, а диагональ, содержащую элементы -побочной Среди квадратных матриц выделим матрицы, у которых от­личны от нуля только элементы, находящиеся на главной диа­гонали: Такие матрицы называютсядиагональными; например, матрицы A = , B = являются диагональными матрицами второго и третьего порядка. Если у диагональной матрицы все числа главной диагонали равны между собой, то такая диагональная матрица называется скалярной. Например, A = . Если в скалярной матрице все числа главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е: Е = . Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается так: О = . В прямоугольной матрице типа возможен случай, когда m = 1. При этом получается матрица-строка: A = . В случае, когда n = 1, получаем матрицу-столбец: В = . Матрицы-строки и матрицы-столбцы называют векторами.   3. Равенство матриц Две матрицы называются равными, если они имеют одинако­вое число строк m и одинаковое число столбцов n и их соответ­ствующие элементы равны. Так, матрицы A = и В = равны, если , , , , , . Равные матрицы обязательно имеют одно и то же строение: либо обе они прямоугольные типа , либо квадратные одного и того же порядка n. Если в матрице переставить строки со столбцами, получим матрицу, которую будем называть транспонированной матрицей. Например, матрицы А и В являются транспонированными А = ; В = . В том случае, когда матрица состоит из одной строки (матри­ца-строка), т. е. B= , транспонированная матрица является матрицей-столбцом: Bт = . 4. Линейные операции над матрицами Суммой матриц А и В называют такую матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение: или прямоугольные типа , или квад­ратные порядка n. Пусть A = , B = . Тогда сумма матриц С = A+B имеет вид C = . ЗАДАНИЕ. Сложить матрицы А и В, если: а) А = , В = ; б) А = , В = ; в) А = , В = . Решение, а) Здесь А и В - квадратные матрицы второго порядка. Складывая их соответствующие элементы, получим С = А+В = . б) Здесь А и В - прямоугольные матрицы типа 2 3. Скла­дываем их соответствующие элементы: С = А + В = . в) Эти прямоугольные матрицы сложить нельзя, так как А есть матрица типа 3 2, а В - матрица типа 2 3; можно скла­дывать только прямоугольные матрицы одного типа.   Мы видим, что сложение матриц сводится непосредственно к сложению их элементов, являющихся числами. Поэтому на сложение матриц распространяются важнейшие свойства чисел: 1) переместительный закон сложения: А+В=В+А, где А и В - либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямо­угольные матрицы одного типа ; 2) сочетательный закон сложения (A+В)+С=A+(B+С), где А, В, С - либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы одного типа . 3) поглощательный закон сложения А+0=А, т. е. существует такая нулевая матрица (того же порядка или типа), что ее сумма с матрицей А любого типа равна матри­це А. Для любой матрицы А существует матрица -А, такая, что А+(- А) = 0,т.е. матрица, противоположная А. Произведением матрицы А на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой равен kaij, т. е. если А = , то кА = . Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы. ЗАДАНИЕ. Умножить матрицу А = на число k = 3. Решение. Умножая каждый элемент матрицы А на 3, по­лучим 3А = . 5. Умножение матриц. Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка. Пусть А = , В = Произведением этих матриц называется матрица С = АВ = .   Правило нахождения матрицы-произведения распространяет­ся на умножение прямоугольных матриц. Для прямоугольных матриц справедливы следующие правила: 1) умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В; 2) в результате умножения двух прямоугольных матриц полу­чается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в пер­вой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице. 6. Свойства умножения матриц 1) Произведение двух матриц не подчиняется переместительному закону, т. е. АВ ВА. 2) Для умножения матриц выполняется сочетательный закон: А(ВС)=(АВ)С. 3) Выполняется распределительный закон: (А+В)С=АС+ВС. ЗАДАНИЯ 1. Вычислить линейные комбинации матриц 2А + 3В - С, если А = , В = , С = . Ответ: . 2. Найти произведение матриц: а) . Ответ: . б) . Ответ: . в) . Ответ: .     Тема 2. Вычисление определителя разложением по первой строке.   Цель, форма работы: отработать навыки вычисления определителя разложением по первой строке; систематизация знаний по данной теме. Определителем второго порядка (соответствующим данной матрице) называется число 1. Разложение определителя по первой строке имеет вид: × На практике удобно пользоваться схемами знаков алгебраических дополнений: -для определителя третьего порядка; 2.Свойства определителя третьего порядка. При вычислении определителей удобно пользоваться следующими ихсвойствами: 1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (транспонирование). 2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину. 3. Определитель, имеющий две линейно зависимые (пропорциональные) строки (столбца) равен нулю. В частности, определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца) равен нулю. 4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя. В частности, определитель, имеющий нулевую строку (столбец), равен нулю. 5. Значение определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, отличное от нуля 3.Примеры вычисления определителей. 1. Значение определителя равно: 1) 7 2) 0 3) 23 4) -7 2. Значение определителя равно: 1) 14 2) -14 3) 0 4) 73 3. Значение определителя равно: 1) 11 2) 0 3) -8 4) -11 4. Значение определителя равно: 1) 43 2) -18 3) 15 4) -16 5. Значение определителя равно: 1) -43 2) 0 3) 58 4) 86 Пример 4. Найти значения определителей: а) ; б)   Решение: а) имеется нулевая строка; согласно свойству 4 определитель равен 0; б) разложим определитель по элементам третьего столбца: ; Пример 5. Вычислить определитель: Пример 6. Вычислить определитель: Пример 7. Вычислить определитель:

Раздел 2

Понятие числа