Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда
Простейшим подходом к моделированию временных рядов, содержащих сезонные колебания, является построение аддитивной или мультипликативной моделей временного ряда.
Выбор одной из этих моделей основывается на анализе структуры временного ряда.
Если амплитуда сезонных колебаний примерно постоянна, то строят аддитивную модель. Если же амплитуда колебаний непостоянна, то есть возрастает или уменьшается, то строят мультипликативную модель.
Процесс построения модели ряда в этом случае включает следующие этапы:
1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. Расчет значений сезонной компоненты S.
2. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+U) в аддитивной или (Т×U) в мультипликативной модели.
3. Аналитическое выравнивание уровней (Т+U) или (Т×U) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.
4. Расчет полученных по модели значений (Т+S) или (Т×S)
5. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.
Рассмотрим процесс построения аддитивной модели на примере.
Пример. Имеются данные о количестве продукции (тыс.шт.), проданной фирмой «Вега» в течение последних 20 кварталов.
| Квартал | Объем продаж | Квартал | Объем продаж | Квартал | Объем продаж | Квартал | Объем продаж |
| 8,4 | 9,1 | 10,1 | 12,2 | ||||
| 8,6 | 9,2 | 10,8 | 11,9 | ||||
| 8,8 | 9,9 | 10,5 | 12,3 | ||||
| 9,5 | 9,7 | 10,7 | 12,5 | ||||
| 8,5 | 9,9 | 13,2 |
Этап 1. Проведем выравнивание ряда методом скользящей средней. Для этого просуммируем уровни ряда по 4 кварталам последовательно. Далее разделим полученные суммы на 4 и найдем скользящие средние, уже не содержащие сезонной компоненты. Найдем центрированные скользящие средние, для чего вычислим средние значения из двух последовательных скользящих средних. Вычислим оценки сезонной компоненты как разность между фактическим уровнем продаж и центрированными скользящими средними.
Таблица 5.6
Расчет оценок сезонной компоненты
| Квартал | Объем продаж, тыс.шт. | Итого за 4 квартала | Скользящая средняя за 4 квартала | Центрированная скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты |
| 8,4 | |||||
| 8,6 | |||||
| 35,3 | 8,825 | ||||
| 8,8 | 8,8375 | -0,0375 | |||
| 35,4 | 8,85 | ||||
| 9,5 | 8,9125 | 0,5875 | |||
| 35,9 | 8,975 | ||||
| 8,5 | 9,025 | -0,525 | |||
| 36,3 | 9,075 | ||||
| 9,1 | 9,125 | -0,025 | |||
| 36,7 | 9,175 | ||||
| 9,2 | 9,325 | -0,125 | |||
| 37,9 | 9,475 | ||||
| 9,9 | 9,575 | 0,325 | |||
| 38,7 | 9,675 | ||||
| 9,7 | 9,7875 | -0,0875 | |||
| 39,6 | 9,9 | ||||
| 9,9 | 10,0125 | -0,1125 | |||
| 40,5 | 10,125 | ||||
| 10,1 | 10,225 | -0,125 | |||
| 41,3 | 10,325 | ||||
| 10,8 | 10,425 | 0,375 | |||
| 42,1 | 10,525 | ||||
| 10,5 | 10,6375 | -0,1375 | |||
| 10,75 | |||||
| 10,7 | 10,925 | -0,225 | |||
| 44,4 | 11,1 | ||||
| 11,275 | -0,275 | ||||
| 45,8 | 11,45 | ||||
| 12,2 | 11,65 | 0,55 | |||
| 47,4 | 11,85 | ||||
| 11,9 | 12,0375 | -0,1375 | |||
| 48,9 | 12,225 | ||||
| 12,3 | 12,35 | -0,05 | |||
| 49,9 | 12,475 | ||||
| 12,5 | |||||
| 13,2 |
Используем полученные оценки сезонной компоненты для расчета сезонности S. Для этого найдем средние квартальные оценки сезонной компоненты, использовав данные всех кварталов. Заметим, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю, поэтому значения сезонной компоненты корректируются на величину, полученную как частное от деления суммы оценок сезонных компонент на число сезонов.
Таблица 5.7
Корректировка значений сезонной компоненты
| Показатели | Год | Квартал | ||
| - | - | -0,0375 | 0,5875 | |
| -0,525 | -0,025 | -0,125 | 0,325 | |
| -0,0875 | -0,1125 | -0,125 | 0,375 | |
| -0,1375 | -0,225 | -0,275 | 0,55 | |
| -0,1375 | -0,05 | - | - | |
| Итого за квартал | -0,8875 | -0,4125 | -0,5625 | 1,8375 |
| Средняя оценка сезонной компоненты для квартала | -0,2218 | -0,1031 | -0,1406 | 0,4593 |
| Скорректированная оценка сезонной компоненты | -0,2203 | -0,1015 | -0,1390 | 0,4609 |
Рассчитаем корректирующий коэффициент:
k=[(-0,22188)+(-0,10313)+( -0,14063)+ 0,459375]/4=-0,00625/4= -0,00156.
Cкорректированные оценки сезонной компоненты определяются путем вычитания из средней оценки сезонной компоненты для квартала корректирующего коэффициента. Полученные таким образом значения занесены в таблицу 5.7.
Этап 2. Устраним сезонную компоненту из исходных уровней ряда и получим выравненные данные Т+U=yi-S (столбец 4).
Таблица 5.8
Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели
| t | yi | Si | Т+U=yi-S | T | T+S | U=yi-(T+S) | U2 |
| 8,4 | -0,2203 | 8,6203 | 8,1545 | 7,9341 | 0,6861 | 0,4707 | |
| 8,6 | -0,1015 | 8,7015 | 8,3845 | 8,2829 | 0,4185 | 0,1751 | |
| 8,8 | -0,1390 | 8,9390 | 8,6146 | 8,4755 | 0,4635 | 0,2148 | |
| 9,5 | 0,46093 | 9,0390 | 8,8446 | 9,3056 | -0,2666 | 0,0710 | |
| 8,5 | -0,2203 | 8,7203 | 9,0747 | 8,8544 | -0,1344 | 0,0179 | |
| 9,1 | -0,1015 | 9,2015 | 9,3047 | 9,2032 | -0,0016 | 0,0000 | |
| 9,2 | -0,1390 | 9,3390 | 9,5348 | 9,3957 | -0,0566 | 0,0032 | |
| 9,9 | 0,46093 | 9,4390 | 9,7648 | 10,2258 | -0,7867 | 0,6189 | |
| 9,7 | -0,2203 | 9,9203 | 9,9949 | 9,7746 | 0,1457 | 0,0212 | |
| 9,9 | -0,1015 | 10,0010 | 10,2249 | 10,1234 | -0,1218 | 0,0148 | |
| 10,1 | -0,1390 | 10,2390 | 10,4550 | 10,3159 | -0,0769 | 0,0059 | |
| 10,8 | 0,46093 | 10,3390 | 10,6850 | 11,1460 | -0,8069 | 0,6511 | |
| 10,5 | -0,2203 | 10,7203 | 10,9151 | 10,6948 | 0,0254 | 0,0006 | |
| 10,7 | -0,1015 | 10,8015 | 11,1451 | 11,0436 | -0,2420 | 0,0585 | |
| -0,1390 | 11,1390 | 11,3752 | 11,2361 | -0,0971 | 0,0094 | ||
| 12,2 | 0,46093 | 11,7390 | 11,6052 | 12,06622 | -0,3271 | 0,1070 | |
| 11,9 | -0,2203 | 12,1203 | 11,8353 | 11,6150 | 0,5052 | 0,2553 | |
| 12,3 | -0,1015 | 12,4015 | 12,0653 | 11,9638 | 0,4377 | 0,1916 | |
| 12,5 | -0,1390 | 12,6390 | 12,2954 | 12,1563 | 0,4826 | 0,2329 | |
| 13,2 | 0,46093 | 12,7390 | 12,5254 | 12,9864 | -0,2473 | 0,0611 |
Этап 3.Определим компоненту Т. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т+U) с помощью линейного тренда. Имеем линейный тренд вида:
T = 7,9244+0,2301t.
Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,293. R2=0,95.
Подставляя в уравнение тренда последовательно t= 1,…,20, получим значения тренда для каждого уровня временного ряда (столбец 5, табл. 5.8).
Этап 4. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели как (T+S) (столбец 6, табл. 5.8).
Этап 5. Рассчитаем абсолютную ошибку как U=yi-(T+S), (столбец 7, табл. 5.8). Качество полученной модели можно проверить, используя сумму квадратов абсолютных ошибок (столбец 8). Сумма квадратов абсолютных ошибок равна 3,18. По отношению к сумме квадратов отклонений исходных уровней ряда от его среднего уровня, равной 40,32, эта величина составит 7,89%.
Следовательно, аддитивная модель объясняет 92,11% общей вариации объема продаж за 20 кварталов. Ñ
Рассмотрим построение мультипликативной модели на примере.
Пример. Имеются поквартальные данные об объеме экспорта одной из областей РФ за 5 лет (млн. долл.).
Таблица 5.9
| Квартал | Объем экспорта, млн.долл. | Квартал | Объемэкспорта, млн.долл. | Квартал | Объем экспорта, млн.долл. | Квартал | Объем экспорта, млн.долл. |
| 19,3 | 15,8 | 20,3 | 25,4 | ||||
| 12,3 | 17,2 | 22,3 | 31,8 | ||||
| 13,2 | 19,9 | 29,7 | 23,9 | ||||
| 15,6 | 26,3 | 21,1 | 25,8 | ||||
| 21,5 | 19,1 | 23,7 | 27,4 |
Этап 1. Проведем выравнивание ряда методом скользящей средней. Для этого просуммируем уровни ряда по 4 кварталам последовательно. Далее разделим полученные суммы на 4 и найдем скользящие средние, уже не содержащие сезонной компоненты. Найдем центрированные скользящие средние, для чего вычислим средние значения из двух последовательных скользящих средних. Вычислим оценки сезонной компоненты как частное от деления фактического уровня экспорта на центрированные скользящие средние.
Таблица 5.10
Расчет оценок сезонной компоненты
| Квартал | Объем продаж, тыс.шт. | Итого за 4 квартала | Скользящая средняя за 4 квартала | Центрированная скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты |
| 19,3 | |||||
| 12,3 | |||||
| 60,4 | 15,1 | ||||
| 13,2 | 15,375 | 0,858537 | |||
| 62,6 | 15,65 | ||||
| 15,6 | 16,0875 | 0,969697 | |||
| 66,1 | 16,525 | ||||
| 21,5 | 17,025 | 1,262849 | |||
| 70,1 | 17,525 | ||||
| 15,8 | 18,0625 | 0,87474 | |||
| 74,4 | 18,6 | ||||
| 17,2 | 19,2 | 0,895833 | |||
| 79,2 | 19,8 | ||||
| 19,9 | 20,2125 | 0,984539 | |||
| 82,5 | 20,625 | ||||
| 26,3 | 21,0125 | 1,251636 | |||
| 85,6 | 21,4 | ||||
| 19,1 | 21,7 | 0,880184 | |||
| 20,3 | 22,425 | 0,90524 | |||
| 91,4 | 22,85 | ||||
| 22,3 | 23,1 | 0,965368 | |||
| 93,4 | 23,35 | ||||
| 29,7 | 23,775 | 1,249211 | |||
| 96,8 | 24,2 | ||||
| 21,1 | 24,5875 | 0,85816 | |||
| 99,9 | 24,975 | ||||
| 23,7 | 25,2375 | 0,939079 | |||
| 25,5 | |||||
| 25,4 | 25,85 | 0,982592 | |||
| 104,8 | 26,2 | ||||
| 31,8 | 26,4625 | 1,201701 | |||
| 106,9 | 26,725 | ||||
| 23,9 | 26,975 | 0,886006 | |||
| 108,9 | 27,225 | ||||
| 25,8 | |||||
| 27,4 |
Используем полученные оценки сезонности для расчета сезонной компоненты S. Для этого найдем средние квартальные оценки сезонной компоненты, используя данные всех кварталов.
Таблица 5.11
Расчет значений сезонной компоненты
| Показатели | Год | Квартал | ||
| - | - | 0,8585 | 0,9696 | |
| 1,2628 | 0,8747 | 0,8958 | 0,9845 | |
| 1,2516 | 0,8801 | 0,9052 | 0,9653 | |
| 1,2492 | 0,8581 | 0,9390 | 0,9825 | |
| 1,2017 | 0,8860 | - | - | |
| Итого за квартал | 4,9653 | 3,4990 | 3,5986 | 3,9021 |
| Средняя оценка сезонной компоненты для квартала | 1,2413 | 0,8747 | 0,8996 | 0,9755 |
| Скорректированная оценка сезонной компоненты | 1,2440 | 0,876 | 0,9016 | 0,9776 |
Заметим, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем примере, цикл – год, в котором соответственно 4 квартала. Поэтому окончательный вариант сезонной компоненты будет получен корректировкой, заключающейся в умножении средней оценки сезонной компоненты для квартала на коэффициент k:
k=4/(1,2413+0,8747+0,8996+0,9755)=4/3,9913=1,0021.
Полученные таким образом значения были занесены в табл. 5.11 (строка 3).
Этап 2. Устраним сезонную компоненту из исходных уровней ряда и получим выравненные данные T×U=yi/S (столбец 4, табл. 5.12).
Таблица 5.12
Расчет выравненных значений Т и ошибок U в мультипликативной модели
| t | yi | S | T×U=yi/S | T | Т×U | U=yi-(T×S) | U2 |
| 19,3 | 1,2440 | 15,5139 | 14,2959 | 17,7847 | 0,8723 | 0,7609 | |
| 12,3 | 0,8766 | 14,0303 | 15,0690 | 13,2105 | 1,0620 | 1,1279 | |
| 13,2 | 0,9016 | 14,6402 | 15,8421 | 14,2836 | 1,0249 | 1,0505 | |
| 15,6 | 0,9776 | 15,9563 | 16,6151 | 16,2440 | 0,9822 | 0,9648 | |
| 21,5 | 1,2440 | 17,2823 | 17,3882 | 21,6317 | 0,7989 | 0,6383 | |
| 15,8 | 0,8766 | 18,0227 | 18,1613 | 15,9214 | 1,1319 | 1,2813 | |
| 17,2 | 0,9016 | 19,0767 | 18,9344 | 17,0717 | 1,1174 | 1,2486 | |
| 19,9 | 0,9776 | 20,3546 | 19,7074 | 19,2673 | 1,0564 | 1,1160 | |
| 26,3 | 1,2440 | 21,1407 | 20,4805 | 25,4786 | 0,8297 | 0,6884 | |
| 19,1 | 0,8766 | 21,7869 | 21,2536 | 18,6324 | 1,1693 | 1,3672 | |
| 20,3 | 0,9016 | 22,5149 | 22,0266 | 19,8597 | 1,1336 | 1,2852 | |
| 22,3 | 0,9776 | 22,8094 | 22,7997 | 22,2905 | 1,0232 | 1,0471 | |
| 29,7 | 1,2440 | 23,8738 | 23,5728 | 29,3255 | 0,8140 | 0,6627 | |
| 21,1 | 0,8766 | 24,0683 | 24,3459 | 21,3433 | 1,1276 | 1,2716 | |
| 23,7 | 0,9016 | 26,2859 | 25,1189 | 22,6478 | 1,1606 | 1,3470 | |
| 25,4 | 0,9776 | 25,9802 | 25,8920 | 25,3137 | 1,0263 | 1,0533 | |
| 31,8 | 1,2440 | 25,5618 | 26,6651 | 33,1725 | 0,7705 | 0,5937 | |
| 23,9 | 0,8766 | 27,2622 | 27,4381 | 24,0542 | 1,1333 | 1,2845 | |
| 25,8 | 0,9016 | 28,6150 | 28,2112 | 25,4359 | 1,1249 | 1,2655 | |
| 27,4 | 0,9776 | 28,0259 | 28,9843 | 28,3369 | 0,9890 | 0,9781 |
Этап 3.Определим компоненту Т. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т×Е) с помощью линейного тренда. Имеем линейный тренд вида:
T = 13,5229+0,7730t.
Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,735. R2=0,97.
Подставляя в уравнение тренда последовательно t= 1,…,20, получим значения тренда для каждого уровня временного ряда (столбец 5, табл. 5.12).
Этап 4. Найдем значения уровней ряда, полученные по мультипликативной модели как (T×S) (столбец 6, табл. 5.12).
Этап 5. Рассчитаем абсолютную ошибку как U=yi-(T×S), (столбец 7, табл. 5.12). Качество полученной модели можно проверить, используя сумму квадратов абсолютных ошибок (столбец 8). Общая сумма квадратов абсолютных ошибок равна 21,033. По отношению к сумме квадратов отклонений исходных уровней ряда от его среднего уровня, равной 530,072, эта величина составит 3,9681%:
(21,03378/530,072)×100=3,97 %.
Следовательно, мультипликативная модель объясняет 96,03% общей вариации экспорта. Ñ